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Galileo Galilei



DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE

intorno a due nuove scienze
attenenti alla mecanica & i movimenti locali

 

 

 

 

 

ALLO ILLUSTRISSIMO SIGNORE
IL SIGNORE CONTE DI NOAILLES

Consiglierdi sua Maestà CristianissimaCavalier dell'Ordine di SantoSpiritoMariscalco de' suoi campi ed essercitiSiniscalco eGovernatore di Roerga e Luogotenente per Sua Maestà inOvergnamio Signore e Padrone colendissimo

 

Illustrissimo Signore


Riconosco per uno effetto della magnanimità di V. S.Illustrissima quanto gli è piaciuto disporre di questa operamia; non ostante che (come ella sa)confuso e sbigottito da i malfortunati successi di altre mie opereavendo meco medesimodeterminato di non esporre in pubblico mai più alcuna dellemie fatichema soloacciò del tutto non restassero sepolteessendomi persuaso di lasciarne copia manuscritta in luogo conspicuoal meno a molti intelligenti delle materie da me trattatee per ciòavendo fatto elezzioneper il primo e più illustre luogodidepositarle in mano di V. S. Illustrissimasicuro cheper suaparticolare affezzione verso di meaverebbe avuto a cuore laconservazione de' miei studii e fatiche; e per ciò nel suopassaggio di quaritornando dalla sua ambasciata di Romafui ariverirla personalmentesì come più volte avevo fattoper lettere; e con tale incontro presentai a V. S. Illustrissima lacopia di queste due opere che allora mi trovavo avere in prontolequali benignamente mostrò di gradire molto e di essere perfarne sicura conservaecol participarle in Francia a qualche amicosuoperito di queste scienziemostrare chese bene tacevononperò passavo la vita del tutto ociosamente. Andavo dipoiapparecchiandomi di mandarne alcune altre copie in GermaniainFiandrain Inghilterrain Spagnae forse anco in qualche luogod'Italiaquando improvvisamente vengo da gli Elzevirii avvisato comehanno sotto il torchio queste mie operee che però io devaprendere risoluzione circa la dedicatoria e prontamente mandargli ilmio concetto sopra di ciò. Mosso da questa inopinata edinaspettata nuovasono andato meco medesimo concludendo che la bramadi V. S. Illustrissima di suscitare ed ampliare il nome miocolparticipare a diversi miei scrittiabbia cagionato che sienopervenuti nelle mani de' detti stampatorili qualiessendosiadoperati in publicare altre mie opereabbiano voluto onorarmi dimandarle alla luce sotto le loro bellissime ed ornatissime stampe.Per ciò questi miei scritti debbono risentirsi per aver avutala sorte d'andar nell'arbitrio d'un sì gran giudiceil qualenel maraviglioso concorso di tante virtù che rendono V. S.Illustrissima ammirabile a tuttiella con incomparabile magnanimitàper zelo anco del ben publicoa cui gli è parso che questamia opera dovesse conferireha voluto allargargli i termini ed iconfini dell'onore. Sì cheessendo il fatto ridotto in cotalestatoè ben ragionevole che io con ogni segno piùcospicuo mi dimostri grato riconoscitore del generoso affetto di V.S. Illustrissimache ha avuto a cuore di accrescermi la mia fama confarli spiegar le ale liberamente sotto il cielo apertodove che a mepareva assai dono che ella restasse in spazii più angusti. Pertanto al nome vostroIllustrissimo Signoreconviene che io dedichie consacri questo mio parto; al che fare mi strigne non solo ilcumulo de gli oblighi che gli tengoma l'interesse ancorail quale(siami lecito così dire) mette in obligo V. S. Illustrissimadi difendere la mia riputazione contro a chi volesse offenderlamentre ella mi ha posto in steccato contro a gli avversarii. Ondefacendomi avanti sotto il suo stendardo e protezzioneumilmente mele inchinocon augurarle per premio di queste sue grazie il colmod'ogni felicità e grandezza.


D'Arcetrili 6 Marzo 1638.

Di V. S. Illustrissima

Devotissimo Servitore

GALILEO GALILEI


 

LO STAMPATORE A I LETTORI


Trattenendosi la vita civile mediante il mutuo e vicendevole soccorsode gli uomini gli uni verso gli altried a ciò servendoprincipalmente l'uso delle arti e delle scienzieper questogl'inventori di esse sono sempre stati tenuti in grande stimaemolto riveriti dalla savia antichità; e quanto piùeccellente o utile è stata qualche invenzionetanto maggiorlaude ed onore ne è stato attribuito a gl'inventorifin adessere stati deificati (avendo gli uominiper commun consensocontal segno di supremo onore voluto perpetuare la memoria de gli autoridel loro bene essere). Parimente quelli i quali con l'acutezza de iloro ingegni hanno riformato le cose già trovatescoprendo lefallacie e gli errori di molte e molte proposizioni portate da uominiinsigni e ricevute per vere per molte etàsono degni di granlode ed ammirazione; atteso medesimamente che tale scoprimento èlaudabilese bene i medesimi scopritori avesseno solamente rimossala falsitàsenza introdurne la veritàper sétanto difficile a conseguirsiconforme al detto del principe de glioratori: Utinam tam facile possem verareperirequam falsa convincere. Ed infatti il merito di questa lode è dovuto a questi nostri ultimisecoline i quali le arti e le scienzieritrovate da gli antichiper opera di perspicacissimi ingegni sonoper molte prove edesperienziestate ridotte a gran perfezzionela quale ogni dìva augumentandosi: ed in particolare questo apparisce nelle scienzematematichenelle quali (lasciando i diversi che ci si sonoadoperati con gran lode e gran successo) al nostro Signore GalileoGalileiAccademico Linceosenza alcun contrastoanzi conl'applauso e l'approbazione universale di tutti i peritimeritamentesono dovuti li primi gradisì per aver mostrato la nonconcludenza di molte ragioni intorno a varie conclusionicon saldedimostrazioni confermate (come ne sono piene le opere sue giàpublicate)sì anco per aver col telescopio (uscito prima diqueste nostre partima da esso ridotto poi a perfezzione moltomaggiore) scoperto e dataprimo di tuttila notizia delle quattrostelle satelliti di Giovedella vera e certa dimostrazione della ViaLatteadelle macchie solaridelle rugosità e parti nebulosedella Lunadi Saturno tricorporeoVenere falcatadella qualitàe disposizion delle comete; tutte cose non conosciute mai da gliastronomi né da i filosofi antichidi maniera che puotedirsiesser per esso con nuova luce comparsa al mondo e ristoratal'astronomia: dall'eccellenza della quale (in quanto ne' cieli e ne icorpi celesti con maggiore evidenza ed ammirazione che in tutte lealtre creature risplende la potenza sapienzia e bontà delsupremo Fattore) risulta la grandezza del merito di chi ce ne haaperta la conoscenzacon aversi resi tali corpi distintamenteconspicuinon ostante la loro distanzaquasi infinitada noi; poichesecondo il dire volgatol'aspetto insegna assai più econ maggior certezza in un sol giorno che non potriano fare iprecettiquantunque mille volte reiteratila notizia intuitiva(come disse un altro) andando del pari con la definizione. Ma moltopiù si fa manifesta la grazia concedutagli da Dio e dallanatura (per mezzo però di molte fatiche e vigilie) nellapresente operanella quale si vedelui essere stato ritrovatore didue intere scienzie nuovee da i loro primi principii e fondamenticoncludentementecioè geometricamentedimostrate: equelloche deve rendere più maravigliosa questa operauna delle duescienzie è intorno a un suggetto eternoprincipalissimo innaturaspeculato da tutti i gran filosofie sopra il quale ci sonomoltissimi volumi scritti; parlo del moto localemateria d'infinitiaccidenti ammirandinessuno de' quali è sin qui statotrovatonon che dimostratoda alcuno: l'altra scienziapure da isuoi principii dimostrataè intorno alla resistenza che fannoi corpi solidi all'essere per violenza spezzati; notizia di grandeutilitàe massime nelle scienzie ed arti mecanicheed essaancora piena d'accidenti e proposizioni sin qui non osservate. Diqueste due nuove scienziepiene di proposizioni che in infinitosaranno accresciute col progresso del tempo dagl'ingegni specolativiin questo libro si aprono le prime portee con non piccolo numero diproposizioni dimonstrate si addita il progresso e trapasso ad altreinfinitesì come da gl'intelligenti sarà facilmenteinteso e riconosciuto.




 

TAVOLADELLE MATERIE PRINCIPALI

 

CHESI TRATTANO NELLA PRESENTE OPERA


 

I.


Scienzia nuova primaintorno alla resistenza de i corpi solidiall'essere spezzati.

Giornata prima


 

II.


Qual potesse esser la causa di tal coerenza.

Giornata seconda


 

III.


Scienzia nuova altrade i movimenti localicioèdell'equabiledel naturalmente accelerato.

Giornata terza


 

IV.


Delviolentoo vero de i proietti.

Giornataquarta


 

V.


Appendice di alcune proposizioni e dimostrazioni attenenti al centrodi gravità de i solidi

 

GIORNATA PRIMA



INTERLOCUTORI:

SalviatiSagredo e Simplicio


Salv. Largo campo di filosofare a gl'intelletti specolativiparmi che porga la frequente pratica del famoso arsenale di voiSignori Venezianied in particolare in quella parte che mecanica sidomanda; atteso che quivi ogni sorte di strumento e di machina viencontinuamente posta da numero grande d'arteficitra i qualie perl'osservazioni fatte dai loro antecessorie per quelle che dipropria avvertenza vanno continuamente per se stessi facendoèforza che ve ne siano de i peritissimi e di finissimo discorso.

Sagr. V. S. non s'inganna punto: ed iocome per naturacuriosofrequento per mio diporto la visita di questo luogo e lapratica di questi che noiper certa preminenza che tengono sopra 'lresto della maestranzadomandiamo proti; la conferenza de i quali miha più volte aiutato nell'investigazione della ragione dieffetti non solo maravigliosima reconditi ancora e quasiinopinabili. È vero che tal volta anco mi ha messo inconfusione ed in disperazione di poter penetrare come possa seguirequello chelontano da ogni mio concettomi dimostra il senso esservero. E pur quello che poco fa ci diceva quel buon vecchio èun dettato ed una proposizione ben assai vulgata; ma però iola reputava in tutto vanacome molte altre che sono in bocca de ipoco intelligenticredo da loro introdotte per mostrar di saper dirqualche cosa intorno a quello di che non son capaci.

Salv. V. S. vuol forse dire di quell'ultimo pronunziato ch'eiprofferì mentre ricercavamo d'intendere per qual ragionefacevano tanto maggior apparecchio di sostegniarmamenti ed altriripari e fortificazioniintorno a quella gran galeazza che si dovevavarareche non si fa intorno a vasselli minori; dove egli risposeciò farsi per evitare il pericolo di direnarsioppressa dalgravissimo peso della sua vasta moleinconveniente al quale non sonsoggetti i legni minori?

Sagr. Di cotesto intendoe sopra tutto dell'ultimaconclusione ch'ei soggiunsela quale io ho sempre stimata concettovano del vulgo; cioè che in queste ed altre simili machine nonbisogna argumentare dalle piccole alle grandiperché molteinvenzioni di machine riescono in piccoloche in grande poi nonsussistono. Ma essendo che tutte le ragioni della mecanica hanno ifondamenti loro nella geometrianella quale non veggo che lagrandezza e la piccolezza faccia i cerchii triangolii cilindriiconi e qualunque altre figure solidesoggette ad altre passioniqueste e ad altre quelle; quando la machina grande sia fabricata intutti i suoi membri conforme alle proporzioni della minoreche siavalida e resistente all'esercizio al quale ella è destinatanon so vedere perché essa ancora non sia esente da gl'incontriche sopraggiugner gli possonosinistri e destruttivi.

Salv. Il detto del vulgo è assolutamente vano; etalmente vanoche il suo contrario si potrà profferire conaltrettanta veritàdicendo che molte machine si potranno farpiù perfette in grande che in piccolo: comeper esempiounoriuoloche mostri e batta le orepiù giusto si faràd'una tal grandezza che di un'altra minore. Con miglior fondamentousurpano quel medesimo detto altri più intelligentii qualidella riuscita di tali machine grandinon conforme a quello che siraccoglie dalle pure ed astratte dimostrazioni geometrichenerimettono la causa nell'imperfezzione della materiache soggiace amolte alterazioni ed imperfezzioni. Ma qui non so s'io potròsenza inciampare in qualche nota di arroganzadire che néanco il ricorrere all'imperfezzioni della materiapotenti acontaminare le purissime dimostrazioni matematichebasti a scusarel'inobbedienza delle machine in concreto alle medesime astratte edideali: tuttavia io pure il diròaffermando cheastraendotutte l'imperfezzioni della materia e supponendola perfettissima edinalterabile e da ogni accidental mutazione esentecon tutto ciòil solo esser materiale fa che la machina maggiorefabbricatadell'istessa materia e con l'istesse proporzioni che la minoreintutte l'altre condizioni risponderà con giusta simmetria allaminorefuor che nella robustezza e resistenza contro alle violenteinvasioni; ma quanto più sarà grandetanto aproporzione sarà più debole. E perché iosuppongola materia essere inalterabilecioè semprel'istessaè manifesto che di leicome di affezzione eterna enecessariasi possano produr dimostrazioni non meno dell'altreschiette e pure matematiche. PeròSig. Sagredorevochi purl'opinione che tenevae forse insieme con molti altri che nellamecanica han fatto studioche le machine e le fabbriche compostedelle medesime materiecon puntuale osservanza delle medesimeproporzioni tra le loro partidebban essere egualmenteoper dirmeglioproporzionalmentedisposte al resistere ed al cedere alleinvasioni ed impeti esterniperché si puògeometricamente dimostraresempre le maggiori essere a proporzionemen resistenti che le minori; sì che ultimamente non solo ditutte le machine e fabbriche artifizialima delle naturali ancorasia un termine necessariamente ascrittooltre al quale nél'arte né la natura possa trapassare: trapassardicoconosservar sempre l'istesse proporzioni con l'identità dellamateria.

Sagr.Io già mi sento rivolgere il cervelloequasi nugola dalbaleno repentinamente apertaingombrarmisi la mente da momentanea edinsolita luceche da lontano mi accenna e subito confonde ed ascondeimaginazioni straniere ed indigeste. E da quanto ella ha detto parmiche dovrebbe seguire che fusse impossibil cosa costruire duefabbriche dell'istessa materia simili e disegualie tra di loro conegual proporzione resistenti; e quando ciò siasaràanco impossibile trovar due sole aste dell'istesso legno tra di lorosimili in robustezza e valorema diseguali in grandezza.

Salv. Così èSig. Sagredo: e per meglioassicurarci che noi convenghiamo nel medesimo concettodico che senoi ridurremo un'asta di legno a tal lunghezza e grossezzachefittav. g.in un muro ad angoli retticioè parallelaall'orizontesia ridotta all'ultima lunghezza che si possa reggeresì cheallungata un pelo piùsi spezzassegravatadal proprio pesoquesta sarà unica al mondo; tal che essendoper esempiola sua lunghezza centupla della sua grossezzanissunaaltra asta della medesima materia potrà ritrovarsi cheessendo in lunghezza centupla della sua grossezzasiacome quellaprecisamente abile a sostener se medesimae nulla di più; matutte le maggiori si fiaccherannoe le minori saranno potenti asosteneroltre al proprio pesoqualch'altro appresso. E questo cheio dico dello stato di regger se medesimointendasi detto di ognialtra costituzione; e così se un corrente potrà reggereil peso di dieci correnti suoi egualiuna trave simile a lui nonpotrà altramente regger il peso di dieci sue eguali. Ma notinoin grazia V. S. e 'l Sig. Simplicio nostroquanto le conclusioniverebenché nel primo aspetto sembrino improbabiliadditatesolamente qualche pocodepongono le vesti che le occultavanoe nudee semplici fanno de' lor segreti gioconda mostra. Chi non vede comeun cavallo cadendo da un'altezza di tre braccia o quattro si romperàl'ossama un cane da una talee un gatto da una di otto o diecinon si farà mal nissunocome né un grillo da unatorrené una formica precipitandosi dall'orbe lunare? ipiccoli fanciulli restare illesi in cadutedove i provetti sirompono gli stinchi o la testa? E come gli animali più piccolisonoa proporzionepiù robusti e forti de i maggioricosìle piante minori meglio si sostentano: e già credo che amenduevoi apprendiate che una quercia dugento braccia alta non potrebbesostenere i suoi rami sparsi alla similitudine di una di mediocregrandezzae che la natura non potrebbe fare un cavallo grande perventi cavalliné un gigante dieci volte più alto di unuomose non o miracolosamente o con l'alterar assai le proporzionidelle membra ed in particolare dell'ossaingrossandole molto soprala simmetria dell'ossa comuni. Il creder parimente che nelle machineartifiziali egualmente siano fattibili e conservabili le grandissimee le piccoleè errore manifesto: e cosìper esempiopiccole gugliecolonnette ed altre solide figuresicuramente sipotranno maneggiare distendere e rizzaresenza risico di rompersiche le grandissime per ogni sinistro accidente andranno in pezzienon per altra cagione che per il loro proprio peso. E qui èforza che io vi racconti un caso degno veramente di esser saputocome sono tutti gli accidenti che accascano fuori dell'aspettazionee massime quando il partito preso per ovviare a uno inconvenienteriesce poi causa potissima del disordine. Era una grossissima colonnadi marmo distesae posatapresso alle sue estremitàsopradue pezzi di trave; cadde in pensiero dopo certo tempo ad un mecanicoche fusse beneper maggiormente assicurarsi che gravata dal propriopeso non si rompesse nel mezzosupporgli anco in questa parte unterzo simile sostegno: parve il consiglio generalmente moltoopportunoma l'esito lo dimostrò essere stato tuttol'oppositoatteso che non passarono molti mesi che la colonna sitrovò fessa e rottagiusto sopra il nuovo appoggio di mezzo.

Simp. Accidente in vero maraviglioso e veramente praeterspemquando però fusse derivato dall'aggiungervi il nuovosostegno di mezzo.

Salv. Da quello sicuramente derivò eglie lariconosciuta cagion dell'effetto leva la maraviglia: perchédeposti in piana terra i due pezzi della colonnasi vedde che l'unode i travisu 'l quale appoggiava una delle testatesi eraper lalunghezza del tempoinfracidato ed avvallatoerestando quel dimezzo durissimo e fortefu causa che la metà della colonnarestasse in ariaabbandonata dall'estremo sostegno; onde il propriosoverchio peso gli fece fare quello che non avrebbe fatto se solosopra i due primi si fusse appoggiataperché l'avvallarsiqual si fusse di loroella ancora l'arebbe seguito. E qui non si puòdubitare che tal accidente non sarebbe avvenuto in una piccolacolonnabenché della medesima pietra e di lunghezzarispondente alla sua grossezza con la proporzione medesima dellagrossezza e lunghezza della colonna grande.

Sagr. Già sin qui resto io assicurato della veritàdell'effetto ma non penetro già la ragione comenel crescersila materianon deva con l'istesso ragguaglio multiplicarsi laresistenza e gagliardia; e tanto più mi confondoquanto perl'opposito veggo in altri casi crescersi molto più larobustezza e la resistenza al rompersiche non crescel'ingrossamento della materia: che sev. g.saranno due chiodifitti in un murol'uno più grosso il doppio dell'altroquello reggerà non solamente doppio peso di questoma triploe quadruplo.

Salv. Dite pur ottuploné direte lontano dal vero: néquesto effetto contraria a quelloancor che in sembiante appariscacosì diverso.

Sagr. AdunqueSig. Salviatispianateci questi scogli edichiarateci queste oscuritàse ne avete il modochében conietturoquesta materia delle resistenze essere un campo pienodi belle ed utili contemplazioni; e se vi contentate che questo siail soggetto de i nostri ragionamenti di oggia mee credo al Sig.Simpliciosarà gratissimo.

Salv. Non posso mancar di servirlepurché la memoriaserva me in sumministrarmi quello che già appresi dal nostroAccademicoche sopra tal materia aveva fatte molte speculazionietutteconforme al suo solitogeometricamente dimostratein modochenon senza ragionequesta sua potrebbe chiamarsi una nuovascienza; perché se bene alcune delle conclusioni sono state daaltrie prima di tutti da Aristoteleosservatetuttavia nésono delle più bellené (quello che piùimporta) da i loro primarii e indubitati fondamenti con necessariedimostrazioni provate. E perchécome dicovogliodimostrativamente accertarvie non con solamente probabili discorsipersuadervisupponendo che abbiate quella cognizione delleconclusioni mecanicheda altri sin qui fondatamente trattatecheper il nostro bisogno sarà necessariaconviene che avantiogni altra cosa consideriamo qual effetto sia quello che si operanella frazzione di un legno o di altro solidole cui partisaldamente sono attaccate; perché questa è la primanozionenella qual consiste il primo e semplice principio che comenotissimo conviene supporsi.

Perpiù chiara esplicazione di chesegniamo il cilindro o prismaAB di legno o di altra materia solida e coerentefermato disopra in A e pendente a piomboal quale nell'altra estremitàB sia attaccato il peso C: è manifesto chequalunque si sia la tenacità e coerenza tra di loro delleparti di esso solidopur che non sia infinitapotrà essersuperata dalla forza del traente peso Cla cui gravitàpongo che possa accrescersi quanto ne piacee esso solido finalmentesi strapperàa guisa d'una corda. E sì come nellacorda noi intendiamola sua resistenza derivare dalla moltitudinedelle fila della canapa che la compongonocosì nel legno siscorgono le sue fibre e filamenti distesi per lungoche lo rendonograndemente più resistente allo strappamento che non sarebbequalsivoglia canapo della medesima grossezza: ma nel cilindro dipietra o di metallo la coerenza (che ancora par maggiore) delle sueparti depende da altro glutine che da filamenti o fibre; e pure essiancora da valido tiramento vengono spezzati.

Simp. Se il negozio procede come voi diteintendo bene che ifilamenti nel legnoche son lunghi quanto l'istesso legnopossonrenderlo gagliardo e resistente a gran forza che se gli faccia perromperlo; ma una corda composta di fili di canapa non piùlunghi di due o tre braccia l'unocome potrà ridursi allalunghezza di centorestando tanto gagliarda? In oltre vorrei ancosentire la vostra opinione intorno all'attaccamento delle parti de imetallidelle pietre e di altre materie prive di tali filamentichepurs'io non m'ingannoè anco più tenace.

Salv. In nuove specolazionie non molto al nostro intentonecessarieconverrà divertirese dovremo delle promossedifficoltà portar le soluzioni.

Sagr. Ma se le digressioni possono arrecarci la cognizione dinuove veritàche pregiudica a noinon obbligati a un metodoserrato e concisoma che solo per proprio gusto facciamo i nostricongressidigredir ora per non perder quelle notizie che forselasciata l'incontrata occasioneun'altra volta non ci sirappresenterebbe? anzi chi sa che bene spesso non si possano scoprircuriosità più belle delle primariamente cercateconclusioni? Pregovi per tanto io ancora a dar sodisfazione al Sig.Simplicio ed a menon men di esso curioso e desideroso d'intenderqual sia quel glutine che sì tenacemente ritien congiunte leparti de i solidiche pur finalmente sono dissolubili: cognizioneche pur anco è necessaria per intender la coerenza delle partide gli stessi filamentide i quali alcuni de i solidi son composti.

Salv. Eccomi a servirvipoiché così vi piace. Èla prima difficoltàcome possano i filamenti d'una cordalunga cento braccia sì saldamente connettersi insieme (nonessendo ciascheduno di essi lungo più di due o tre)che granviolenza ci voglia a disseparargli. Ma ditemiSig. Simplicio: nonpotreste voi d'un sol filo di canapa tener l'una dell'estremitàtalmente stretta fra le ditache iotirando dall'altraprima cheliberarlo dalla vostra manolo rompessi? Certo sì. Quandodunque i fili della canapa fusser non solo nell'estremitàmain tutta la lor lunghezzacon gran forza da chi gli circondassetenuti strettinon è manifesta cosa che lo sbarbargli da chigli strigne sarebbe assai più difficile che il rompergli? Manella corda l'istesso atto dell'attorcerla strigne le filascambievolmente tra di loro in manierache tirando poi con granforza la funei suoi filamenti si spezzanoe non si separano l'unodall'altro; come manifestamente si conosce dal vedersi nella rotturai filamenti cortissimie non lunghi almeno un braccio l'unocomedovria vedersi quando la division della corda si facesse non per lostrappamento delle filama per la sola separazione dell'unodall'altro strisciando.

Sagr. Aggiungasiin confermazion di questoil vedersi talvolta romper la corda non per il tirarla per lo lungoma solo per ilsoverchiamente attorcerla: argumentopar a meconcludentele filaesser talmente tra di loro scambievolmente compresseche lecomprimenti non permettono alle compresse scorrer quel minimo cheche sarebbe necessario per allungar le spireacciò potesserocircondar la fune che nel torcimento si scorcia ed in consequenzaqualche poco s'ingrossa.

Salv. Voi benissimo dite: ma considerate appresso come unaverità si tira dietro l'altra. Quel filo che stretto tra ledita non segue chicon qualche forza tirandolovorrebbe di tra essesottrarloresiste perché da doppia compressione vienritenuto; avvenga che non meno il dito superiore preme control'inferioreche questo si prema contro a quello. E non èdubbio che quando di queste due premure se ne potesse ritenere unasolaresterebbe la metà di quella resistenza che dalle duecongiunte dependeva; ma perché non si può con l'alzarv. g.il dito superiore levar la sua pressione senza rimuover ancol'altra parteconviene con nuovo artifizio conservarne una di loroe trovar modo che l'istesso filo comprima se medesimo contro al ditoo altro corpo solido sopra 'l quale si posae far sì chel'istessa forza che lo tira per separarnelotanto più ve locomprimaquanto più gagliardamente lo tira: e questo siconseguirà con l'avvolgere a guisa di spira il filo medesimointorno al solido; il che acciò meglio s'intendane segneròun poco di figura.

ABCD siano due cilindrie tra essi disteso ilfilo EFche per maggior chiarezza ce lo figureremo essere unacordicella: non è dubbioche premendo gagliardamente i duecilindri l'uno contro all'altrola corda FEtiratadall'estremità Fresisterà a non piccolaviolenza prima che scorrere tra i due solidi comprimentila; ma serimuoveremo l'uno di lorola cordabenché continui di toccarl'altronon però da tal toccamento sarà ritenuta cheliberamente non scorra. Ma se ritenendolabenché debolmenteattaccata verso la sommità del cilindro Al'avvolgeremo intorno a quello a foggia di spira AFLOTRe dalcapo R la tireremoè manifesto che ella cominceràa stringere il cilindro; e se le spire e volute saranno moltesemprepiùnel validamente tiraresi comprimerà la cordaaddosso al cilindro; e facendosicon la multiplicazione delle spirepiù lungo il toccamentoed in consequenza men superabiledifficile si farà sempre più lo scorrer della corda el'acconsentir alla traente forza. Or chi non vede che tale èla resistenza delle filamentache con mille e mille similiavvolgimenti il grosso canapo contessono? Anzi lo strignimento disimili tortuosità collega tanto tenacementeche di non moltigiunchiné anco molto lunghisì che poche son lespire con le quali tra di loro s'intreccianosi compongonorobustissime funiche mi par che domandino suste.

Sagr. Cessa per il vostro discorso nella mia mente lamaraviglia di due effettide i quali le ragioni non bene eranocomprese da me. Uno era il vedere come due o al più trerivolte del canapo intorno al fuso dell'argano potevano non solamenteritenerlochetirato dall'immensa forza del peso che ei sostienescorrendo non gli cedessema che di piùgirando l'arganoilmedesimo fusocol solo toccamento del canapo che lo strignepotessecon li succedenti ravvolgimenti tirare e sollevare vastissime pietrementre che le braccia d'un debile ragazzo vanno ritenendo e radunandol'altro capo del medesimo canapo. L'altro è d'un semplice maarguto ordignotrovato da un giovane mio parenteper poter con unacorda calarsi da una finestra senza scorticarsi crudelmente le palmedelle manicome poco tempo avanti gli era intervenuto con suagrandissima offesa. Ne faròper facile intelligenzaunpiccolo schizzo.

Intornoa un simil cilindro di legno ABgrosso come una canna e lungocirca un palmoincavò un canaletto in forma di spiradi unavoluta e mezo e non piùe di larghezza capace della corda chevoleva adoprare; e questa fece entrare per il canale dal termine Aed uscire per l'altro Bcircondando poi tal cilindro e cordacon un cannone pur di legnoo vero anco di lattama diviso perlungo ed ingangheratosì che liberamente potesse aprirsi echiudersi: ed abbracciando poi e strignendo con ambe le mani essocannoneraccomandata la corda a un fermo ritegno di soprasisospese su le braccia; e riuscì tale la compressione dellacorda tra 'l cannone ambiente e 'l cilindrochead arbitrio suostrignendo fortemente le mani poteva sostenersi senza calare edallentandole un poco si calava lentamente a suo piacimento.

Salv. Ingegnosa veramente invenzione; e per interaesplicazione della sua naturami par di scorgere così perombra che qualche altra specolazione si potesse aggiugnere: ma nonvoglio per ora digredir più sopra di questo particolareemassime volendo voi sentir il mio pensiero intorno alla resistenzaallo strapparsi de gli altri corpila cui testura non è difilamenticome quella delle funi e della maggior parte de i legni;ma la coerenza delle parti loro in altre cagioni par che consistalequaliper mio giudiziosi riducono a due capi: l'uno de i quali èquella decantata repugnanza che ha la natura all'ammettere il vacuo;per l'altro bisogna (non bastando questo del vacuo) introdur qualcheglutinevisco o collache tenacemente colleghi le particole dellequali esso corpo è composto. Dirò prima del vacuomostrando con chiare esperienze quale e quanta sia la sua virtù.E primail vedersiquando ne piacciadue piastre di marmodimetallo o di vetroesquisitamente spianate pulite e lustrecheposata l'una su l'altrasenza veruna fatica se gli muove soprastrisciando (sicuro argumento che nissun glutine le congiugne)mache volendo separarlemantenendole equidistantital repugnanza sitrovache la superiore solleva e si tira dietro l'altra eperpetuamente la ritiene sollevataancorché assai grossa egraveevidentemente ci mostra l'orrore della natura nel doverammetterese ben per breve momento di tempolo spazio voto che tradi quelle rimarrebbe avanti che il concorso delle parti dell'ariacircostante l'avesse occupato e ripieno. Vedesi ancoche quando benetali due lastre non fussero esattamente pulitee perciò cheil lor contatto non fusse esquisito del tuttonel volerle separarlentamente niuna renitenza si trova fuor di quella della solagravità; ma in un alzamento repentino l'inferior pietra sisollevama subito ricadeseguendo solamente la sovrana per quelbrevissimo tempo che basta per la distrazzione di quella poca d'ariache s'interponeva tra le lastreche non ben combaciavanoe perl'ingresso dell'altra circunfusa. Tal resistenzache cosìsensatamente si scorge tra le due lastrenon si può dubitareche parimente non risegga tra le parti di un solidoe che nel loroattaccamento non entri almanco a parte e come causa concomitante.

Sagr. Fermate di graziae concedetemi ch'io dica unaparticolar considerazione che pur ora mi è caduta in mente: equesta èche il vedere come la piastra inferiore segue lasuperiore e che con moto velocissimo vien sollevataci rende sicurichecontro al detto di molti filosofi e forse d'Aristotele medesimoil moto nel vacuo non sarebbe instantaneo; perché quando fussetalele nominate due lastre senza repugnanza veruna siseparerebberogià che il medesimo instante di tempobasterebbe per la loro separazione e per il concorso dell'ariaambiente a riempier quel vacuo che tra esse potesse restare. Dalseguir dunque che fa l'inferior lastra la superioresi raccogliecome nel vacuo il moto non sarebbe instantaneo; e si raccoglieinsieme che pur tra le medesime piastre resti qualche vacuoalmenoper brevissimo tempocioè per tutto quello che passa nelmovimento dell'ambientementre concorre a riempiere il vacuo; chése vacuo non vi restassené di concorso né di moto diambiente vi sarebbe bisogno. Converrà dunque dire chepur perviolenza o contro a naturail vacuo talor si conceda (benchél'opinion mia è che nissuna cosa sia contro a naturasalvoche l'impossibileil quale poi non è mai). Ma qui mi nasceun'altra difficoltà; ed è chese ben l'esperienzam'assicura della verità della conclusionel'intelletto nonresta già interamente appagato della causa alla quale cotaleeffetto viene attribuito. Imperò che l'effetto dellaseparazione delle due lastre è anteriore al vacuoche inconsequenza alla separazione succederebbe: e perché mi pareche la causa debbase non di tempoalmeno di natura precedereall'effettoe che d'un effetto positivo positiva altresìdebba esser la causanon resto capace come dell'aderenza delle duepiastre e della repugnanza all'esser separateeffetti che giàsono in attosi possa referir la cagione al vacuoche non èma che arebbe a seguire; e delle cose che non sononussuna puòesser l'operazioneconforme al pronunziato certissimo del Filosofo.

Simp. Ma già che concedete questo assioma adAristotelenon credo che siate per negargliene un altrobellissimoe vero: e questo èche la natura non intraprende a voler farequello che repugna ad esser fattodal qual pronunziato mi par chedependa la soluzione del vostro dubbio. Perché dunque a semedesimo repugna essere uno spazio vacuovieta la natura il farquello in consequenza di che necessariamente succederebbe il vacuo; etale è la separazione delle due lastre.

Sagr. Oraammesso per soluzione adequata del mio dubbioquesto che produce il Sig. Simplicioseguitando il cominciatodiscorsoparmi che questa medesima repugnanza al vacuo devrebbeesser bastante ritegno delle parti di un solido di pietra o dimetalloo se altre ve ne sono che più saldamente stianocongiunte e renitenti alla divisione. Perchése di unoeffetto una sola è la cagionesì come io ho inteso ecredutoose pur molte se n'assegnanoad una sola si riduconoperché questa del vacuoche sicuramente ènon basteràper tutte le resistenze?

Salv. Io per ora non voglio entrare in questa contesase ilvacuo senz'altro ritegno sia per sé solo bastante a tenereunite le parti disunibili de i corpi consistenti; ma vi dico bene chela ragione del vacuoche milita e conclude nelle due piastrenonbasta per sé sola al saldo collegamento delle parti di unsolido cilindro di marmo o di metallole qualiviolentate da forzegagliarde che dirittamente le tirinofinalmente si separano e sidividono. E quando io trovi modo di distinguer questa giàconosciuta resistenzadependente dal vacuoda ogni altraqualunqueella si fusseche con lei concorresse in fortificar l'attaccamentoe che io vi faccia vedere come essa sola non sia a gran pezzobastante per tale effettonon concederete voi che sia necessariointrodurne altra? AiutateloSig. Simpliciogià che egli staambiguo sopra quello che debba rispondere.

Simp. È forza che la sospensione del Sig. Sagredo siaper altro rispettonon restando luogo di dubitare sopra sìchiara e necessaria consequenza.

Sagr. VoiSig. Simpliciol'avete indovinata. Andavo pensandosenon bastando un million d'oro l'annoche vien di Spagnaperpagar l'esercitofusse necessario far altra provisione che di danariper le paghe de' soldati. Ma seguitate purSig. Salviatiesupponendo ch'io ammetta la vostra consequenzamostrateci il modo diseparare l'operazione del vacuo dall'altree misurandola fatecivedere come ella sia scarsa per l'effetto di che si parla.

Salv. Il vostro demonio vi assiste. Dirò il mododell'appartar la virtù del vacuo dall'altree poi la manieradel misurarla. E per appartarlapiglieremo una materia continualecui parti manchino di ogni altra resistenza alla separazione fuor chedi quella del vacuoquale a lungo è stato dimostrato in certotrattato del nostro Accademico esser l'acqua: talchéqualunque volta si disponesse un cilindro d'acquae cheattrattosi sentisse resistenza allo staccamento delle sue partiquesto daaltra cagione che dalla repugnanza al vacuo non potrebbericonoscersi. Per far poi una tale esperienza mi son immaginato unartifizioil quale con l'aiuto di un poco di disegnomeglio che consemplici parolepotrò dichiarare.

Figuroquesto CABD essere il profilo di un cilindro di metallo o divetroche sarebbe megliovoto dentroma giustissimamente tornitonel cui concavo entri con esquisitissimo contatto un cilindro dilegnoil cui profilo noto EGHFil qual cilindro si possaspignere in su e 'n giù; e questo voglio che sia bucato nelmezzosì che vi passi un filo di ferrooncinatonell'estremità Ke l'altro capo I vadiaingrossandosi in forma di cono o turbinefacendo che il foro fattonel legno sia nella parte di sopra esso ancora incavato in forma diconica superficieaggiustata puntualmente per ricevere la conicaestremità I del ferro IKqualunque volta sitiri giù dalla parte K. Inserto il legnoo vogliamolochiamar zaffoEH nel cavo cilindro ADnon voglioch'arrivi sino alla superior superficie di esso cilindroma cheresti lontano due o tre dita; e tale spazio deve esser ripieno diacquala quale vi si metterà tenendo il vaso con la bocca CDall'in su e calcandovi sopra il zaffo EHcol tenere ilturbine I remoto alquanto dal cavo del legno per lasciarl'esito all'ariache nel calcare il zaffo se n'uscirà per ilforo del legnoche perciò si fa alquanto più largodella grossezza dell'asticciuola di ferro IK. Dato l'esitoall'aria e ritirato il ferroche ben suggelli su 'legno col suoturbine Isi rivolterà il vaso tutto con la boccaall'in giùed attaccando all'oncino K un recipiente damettervi dentro rena o altra materia gravesi caricheràtantoche finalmente la superior superficie EF del zaffo sistaccherà dall'inferiore dell'acquaalla quale niente altrola teneva congiunta che la repugnanza del vacuo; pesando poi il zaffocol ferro col recipiente e con ciò che vi sarà dentroaremo la quantità della forza del vacuo: e seattaccato a uncilindro di marmo o di cristallogrosso quanto il cilindrodell'acquapeso tale cheinsieme col peso proprio dell'istessomarmo o cristallopareggi la gravità di tutte le nominatebagagliene seguirà la rotturapotremo senza verun dubbioaffermarela sola ragion del vacuo tener le parti del marmo ecristallo congiunte; ma non bastandoe che per romperlo bisogniaggiugnervi quattro volte altrettanto pesoconverrà direlaresistenza del vacuo esser delle cinque parti unae l'altraquadrupla di quella del vacuo.

Simp. Non si può negare che l'invenzione non siaingegnosama l'ho per soggetta a molte difficoltàche me larendono dubbia: perchéchi ci assicura che l'aria non possapenetrar tra 'l vetro e 'l zaffoancorché si circondi bene distoppa o altra materia cedente? e cosìacciò che ilcono I saldi bene il foroforse non basterebbe l'ugnerlo concera o trementina. In oltreperché non potrebbero le partidell'acqua distrarsi e rarefarsi? perché non penetrare ariaoesalazionio altre sustanze più sottiliper le porositàdel legnoo anche dell'istesso vetro?

Salv. Molto destramente ci muove il Sig. Semplicio ledifficoltàed in parte ci sumministra i rimediiquanto allapenetrazion dell'aria per il legnoo tra 'l legno e 'l vetro. Ma iooltre di ciònoto che potremo nell'istesso tempo accorgercicon acquisto di nuove cognizionise le promosse difficoltàaranno luogo. Imperò chese l'acqua sarà per naturase ben con violenzadistraibilecome accade nell'ariasi vedràil zaffo calare; e se faremo nella parte superiore del vetro un pocodi ombelico prominentecome questo Vpenetrandoper lasustanza o porosità del vetro o del legnoaria o altra piùtenue e spiritosa materiasi vedrà radunare (cedendoglil'acqua) nell'eminenza V: le quali cose quando non siscorganoverremo assicuratil'esperienza esser con le debitecautele stata tentata; e conosceremol'acqua non esser distraibilené il vetro esser permeabile da veruna materiabenchésottilissima.

Sagr. Ed io mercé di questi discorsi ritrovo la causadi un effetto che lungo tempo m'ha tenuto la mente ingombrata dimaraviglia e vota d'intelligenza. Osservai già una citernanella qualeper trarne l'acquafu fatta fare una trombada chiforse credevama vanamentedi poterne cavar con minor fatical'istessa o maggior quantità che con le secchie ordinarie; edha questa tromba il suo stantuffo e animella su altasì chel'acqua si fa salire per attrazzionee non per impulsocome fannole trombe che hanno l'ordigno da basso. Questasin che nella citernavi è acqua sino ad una determinata altezzala tiraabbondantemente; ma quando l'acqua abbassa oltre a un determinatosegnola tromba non lavora più. Io credettila prima voltache osservai tale accidenteche l'ordigno fusse guasto; e trovato ilmaestro acciò lo raccomodassemi disse che non vi eraaltrimente difetto alcunofuor che nell'acquala qualeessendosiabbassata tropponon pativa d'esser alzata a tanta altezza; e misoggiunsené con trombené con altra machina chesollevi l'acqua per attrazzioneesser possibile farla montare uncapello più di diciotto braccia: e siano le trombe larghe ostrettequesta è la misura dell'altezza limitatissima. Ed iosin ora sono stato così poco accortocheintendendo che unacordauna mazza di legno e una verga di ferrosi può tanto etanto allungare che finalmente il suo proprio peso la strappitenendola attaccata in altonon mi è sovvenuto che l'istessomolto più agevolmenteaccaderà di una corda o verga diacqua. E che altro è quello che si attrae nella trombache uncilindro di acquail qualeavendo la sua attaccatura di sopraallungato più e piùfinalmente arriva a quel termineoltre al qualetirato dal suo già fatto soverchio pesononaltrimente che se fusse una cordasi strappa?

Salv. Così puntualmente cammina il negozio; e perchéla medesima altezza delle diciotto braccia è il prefissotermine dell'altezza alla quale qualsivoglia quantità d'acquasiano cioè le trombe larghissime o strette o strettissimequanto un fil di pagliapuò sostentarsitutta volta che noipeseremo l'acqua contenuta in diciotto braccia di cannonesia largoo strettoaremo il valore della resistenza del vacuo ne i cilindridi qualsivoglia materia solidagrossi quanto sono i concavi de icannoni proposti. E già che aviamo detto tantomostriamo comedi tutti i metallipietrelegnivetrietc.si puòfacilmente ritrovare sino a quanta lunghezza si potrebbono allungarecilindrifili o verghe di qualsivoglia grossezzaoltre alla qualegravati dal proprio pesopiù non potrebber reggersima sistrapperebbero. Piglisiper esempioun fil di rame di qualsivogliagrossezza e lunghezzae fermato un de' suoi capi ad altosi vadiaaggiungendo all'altro maggior e maggior pesosì chefinalmente si strappi; e sia il peso massimo che potesse sostenerev. g.cinquanta libbre: è manifesto che cinquanta libbre dirameoltre al proprio pesoche siaper esempioun ottavo d'onciatirato in filo di tal grossezzasarebbe la lunghezza massima delfilo che se stesso potesse reggere. Misurisi poi quanto era lungo ilfilo che si strappòe siav. g.un braccio: e perchépesò un ottavo d'onciae resse se stesso e cinquanta libbreappressoche sono ottavi d'oncia quattro mila ottocentodiremotutti i fili di ramequalunque si sia la loro grossezzapotersireggere sino alla lunghezza di quattro mila ottocento un braccioenon più. E cosìuna verga di rame potendo reggersisino alla lunghezza di quattro mila ottocento un bracciolaresistenza che ella trova dependente dal vacuorispetto al restanteè tantaquanto importa il peso d'una verga d'acqua lungabraccia diciotto e grossa quanto quella stessa di rame; e trovandosiv. g.il rame esser nove volte più grave dell'acquadiqualunque verga di rame la resistenza allo strapparsidependentedalla ragion del vacuoimporta quanto è il peso di duebraccia dell'istessa verga. E con simil discorso ed operazione sipotranno trovare le lunghezze delle fila o verghe di tutte le materiesolide ridotte alla massima che sostener si possaed insieme qualparte abbia il vacuo della loro resistenza.

Sagr. Resta ora che ci dichiate in qual cosa consista il restodella resistenzacioè qual sia il glutine o visco che ritienattaccate le parti del solidooltre a quello che deriva dal vacuo:perché io non saprei imaginarmi qual colla sia quella che nonpossa esser arsa e consumata dentro una ardentissima fornace in duetre e quattro mesiné in dieci o in cento; dove stando tantotempo argento oro e vetro liquefatticavatipoi tornano le partiloronel freddarsia riunirsi e rattaccarsi come prima. Oltre chela medesima difficoltà che ho nell'attaccamento delle partidel vetrol'arò io nelle parti della collacioè checosa sia quella che le tiene così saldamente congiunte.

Salv. Pur poco fa vi dissi che 'l vostro demonio vi assisteva.Sono io ancora nelle medesime angustie; ed ancor iotoccando conmano come la repugnanza al vacuo è indubitabilmente quella chenon permettese non con gran violenzala separazione delle duelastree più delle due gran parti della colonna di marmo o dibronzonon so vedere come non abbia ad aver luogo ed esser parimentecagione della coerenza delle parti minori e sino delle minime ultimedelle medesime materie: ed essendo che d'un effetto una sola èla vera e potissima causamentre io non trovo altro glutineperchénon debbo tentar di vedere se questo del vacuoche si trovapuòbastarci?

Simp. Se di già voi avete dimostratola resistenza delgran vacuonel separarsi le due gran parti di un solidoesserpiccolissima in comparazion di quella che tien congiunte le particoleminimecome non volete tener più che per certoquesta esserdiversissima da quella?

Salv. A questo rispose il Sig. Sagredoche pur si pagavanotutti i particolari soldati con danari raccolti da imposizionigenerali di soldi e di quattrinise bene un million d'oro nonbastava a pagar tutto l'esercito. E chi sa che altri minutissimivacui non lavorino per le minutissime particolesì che pertutto sia dell'istessa moneta quello con che si tengono tutte leparti congiunte? Io vi dirò quello che tal ora mi èpassato per l'imaginazionee ve lo do non come veritàrisolutama come una qual si sia fantasiapiena ancod'indigestionisottoponendola a più alte contemplazioni:cavatene se nulla vi è che vi gusti; il resto giudicatelo comepiù vi pare. Nel considerar tal volta comeandando il fuocoserpendo tra le minime particole di questo e di quel metallochetanto saldamente si trovano congiuntefinalmente le separa edisunisce; e come poipartendosi il fuocotornano con la medesimatenacità di prima a ricongiugnersisenza diminuirsi punto laquantità nell'oroe pochissimo in altri metallianco perlungo tempo che restino distrutti; pensai che ciò potesseaccadere perché le sottilissime particole del fuocopenetrando per gli angusti pori del metallo (tra i qualiper la lorostrettezzanon potessero passare i minimi dell'aria né dimolti altri fluidi)col riempiere i minimi vacui tra esse frapostiliberassero le minime particole di quello dalla violenza con la qualei medesimi vacui l'una contro l'altra attraggonoproibendogli laseparazione; e cosìpotendosi liberamente muoverela lormassa ne divenisse fluidae tale restasse sin che gl'ignicoli traesse dimorassero; partendosi poi quelli e lasciando i pristini vacuitornasse la lor solita attrazzioneed in consequenza l'attaccamentodelle parti. Ed all'istanza del Sig. Simplicio parmi che si possarispondereche se bene tali vacui sarebber piccolissimied inconsequenza ciascheduno facile ad esser superatotuttavial'innumerabile moltitudine innumerabilmente (per così dire)multiplica le resistenze: e quale e quanta sia la forza che da numeroimmenso di debolissimi momenti insieme congiunti risultaporgaceneevidentissimo argomento il veder noi un peso di milioni di libbresostenuto da canapi grossissimicedere e finalmente lasciarsivincere e sollevare dall'assalto de gl'innumerabili atomi di acquali qualio spinti dall'austroo pur chedistesi in tenuissimanebbiasi vadano movendo per l'ariavanno a cacciarsi tra fibra efibra de i canapi tiratissiminé può l'immensa forzadel pendente peso vietargli l'entrata; sì chepenetrando pergli angusti meatiingrossano le corde e per consequenza lescorcianoonde la mole gravissima a forza vien sollevata.

Sagr. Ei non è dubbio alcuno che mentre una resistenzanon sia infinitapuò dalla moltitudine di minimissime forzeesser superatasì che anco un numero di formichestracicherebbe per terra una nave carica di grano; perché ilsenso ci mostra cotidianamente che una formica destramente porta ungranelloe chiara cosa è che nella nave non sono infinitigranellima compresi dentro a qualche numerodel quale se ne puòprendere un altro quattro e sei volte maggioreal quale se se neprenderà un altro di formiche egualee si porranno in operacondurranno per terra il grano e la nave ancora. È ben veroche bisognerà che il numero sia grandecome ancoper mioparerequello de i vacui che tengono attaccati i minimi del metallo.

Salv. Ma quando bisognasse che fussero anche infinitil'avetevoi forse per impossibile?

Sagr. Noquando quel metallo fusse una mole infinita:altrimenti...

Salv. Altrimenti che? Orsùgià che si èmesso mano a i paradossiveggiamo se in qualche maniera si potessedimostrarecome in una continua estensione finita non repugni ilpotersi ritrovar infiniti vacui; e nell'istesso tempo ci verràse non altroalmeno arrecata una soluzione del più ammirabilproblema che sia da Aristotele messo tra quelli che esso medesimoaddimanda ammirandidico tra le questioni mecaniche; e la soluzionepotrebbe esser per avventura non meno esplicante e concludente diquella che egli medesimo ne arrecae diversa anco da quello chemolto acutamente vi considera il dottissimo Monsig. di Guevara. Mabisogna prima dichiarare una proposizione non toccata da altridallaquale depende lo scioglimento della questioneche pois'io nonm'ingannosi tira dietro altre notizie nuove ed ammirande: perintelligenza di cheaccuratamente descriveremo la figura.

Peròintendiamo un poligono equilatero ed equiangolodi quanti lati essersi vogliadescritto intorno a questo centro Ge sia per oraun esagono ABCDEF; simile al qualee ad esso concentriconedescriveremo un altro minorequale noteremo HIKLMN: e delmaggiore si prolunghi un lato AB indeterminatamente verso Se del minore il rispondente lato HI sia verso la medesimaparte similmente prodottosegnando la linea HT parallelaall'ASe per il centro passi l'altraalle medesimeequidistanteGV. Fatto questointendiamo il maggior poligonorivolgersi sopra la linea ASportando seco l'altro poligonominore. È chiaro chestando fisso il punto Bterminedel lato ABmentre si comincia la revoluzionel'angolo Asi solleveràe 'l punto C s'abbasseràdescrivendo l'arco CQsì che il lato BC siadatti alla linea a se stesso eguale BQ: ma in tal conversionel'angolo I del minor poligono si eleverà sopra la lineaITper esser la IB obliqua sopra l'ASnéprima tornerà il punto I su la parallela ITsenon quando il punto C sarà pervenuto in Q;allora l'I sarà caduto in Odopo aver descrittol'arco IO fuori della linea HTed allora il lato IKsarà passato in OP: ma il centro G tra tantosempre averà caminato fuori della linea GVsu la qualenon sarà tornato se non dopo aver descritto l'arco GC.Fatto questo primo passoil poligono maggiore sarà trasferitoa posare co 'l lato BC su la linea BQil lato IKdel minore sopra la linea OPavendo saltato tutta la parte IOsenza toccarlae 'l centro G pervenuto in Cfacendotutto il suo corso fuori della parallela GVe finalmentetutta la figura si sarà rimessa in un posto simile al primo:sì che continuandosi la revoluzione e venendo al secondopassoil lato del maggior poligono CD si adatterà allaparte QXil KL del minore (avendo prima saltato l'arcoPY) caderà in YZed il centroprocedendosempre fuori della GVin essa caderà solamente in Rdopo il gran salto CR: ed in ultimofinita una interaconversioneil maggior poligono avrà calcate sopra la sua ASsei linee eguali al suo perimetrosenza veruna interposizione; ilpoligono minore arà parimente impresse sei linee egualiall'ambito suoma discontinuate dall'interposizione de' cinquearchisotto i quali restano le cordeparti della parallela HTnon tocche dal poligono; e finalmente il centro G non èconvenuto mai con la parallela GVsalvo che in sei punti. Diqui potete comprendere come lo spazio passato dal minor poligono èquasi eguale al passato del maggiorecioè la linea HTalla ASdella quale è solamente minore quanto èla corda d'uno di questi archiintendendo però la linea HTinsieme con li spazii de i cinque archi. Ora questoche vi hoesposto e dichiarato nell'esempio di questi essagonivorrei cheintendeste accadere di tutti gli altri poligonidi quanti lati essersi voglinopurché siano similiconcentrici e congiuntieche alla conversion del maggiore s'intenda rigirarsi anco l'altroquanto si voglia minore; che intendestedicole linee da essipassate esser prossimamente egualicomputando nello spazio passatodal minore gl'intervalli sotto gli archettinon tocchi da parteveruna del perimetro di esso minor poligono. Passa dunque il granpoligono di mille latie misura consequentementeuna linea rettaeguale al suo ambito; e nell'istesso tempo il piccolo passa unaprossimamente egual lineama interrottamente composta di milleparticelle eguali a i suoi mille lati con l'interposizione di millespazii vacuiche tali possiamo chiamargli in relazione alle millelineette toccate da i lati del poligono: ed il detto sin qui non haveruna difficoltà o dubitazione. Ma ditemi: se intorno a uncentroqual siav. g.questo punto Anoi descriveremo duecerchi concentrici ed insieme unitie che da i punti CBde i lor semidiametri siano tirate le tangenti CEBFe ad esse per il centro A la parallela ADintendendogirato il cerchio maggiore sopra la linea BF (posta egualealla di lui circonferenzacome parimente le altre due CEAD)compita che abbia una revoluzioneche averà fattoil minor cerchioe che il centro? Questo sicuramente averàscorsa e toccata tutta la linea ADe la circonferenza diquello averà con li suoi toccamenti misurata tutta la CEfacendo l'istesso che fecero i poligoni di sopra: in questo solamentedifferentiche la linea HT non fu tocca in tutte le sue partidel perimetro del minor poligonoma ne furon lasciate tante intattecon l'interposizione de' vacui saltatiquante furon le parti toccheda i lati; ma qui ne i cerchi mai non si separa la circonferenza delminor cerchio della linea CEsì che alcuna sua partenon venga toccané mai quello che tocca della circonferenza èmanco del toccato nella retta. Or come dunque può senza saltiscorrere il cerchio minore una linea tanto maggiore della suacirconferenza?

Sagr. Andava pensando se si potesse direche sì comeil centro del cerchioesso solostracicato copra ADlatocca tuttaessendo anco un punto solocosì potessero ipunti della circonferenza minoretirati dal moto della maggioreandare strascicandosi per qualche particella della linea CE.

Salv. Questo non può essereper due ragioni. Primaperché non sarebbe maggior ragione che alcuno de i toccamentisimili al C andassero stracicando per qualche parte dellalinea CEed altri no; e quando questo fusseessendo talitoccamenti (perché son punti) infinitigli strascichi soprala CE sarebbero infinitied essendo quantifarebbero unalinea infinita; ma la CE è finita. L'altra ragione èche mutando il cerchio grandenella sua conversionecontinuamentecontattonon può non mutarlo parimente il minor cerchiononsi potendo da altro punto che dal punto B tirare una linearetta sino al centro A e che passasse per il punto C;sì che mutando contatto la circonferenza grandelo mutaancora la piccolané punto alcuno della piccola tocca piùd'un punto della sua retta CE. Oltre cheanco nellaconversione de i poligoni nissun punto del perimetro del minore siadattava a più d'un punto della linea che dal medesimoperimetro veniva misurata; come si può facilmente intendereconsiderando la linea IK esser parallela alla BCondesin che la BC non si schiaccia sopra la BQla IKresta sollevata sopra la IPné prima la calca se nonnel medesimo instante che la BC si unisce con la BQedallora tutta insieme la IK si unisce con la OPe poiimmediatamente se gli eleva sopra.

Sagr. Il negozio è veramente molto intrigatonéa me sovviene scioglimento alcuno: però diteci quello che avoi sovviene.

Salv. Io ricorrerei alla considerazione de i poligoni sopraconsideratil'effetto de i quali è intelligibile e di giàcompreso: e direiche sì come ne i poligoni di cento milalati alla linea passata e misurata dal perimetro del maggiorecioèda i cento mila suoi lati continuamente distesiè eguale lamisurata da i cento mila lati del minorema con l'interposizione dicento mila spazii vacui traposti; così direine i cerchi (cheson poligoni di lati infiniti) la linea passata da gl'infiniti latidel cerchio grandecontinuamente dispostiesser pareggiata inlunghezza dalla linea passata da gl'infiniti lati del minorema daquesti con l'interposizion d'altrettanti vacui tra essi; e sìcome i lati non son quantima bene infiniticosìgl'interposti vacui non son quantima infiniti: quellicioèinfiniti punti tutti pieni; e questiinfiniti punti parte pieni eparte vacui. E qui voglio che notiatecome risolvendo e dividendouna linea in parti quantee per consequenza numeratenon èpossibile disporle in una estensione maggiore di quella che occupavanmentre stavano continuate e congiunte senza l'interposizioned'altrettanti spazii vacui; ma imaginandola risoluta in parti nonquantecioè ne' suoi infiniti indivisibilila possiamoconcepire distratta in immenso senza l'interposizione di spaziiquanti vacuima sì bene d'infiniti indivisibili vacui. Equestoche si dice delle semplici linees'intenderà dettodelle superficie e de' corpi solidiconsiderandogli composti diinfiniti atomi non quanti: che mentre gli vorremo dividere in partiquantenon è dubbio che non potremo disporle in spazii piùampli del primo occupato dal solido se non con l'interposizione dispazii quanti vacuivacuidicoalmeno della materia del solido; mase intenderemo l'altissima ed ultima resoluzione fatta ne i primicomponenti non quanti ed infiniti potremo concepire tali componentidistratti in spazio immenso senza l'interposizione di spazii quantivacuima solamente di vacui infiniti non quanti: ed in questa guisanon repugna distrarsiv. g.un piccolo globetto d'oro in uno spaziograndissimo senza ammettere spazii quanti vacui; tutta volta peròche ammettiamol'oro esser composto di infiniti indivisibili.

Simp. Parmi che voi caminiate alla via di quei vacuidisseminati di certo filosofo antico.

Salv. Ma però voi non soggiugnete “il quale negavala Providenza divina”come in certo simil propositoassai pocoa propositosoggiunse un tale antagonista del nostro Accademico.

Simp. Veddi benee non senza stomacoil livore del malaffetto contradittore: ma io non solamente per termine di buonacreanza non toccherei simili tastima perché so quanto sonodiscordi dalla mente ben temperata e bene organizzata di V. S.nonsolo religiosa e piama cattolica e santa. Ma ritornando su 'lpropositomolte difficoltà sento nascermi da gli autidiscorsidalle quali veramente io non saprei liberarmi. E per una misi para avanti questache se le circonferenze de i due cerchi sonoeguali alle due rette CEBFquesta continuamentepresae quella con l'interposizione d'infiniti punti vacuil'ADdescritta dal centroche è un punto soloin qual maniera sipotrà chiamare ad esso egualecontenendone infiniti? Inoltrequel comporre la linea di puntiil divisibile diindivisibiliil quanto di non quantimi paiono scogli assai duri dapassargli e l'istesso dover ammettere il vacuotantoconcludentemente reprovato da Aristotelenon manca delle medesimedifficoltà.

Salv. Ci sono veramente cotestee dell'altre: ma ricordiamociche siamo tra gl'infiniti e gl'indivisibiliquelli incomprensibilidal nostro intelletto finito per la lor grandezzae questi per lalor piccolezza. Con tutto ciò veggiamo che l'umano discorsonon vuol rimanersi dall'aggirarsegli attorno; dal che pigliando ioancora qualche libertàprodurrei alcuna mia fantasticheriase non concludente necessariamentealmenoper la novitàapportatrice di qualche maraviglia. Ma forse il divertir tantolungamente dal cominciato cammino potrebbe parervi importunoe peròpoco grato.

Sagr. Di graziagodiamo del benefizio e privilegio che s'hadal parlar con i vivi e tra gli amicie più di cosearbitrarie e non necessariedifferente dal trattar co' i librimortili quali ti eccitano mille dubbi e nissuno te ne risolvono.Fateci dunque partecipi di quelle considerazioni che il corso de inostri ragionamenti vi suggerisceché non ci mancheràtempomercé dell'esser noi disobbligati da funzioninecessariedi continuar e risolvere l'altre materie intraprese; edin particolare i dubbii toccati dal Sig. Simplicio non si trapassinoin tutti i modi.

Salv. Così si facciapoiché tale è ilvostro gusto: e cominciando dal primoche fu come si possa maicapire che un sol punto sia eguale ad una lineavedendo di non cipoter far altro per oraprocurerò di quietare o almenotemperare una improbabilità con un'altra simile o maggiorecome talvolta una maraviglia si attutisce con un miracolo. E questosarà col mostrarvidue superficie egualied insieme duecorpi pur eguali e sopra le medesime dette superficiecome basilorocollocatiandarsi continuamente ed egualmentee queste equellinel medesimo tempo diminuendorestando sempre tra di loroeguali i loro residuie finalmente andaresì le superficiecome i solidia terminare le lor perpetue egualitàprecedentil'uno de i solidi con l'una delle superficie in unalunghissima lineae l'altro solido con l'altra superficie in un solpuntocioèquesti in un sol puntoe quelli in infiniti.

Sagr. Ammirabil proposta veramente mi par cotesta; peròsentiamone l'esplicazione e la dimostrazione.

Salv. È necessario farne la figuraperché laprova è pura geometrica.

Pertanto intendasi il mezzo cerchio AFBil cui centro Ced intorno ad esso il parallellogrammo rettangolo ADEBe dalcentro a i punti DE siano tirate le rette linee CDCE; figurandoci poi il semidiametro CFperpendicolarea una delle due ABDEimmobileintendiamo intorno aquello girarsi tutta questa figura: è manifesto che dalrettangolo ADEB verrà descritto un cilindrodalsemicircolo AFB una mezza sferae dal triangolo CDE uncono. Inteso questovoglio che ci immaginiamo esser levato vial'emisferiolasciando però il cono e quello che rimarràdel cilindroil qualedalla figura che riterrà simile a unascodellachiameremo pure scodella: della quale e del cono primadimostreremo che sono eguali; e poiun piano tirato parallelo alcerchio che è base della scodellail cui diametro è lalinea DE e centro Fdimostreremotal pianochepassassev. g.per la linea GNsegando la scodella ne ipunti GIONed il cono ne' punti HLtagliare la parte del cono CHL eguale sempre allaparte della scodellail cui profilo ci rappresentano i triangoliGAIBON; e di più si proveràla baseancora del medesimo conocioè il cerchio il cui diametro HLesser eguale a quella circolar superficie che è base dellaparte della scodellache è come se dicessimo un nastro dilarghezza quanta è la linea GI (notate intanto che cosasono le definizioni de i matematiciche sono una imposizion di nomio vogliam dire abbreviazioni di parlareordinate ed introdotte perlevar lo stento tedioso che voi ed io sentiamo di presente per nonaver convenuto insieme di chiamarv. g.questa superficienastrocircolaree quel solido acutissimo della scodella rasoiorotondo): or comunque vi piaccia chiamarglibastivi intendereche il piano prodotto per qualsivoglia distanzapur che siaparallelo alla basecioè al cerchio il cui diametro DEtaglia sempre i due solidicioè la parte del cono CHLe la superior parte della scodellaeguali tra di loroe parimentele due superficie basi di tali solidicioè il detto nastro e'l cerchio HLpur tra loro eguali. Del che ne segue lamaraviglia accennata: cioèche se intenderemo il segantepiano successivamente inalzato verso la linea ABsempre leparti de i solidi tagliate sono egualicome anco le superficiecheson basi loropur sempre sono eguali; e finalmentealzando ealzando tanto li due solidi (sempre eguali) quanto le lor basi(superficie pur sempre eguali)vanno a terminare l'una coppia diloro in una circonferenza di un cerchioe l'altra in un sol puntoché tali sono l'orlo supremo della scodella e la cuspide delcono. Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si vasinoall'ultimomantenendo sempre tra essi la egualitàben parconveniente il dire che gli altissimi ed ultimi termini di talimenomamenti restino tra di loro egualie non l'uno infinitamentemaggior dell'altro: par dunque che la circonferenza di un cerchioimmenso possa chiamarsi eguale a un sol punto. E questo che accade nei solidiaccade parimente nelle superficiebasi loroche esseancoraconservando nella comune diminuzione sempre la egualitàvanno in fine ad incontrarenel momento della loro ultimadiminuzionequella per suo termine la circonferenza di un cerchioequesta un sol punto; li quali perché non si devon chiamareegualise sono le ultime reliquie e vestigie lasciate da grandezzeeguali? E notate appressoche quando ben fussero tali vasi capaci degl'immensi emisferii celestitanto gli orli loro supremi e le puntede i contenuti coniservando sempre tra loro l'egualitàandrebbero a terminarequelli in circonferenze eguali a quelle de icerchi massimi de gli orbi celestie questi in semplici punti. Ondeconforme a quello che tali specolazioni ne persuadonoanco tutte lecirconferenze de' cerchi quanto si voglia disegualiposson chiamarsitra loro egualie ciascheduna eguale a un punto solo.

Sagr. La specolazione mi par tanto gentile e peregrinacheioquando ben potessinon me gli vorrei opporreché miparrebbe un mezzo sacrilegio lacerar sì bella strutturacalpestandola con qualche pedantesco affronto: però per interasodisfazione recateci pur la provache dite geometricadelmantenersi sempre l'egualità tra quei solidi e quelle basiloroche penso che non possa esser se non molto argutaessendo cosìsottile la filosofica meditazione che da tal conclusione depende.

Salv. La dimostrazione è anco breve e facile.Ripigliamo la segnata figuranella qualeper esser l'angolo IPCrettoil quadrato del semidiametro IC è eguale allidue quadrati de i lati IPPC: ma il semidiametro ICè eguale alla ACe questa alla GPe la CPè eguale alla PH; adunque il quadrato della linea GPè eguale alli due quadrati delle IPPH e 'lquadruplo e i quadruplicioè il quadrato del diametro GNè eguale alli due quadrati IOHL: e perchéi cerchi son tra loro come i quadrati de' lor diametriil cerchio ilcui diametro GN sarà eguale alli due cerchi i cuidiametri IOHLe tolto via il comune cerchio il cuidiametro IOil residuo del cerchio GN saràeguale al cerchio il cui diametro è HL. E questo èquanto alla prima parte: quanto poi all'altra partelasceremo perora la dimostrazionesì perchévolendola noi vederela troveremo nella duodecima proposizione del libro secondo Decentro gravitatis solidorum posta dal Sig. Luca ValerionuovoArchimede dell'età nostrail quale per un altro suo propositose ne servìsì perché nel caso nostro bastal'aver veduto come le superficie già dichiarate siano sempreegualie chediminuendosi sempre egualmentevadano a terminarel'una in un sol punto e l'altra nella circonferenza d'un cerchiomaggiore anco di qualsivoglia grandissimoperché in questaconsequenza sola versa la nostra maraviglia.

Sagr. Ingegnosa la dimostrazionequanto mirabile lareflessione fattavi sopra. Or sentiamo qualche cosa circa l'altradifficoltà promossa dal Sig. Simpliciose però avetealcuna particolarità da dirvi soprache crederei che nonpotesse essereessendo una controversia stata tanto esagitata.

Salv. Avrò qualche mio pensiero particolarereplicandoprima quel che poco fa dissicioè che l'infinito è persé solo da noi incomprensibilecome anco gl'indivisibili; orpensate quel che saranno congiunti insieme: e pur se vogliamo comporla linea di punti indivisibilibisogna fargli infiniti; e cosìconviene apprender nel medesimo tempo l'infinito e l'indivisibile. Lecose che in più volte mi son passate per la mente in talpropositoson molteparte delle qualie forse le piùconsiderabilipotrebb'esser checosì improvvisamentenon misovvenissero; ma nel progresso del ragionamento potrà accaderechedestando io a voied in particolare al Sig. Simplicioobbiezzioni e difficoltàessi all'incontro mi facesseroricordar di quello che senza tale eccitamento restasse dormendo nellafantasia: e però con la solita libertà sia lecitoprodurre in mezzo i nostri umani capricciché talimeritamente possiamo nominargli in comparazione delle dottrinesopranaturalisole vere e sicure determinatrici delle nostrecontroversiee scorte inerranti ne i nostri oscuri e dubbii sentierio più tosto labirinti.

Tra le prime istanze che si sogliono produrre contro a quelli checompongono il continuo d'indivisibilisuol esser quella che unoindivisibile aggiunto a un altro indivisibile non produce cosadivisibileperchése ciò fussene seguirebbe cheanco l'indivisibile fusse divisibile; perché quando dueindivisibilicomeper esempiodue punti congiunti facessero unaquantitàqual sarebbe una linea divisibilemolto piùsarebbe tale una composta di tredi cinquedi sette e di altremoltitudini dispari; le quali linee essendo poi segabili in due partiegualirendon segabile quell'indivisibile che nel mezzo eracollocato. In questa ed altre obbiezzioni di questo genere si dàsodisfazione alla parte con dirgliche non solamente dueindivisibilima né dieciné centoné millenon compongono una grandezza divisibile e quantama sì beneinfiniti.

Simp. Qui nasce subito il dubbioche mi pare insolubile: edèche sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altratutta volta che amendue contenghino punti infinitibisognaconfessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggiordell'infinitoperché la infinità de i punti dellalinea maggiore eccederà l'infinità de i punti dellaminore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi parconcetto da non poter esser capito in verun modo.

Salv. Queste son di quelle difficoltà che derivano daldiscorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno agl'infinitidandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finitee terminate; il che penso che sia inconvenienteperché stimoche questi attributi di maggioranzaminorità ed egualitànon convenghino a gl'infinitide i quali non si può direunoesser maggiore o minore o eguale all'altro. Per prova di che giàmi sovvenne un sì fatto discorsoil quale per piùchiara esplicazione proporrò per interrogazioni al Sig.Simplicioche ha mossa la difficoltà.

Io suppongo che voi benissimo sappiate quali sono i numeri quadratie quali i non quadrati.

Simp. So benissimo che il numero quadrato è quello chenasce dalla moltiplicazione d'un altro numero in se medesimo: e cosìil quattroil noveetc.son numeri quadratinascendo quello dalduae questo dal trein se medesimi moltiplicati.

Salv. Benissimo: e sapete ancorache sì come iprodotti si dimandano quadratii producenticioè quelli chesi multiplicanosi chiamano lati o radici; gli altri poiche nonnascono da numeri multiplicati in se stessinon sono altrimentiquadrati. Onde se io diròi numeri tutticomprendendo iquadrati e i non quadratiesser più che i quadrati solidiròproposizione verissima: non è così?

Simp. Non si può dir altrimenti.

Salv. Interrogando io di poiquanti siano i numeri quadratisi può con verità rispondereloro esser tanti quantesono le proprie radiciavvenga che ogni quadrato ha la sua radiceogni radice il suo quadratoné quadrato alcuno ha piùd'una sola radicené radice alcuna più d'un quadratosolo.

Simp. Così sta.

Salv. Ma se io domanderòquante siano le radicinonsi può negare che elle non siano quante tutti i numeripoichénon vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato;e stante questoconverrà dire che i numeri quadrati sianoquanti tutti i numeripoiché tanti sono quante le lor radicie radici son tutti i numeri: e pur da principio dicemmotutti inumeri esser assai più che tutti i quadratiessendo lamaggior parte non quadrati. E pur tuttavia si va la moltitudine de iquadrati sempre con maggior proporzione diminuendoquanto a maggiornumeri si trapassa; perché sino a cento vi sono dieciquadratiche è quanto dire la decima parte esser quadrati; indieci mila solo la centesima parte sono quadratiin un millione solola millesima: e pur nel numero infinitose concepir lo potessimobisognerebbe diretanti essere i quadrati quanti tutti i numeriinsieme.

Sagr. Che dunque si ha da determinare in questa occasione?

Salv. Io non veggo che ad altra decisione si possa venirechea direinfiniti essere tutti i numeriinfiniti i quadratiinfinitele loro radiciné la moltitudine de' quadrati esser minore diquella di tutti i numeriné questa maggior di quellaed inultima conclusionegli attributi di eguale maggiore e minore nonaver luogo ne gl'infinitima solo nelle quantità terminate. Eperò quando il Sig. Simplicio mi propone più lineedisegualie mi domanda come possa essere che nelle maggiori nonsiano più punti che nelle minoriio gli rispondo che non vene sono né più né manco né altrettantima in ciascheduna infiniti: o veramente se io gli rispondessiipunti nell'una esser quanti sono i numeri quadratiin un'altramaggiore quanti tutti i numeriin quella piccolina quanti sono inumeri cubinon potrei io avergli dato sodisfazione col porne piùin una che nell'altrae pure in ciascheduna infiniti? E questo èquanto alla prima difficoltà.

Sagr. Fermate in graziae concedetemi che io aggiunga aldetto sin qui un pensieroche pur ora mi giugne: e questo èchestanti le cose dette sin quiparmi che non solamente non sipossa direun infinito esser maggiore d'un altro infinitoma néanco che e' sia maggior d'un finitoperché se 'l numeroinfinito fusse maggiorev. g.del millionene seguirebbechepassando dal millione ad altri e ad altri continuamente maggiorisicamminasse verso l'infinito; il che non è: anziperl'opposito a quanto maggiori numeri facciamo passaggiotanto piùci discostiamo dal numero infinito; perché ne i numeriquantopiù si pigliano grandisempre più e più rarisono i numeri quadrati in esso contenuti; ma nel numero infinito iquadrati non possono esser manco che tutti i numericome pur ora siè concluso; adunque l'andar verso numeri sempre maggiori emaggiori è un discostarsi dal numero infinito.

Salv. E così dal vostro ingegnoso discorso si concludegli attributi di maggiore minore o eguale non aver luogo nonsolamente tra gl'infinitima né anco tra gl'infiniti e ifiniti.

Passo ora ad un'altra considerazioneed èche stante che lalinea ed ogni continuo sian divisibili in sempre divisibilinonveggo come si possa sfuggirela composizione essere di infinitiindivisibiliperché una divisione e subdivisione che si possaproseguir perpetuamentesuppone che le parti siano infiniteperchéaltramente la subdivisione sarebbe terminabile; e l'esser le partiinfinite si tira in consequenza l'esser non quanteperchéquanti infiniti fanno un'estensione infinita: e così abbiamoil continuo composto d'infiniti indivisibili.

Simp. Ma se noi possiamo proseguir sempre la divisione inparti quanteche necessità abbiamo noi di doverper talrispettointrodur le non quante?

Salv. L'istesso poter proseguir perpetuamente la divisione inparti quanteinduce la necessità della composizione diinfiniti non quanti. Imperò chevenendo più allestretteio vi domando che resolutamente mi diciatese le partiquante nel continuoper vostro credereson finite o infinite?

Simp. Io vi rispondoessere infinite e finite: infiniteinpotenza; e finitein atto: infinite in potenzacioè innanzialla divisione; ma finite in attocioè dopo che son divise;perché le parti non s'intendono attualmente esser nel suotuttose non dopo esser divise o almeno segnate; altramente sidicono esservi in potenza.

Salv. Sì che una linea lungav. g.venti palmi non sidice contener venti linee di un palmo l'una attualmentese non dopola divisione in venti parti eguali; ma per avanti si dice contenerlesolamente in potenza. Or sia come vi piace; e ditemi sefattal'attual divisione di tali partiquel primo tutto cresce odiminuisceo pur resta della medesima grandezza?

Simp. Non crescené scema.

Salv. Così credo io ancora. Adunque le parti quante nelcontinuoo vi siano in atto o vi siano in potenzanon fanno la suaquantità maggiore né minore: ma chiara cosa èche parti quante attualmente contenute nel lor tuttose sonoinfinitelo fanno di grandezza infinita: adunque parti quantebenché in potenza solamenteinfinitenon possono essercontenute se non in una grandezza infinita; adunque nella finitaparti quante infinitené in atto né in potenza possonoesser contenute.

Sagr. Come dunque potrà esser vero che il continuopossa incessabilmente dividersi in parti capaci sempre di nuovadivisione?

Salv. Par che quella distinzione d'atto e di potenza vi rendafattibile per un verso quel che per un altro sarebbe impossibile. Maio vedrò d'aggiustar meglio queste partite con fare un altrocomputo; ed al quesito che domanda se le parti quante nel continuoterminato sian finite o infiniterisponderò tutto l'oppostodi quel che rispose dianzi il Sig. Simpliciocioè non esserné finite né infinite.

Simp. Ciò non arei saputo mai risponder iononpensando che si trovasse termine alcuno mezzano tra 'l finito el'infinitosì che la divisione o distinzione che poneunacosa o esser finita o infinitafusse manchevole e difettosa.

Salv. A me par ch'ella sia. E parlando delle quantitàdiscreteparmi che tra le finite e l'infinite ci sia un terzo mediotermineche è il rispondere ad ogni segnato numero; sìchedomandatonel presente propositose le parti quante nelcontinuo siano finite o infinitela più congrua risposta siail direnon esser né finite né infinitema tante cherispondono ad ogni segnato numero: per il che fare ènecessario che elle non siano comprese dentro a un limitato numeroperché non risponderebbono ad un maggiore; ma né anco ènecessario che elle siano infiniteperché niuno assegnatonumero è infinito: e così ad arbitrio del domandanteuna proposta linea gliela potremo assegnare segata in cento partiquantee in mille e in cento milaconforme a qual numero piùgli piacerà; ma divisa in infinitequesto non già.Concedo dunque a i Signori filosofi che il continuo contiene quanteparti quante piace loroe gli ammetto che le contenga in atto o inpotenzaa lor gusto e beneplacito; ma gli soggiungo poiche nelmodo che in una linea di dieci canne si contengono dieci linee d'unacanna l'unae quaranta d'un braccio l'unae ottanta di mezzobraccioetc.così contiene ella punti infiniti: chiamatelipoi in atto o in potenzacome più vi piaceché ioSig. Simplicioin questo particolare mi rimetto al vostro arbitrio egiudizio.

Simp. Io non posso non laudare il vostro discorso: ma ho granpaura che questa parità dell'esser contenuti i punti come leparti quante non corra con intera puntualitàné che avoi sarà così agevole il dividere la proposta linea ininfiniti punticome a quei filosofi in dieci canne o in quarantabraccia: anzi ho per impossibile del tutto il ridurr'ad effetto taldivisionesì che questa sarà una di quelle potenze chemai non si riducono in atto.

Salv. L'esser una cosa fattibile se non con fatica odiligenzao in gran lunghezza di temponon la rende impossibileperché penso che voi altresì non cosìagevolmente vi sbrighereste da una divisione da farsi d'una linea inmille partie molto meno dovendo dividerla in 937 o altro grannumero primo. Ma se questache voi per avventura stimate divisioneimpossibileio ve la riducessi a così spedita come se altrila dovesse segare in quarantavi contentereste voi di ammetterla piùplacidamente nella nostra conversazione?

Simp. Io gusto del vostro trattarcome fate talora conqualche piacevolezza; ed al quesito vi rispondoche la facilitàmi parrebbe grande più che a bastanzaquando il risolverla inpunti non fusse più laborioso che il dividerla in mille parti.

Salv. Qui voglio dirvi cosa che forse vi faràmaravigliarein proposito del volere o poter risolver la linea ne'suoi infiniti tenendo quell'ordine che altri tiene nel dividerla inquarantasessanta o cento particioè con l'andarla dividendoin due e poi in quattro etc.: col qual ordine chi credesse di trovarei suoi infiniti puntis'ingannerebbe indigrossoperché contal progresso né men alla division di tutte le parti quante siperverrebbe in eterno; ma de gli indivisibili tanto è lontanoil poter giugner per cotal strada al cercato termineche piùtosto altri se ne discostae mentre pensacol continuar ladivisione e col multiplicar la moltitudine delle partidiavvicinarsi alla infinitàcredo che sempre più sen'allontani: e la mia ragione è questa. Nel discorso auto pocofa concludemmoche nel numero infinito bisognava che tanti fussero iquadrati o i cubi quanti tutti i numeripoiché e questi equelli tanti sono quante le radici loroe radici son tutti i numeri.Vedemmo appressoche quanto maggiori numeri si pigliavanotanto piùradi si trovavano in essi i lor quadratie più radi ancora ilor cubi: adunque è manifestoche a quanto maggiori numerinoi trapassiamotanto più ci discostiamo dal numero infinito;dal che ne séguita chetornando in dietro (poiché talprogresso sempre più ci allontana dal termine ricercato)senumero alcuno può dirsi infinitoquesto sia l'unità. Everamente in essa son quelle condizioni e necessarii requisiti delnumero infinitodico del contener in sé tanti quadrati quanticubi e quanti tutti i numeri.

Simp. Io non capisco bene come si deva intender questonegozio.

Salv. Il negozio non ha in sé dubbio verunoperchél'unità è quadratoè cuboè quadratoquadrato e tutte le altre dignitàné vi èparticolarità veruna essenziale a i quadratia i cubietc.che non convenga all'uno: comev. g.proprietà di due numeriquadrati è l'aver tra di loro un numero medio proporzionale;pigliate qualsivoglia numero quadrato per l'uno de' termini e perl'altro l'unitàsempre ci troverete un numero medioproporzionale. Siano due numeri quadrati 9 e 4: eccovitra 'l 9 el'unomedio proporzionale il 3; fra 'l 4 e l'uno media il 2; e tra idue quadrati 9 e 4 vi è il 6 in mezzo. Proprietà de icubi è l'esser tra essi necessariamente due numeri mediiproporzionali: ponete 8 e 27già tra loro son medii 12 e 18;e tra l'uno e l'8 mediano il 2 e 'l 4; e tra l'uno e 'l 27il 3 e 'l9. Concludiamo per tantonon ci essere altro numero infinito chel'unità. E queste sono delle maraviglie che superano lacapacità della nostra immaginazionee che devriano farciaccorti quanto gravemente si erri mentre altri voglia discorrereintorno a gl'infiniti con quei medesimi attributi che noi usiamointorno a i finitile nature de i quali non hanno veruna convenienzatra di loro.

Inproposito di che non voglio tacervi un mirabile accidente che pur orami sovvieneesplicante l'infinita differenzaanzi repugnanza econtrarietà di naturache incontrerebbe una quantitàterminata nel trapassar all'infinita.

Segniamo questa linearetta AB di qualsivoglia lunghezza; e preso in leiqualsivoglia punto Cche in parti diseguali la dividadicoche partendosi coppie di linee da i termini ABcheritenendo fra di loro la medesima proporzione che hanno le parti ACBCvadiano a concorrere insiemei punti de i lor concorsicadranno tutti nella circonferenza di un medesimo cerchio: comeperesempiopartendosi le ALBL da i punti ABed avendo tra di loro la medesima proporzione che hanno le parti ACBCed andando a concorrere nel punto Le ritenendol'istessa proporzione altre due AKBKconcorrendo inKaltre AIBIAHHBAGGBAFFBAEEBdico che ipunti de i concorsi LKIHGFE cascano tutti nella circonferenza di un istessocerchio; talché se ci immagineremoil punto C muoversicontinuamente con tal leggeche le linee da esso prodotte sino a itermini fissi AB mantenghino sempre la proporzionemedesima che hanno le prime parti ACCBtal punto Cdescriverà la circonferenza d'un cerchiocome appresso vidimostrerò; ed il cerchio in cotal modo descritto saràsempre maggiore e maggiore infinitamentesecondo che il punto Csarà preso più vicino al punto di mezzoche sia Oe minore sarà quel cerchio che dal punto più vicinoall'estremità B sarà descritto; in maniera cheda i punti infiniti che pigliar si possono nella linea OB sidescriveranno cerchi (movendogli con l'esplicata legge) diqualsivoglia grandezzaminori della luce dell'occhio d'una pulceemaggiori dell'equinoziale del primo mobile. Orase alzandosiqualsivoglia de i punti compresi tra i termini OBdatutti si descrivono cerchie immensi da i punti prossimi all'Oalzando l'istesso O e continuando di muoverlo con l'osservanzadell'istesso decretocioè che le linee da esso prodotte sinoa i termini AB ritenghino la proporzione che hanno leprime linee AOOBche linea verrà segnata?Segnerassi la circonferenza d'un cerchioma d'un cerchio maggiore ditutti gli altri massimidi un cerchiodunqueinfinito; ma si segnaanco una linea retta e perpendicolare sopra la BAeretta dalpunto O e prodotta in infinito senza mai tornare a riunire ilsuo termine ultimo col suo primocome ben tornavano l'altre: imperòche la segnata per il moto limitato del punto Cdopo segnatoil mezzo cerchio superiore CHEcontinuava di segnarel'inferiore EMCriunendo insieme i suoi estremi termini nelpunto C; ma il punto Omossosi per segnarcome tuttigli altri della linea AB (perché i punti presinell'altra parte OA descriveranno essi ancora i lor cerchiedi massimi i punti prossimi all'O)il suo cerchioper farlomassimo di tuttie per conseguenza infinitonon può piùritornare nel suo primo termineed in somma descrive una linea rettainfinita per circonferenza del suo infinito cerchio. Considerate oraqual differenza sia da un cerchio finito a un infinitopoichéquesto muta talmente l'essereche totalmente perde l'essere e ilpoter essere: ché già ben chiaramente comprendiamononsi poter dare un cerchio infinito; il che si tira poi in consequenzané meno poter essere una sfera infinitané altroqualsivoglia corpo o superficie figurata e infinita. Or che diremo dicotali metamorfosi nel passar dal finito all'infinito? e perchédoviamo sentir repugnanza maggiorementrecercando l'infinito ne inumeriandiamo a concluderlo nell'uno? e mentre che rompendo unsolido in molte parti e seguitando di ridurlo in minutissima polvererisoluto che si fusse ne gl'infiniti suoi atomi non piùdivisibiliperché non potremo direquello esser ritornato inun solo continuoma forse fluido come l'acqua o 'l mercurio o 'lmedesimo metallo liquefatto? e non vediamo noile pietre liquefarsiin vetroed il vetro medesimoco 'l molto fuocofarsi fluido piùche l'acqua?

Sagr. Doviamo dunque crederei fluidi esser taliperchésono risoluti ne i primi infiniti indivisibilisuoi componenti?

Salv. Io non so trovar miglior ripiego per risolver alcunesensate apparenzetra le quali una è questa. Mentre io piglioun corpo duroo sia pietra o metalloe che con martello osottilissima lima lo vo al possibile dividendo in minutissima edimpalpabile polverechiara cosa è che i suoi minimiancorche per la lor piccolezza siano impercettibili a uno a uno dallanostra vista e dal tattotuttavia son eglino ancor quantifiguratie numerabili: e di essi accade cheaccumulati insiemesi sostengonoammucchiati; e scavati sino a certo segnoresta la cavitàsenza che le parti d'intorno scorrano a riempirla; agitati ecommossisubito si fermano tantosto che il motore esterno gliabbandona: e questi medesimi effetti fanno ancora tutti gli aggregatidi corpuscoli maggiori e maggiorie di ogni figuraancora chesfericacome veggiamo ne i monti di migliodi granodi migliaroledi piombo e d'ogni altra materia. Ma se noi tenteremo di vedere taliaccidenti nell'acquanissuno ve ne troveremo; masollevataimmediatamente si spianase da vaso o altro esterno ritegno non siasostenuta; incavatasubito scorre a riempire la cavità; edagitataper lunghissimo tempo va fluttuandoe per spaziigrandissimi distendendo le sue onde. Da questo mi par di potere moltoragionevolmente arguirei minimi dell'acquane i quali ella pursembra esser risoluta (poiché ha minor consistenza diqualsivoglia sottilissima polvereanzi non ha consistenza nissuna)esser differentissimi da i minimi quanti e divisibili; nésaprei ritrovarci altra differenzache l'esser indivisibili. Parmianco che la sua esquisitissima trasparenza ce ne porga assai fermaconiettura: perché se noi piglieremo del piùtrasparente cristallo che sia e lo cominceremo a rompere e pestareridotto in polvere perde la trasparenzae sempre più quantopiù sottilmente si trita; ma l'acquache pure èsommamente tritaè anco sommamente diafana. L'oro el'argentocon acque forti polverizzati più sottilmente checon qualsivoglia limapur restano in polverema non divengonfluidiné prima si liquefanno che gl'indivisibili del fuoco ode i raggi del Sole gli dissolvanocredo ne i lor primi altissimicomponentiinfinitiindivisibili.

Sagr. Questo che V. S. ha toccato della luceho io piùvolte veduto con maraviglia; vedutodicocon uno specchio concavodi tre palmi di diametroliquefare il piombo in un instante: onde ioson venuto in opinioneche quando lo specchio fusse grandissimo eben terso e di figura parabolicaliquefarebbe non meno ogni altrometallo in brevissimo tempovedendo che quelloné moltogrande né ben lustro e di cavità sfericacon tantaforza liquefaceva il piombo ed abbruciava ogni materia combustibile;effetti che mi rendon credibili le maraviglie de gli specchid'Archimede.

Salv. Intorno a gli effetti de gli specchi d'Archimede mi resecredibile ogni miracoloche si legge in più scrittorilalettura de i libri dell'istesso Archimedegià da me coninfinito stupore letti e studiati; e se nulla di dubbio mi fusserestatoquello che ultimamente ha dato in luce intorno allo SpecchioUstorio il P. Bonaventura Cavalierie che io con ammirazioneho lettoè bastato a cessarmi ogni difficoltà.

Sagr. Veddi ancor io cotesto trattatoe con gusto emaraviglia grande lo lessi; e perché per avanti avevoconoscenza della personami andai confermando nel concetto che diesso avevo già presoch'ei fusse per riuscire uno de'principali matematici dell'età nostra. Ma tornando all'effettomaraviglioso de i raggi solari nel liquefare i metallidoviamo noicredere che tale e sì veemente operazione sia senza motoopur che sia con motoma velocissimo?

Salv. Gli altri incendii e dissoluzioni veggiamo noi farsi conmotoe con moto velocissimo: veggansi le operazioni de i fulminidella polvere nelle mine e ne i petardied in somma quanto ilvelocitar co' i mantici la fiamma de i carbonimista con vaporigrossi e non puriaccresca di forza nel liquefare i metalli: onde ionon saprei intendere che l'azzione della lucebenchépurissimapotesse esser senza motoed anco velocissimo.

Sagr. Ma quale e quanta doviamo noi stimare che sia questavelocità del lume? forse instantaneamomentaneao purcomegli altri movimentitemporanea? né potremo con esperienzaassicurarci qual ella sia?

Simp. Mostra l'esperienza quotidianal'espansion del lumeesser instantanea; mentre che vedendo in gran lontananza spararun'artiglierialo splendor della fiamma senza interposizion di temposi conduce a gli occhi nostrima non già il suonoall'orecchiese non dopo notabile intervallo di tempo.

Sagr. EhSig. Simplicioda cotesta notissima esperienza nonsi raccoglie altro se non che il suono si conduce al nostro udito intempo men breve di quello che si conduca il lume; ma non mi assicurase la venuta del lume sia per ciò istantaneapiù chetemporanea ma velocissima. Né simile osservazione conclude piùche l'altra di chi dice: “Subito giunto il Sole all'orizontearriva il suo splendore a gli occhi nostri”; imperò chechi mi assicura che prima non giugnessero i suoi raggi al dettotermineche alla nostra vista?

Salv. La poca concludenza di queste e di altre similiosservazioni mi fece una volta pensare a qualche modo di potercisenza errore accertarse l'illuminazionecioè se l'espansiondel lumefusse veramente instantanea; poiché il moto assaiveloce del suono ci assicuraquella della luce non poter esser senon velocissima: e l'esperienza che mi sovvennefu tale. Voglio chedue piglino un lume per unoil qualetenendolo dentro lanterna oaltro ricettopossino andar coprendo e scoprendoconl'interposizion della manoalla vista del compagnoe cheponendosil'uno incontro all'altro in distanza di poche bracciavadanoaddestrandosi nello scoprire ed occultare il lor lume alla vista delcompagnosì che quando l'uno vede il lume dell'altroimmediatamente scuopra il suo; la qual corrispondenzadopo alcunerisposte fattesi scambievolmenteverrà loro talmenteaggiustatachesenza sensibile svarioalla scoperta dell'unorisponderà immediatamente la scoperta dell'altrosìche quando l'uno scuopre il suo lumevedrà nell'istesso tempocomparire alla sua vista il lume dell'altro. Aggiustata cotal praticain questa piccolissima distanzapongansi i due medesimi compagni condue simili lumi in lontananza di due o tre migliae tornando dinotte a far l'istessa esperienzavadano osservando attentamente sele risposte delle loro scoperte ed occultazioni seguono secondol'istesso tenore che facevano da vicino; che seguendosi potràassai sicuramente concluderel'espansion del lume essereinstantanea: ché quando ella ricercasse tempoin unalontananza di tre migliache importano sei per l'andata d'un lume evenuta dell'altrola dimora dovrebbe esser assai osservabile. Equando si volesse far tal osservazione in distanze maggioricioèdi otto o dieci migliapotremmo servirci del telescopioaggiustandone un per uno gli osservatori al luogo dove la notte sihanno a mettere in pratica i lumi; li qualiancor che non moltograndie per ciò invisibili in tanta lontananza all'occhioliberoma ben facili a coprirsi e scoprirsicon l'aiuto de itelescopii già aggiustati e fermati potranno essercommodamente veduti.

Sagr. L'esperienza mi pare d'invenzione non men sicura cheingegnosa. Ma diteci quello che nel praticarla avete concluso.

Salv. Veramente non l'ho sperimentatasalvo che in lontananzapiccolacioè manco d'un migliodal che non ho potutoassicurarmi se veramente la comparsa del lume opposto siainstantanea; ma bense non instantaneavelocissimae direimomentaneaè ellae per ora l'assimiglierei a quel moto cheveggiamo farsi dallo splendore del baleno veduto tra le nugolelontane otto o dieci miglia; del qual lume distinguiamo il principioe dirò il capo e fontein un luogo particolare tra essenugolema bene immediatamente segue la sua espansione amplissima perle altre circostanti; che mi pare argomentoquella farsi con qualchepoco di tempo; perché quando l'illuminazione fusse fatta tuttainsiemee non per partinon par che si potesse distinguer la suaoriginee dirò il suo centrodalle sue falde e dilatazioniestreme. Ma in quai pelaghi ci andiamo noi inavvertentemente pianpiano ingolfando? tra i vacuitra gl'infinititra gli indivisibilitra i movimenti instantaneiper non poter maidopo mille discorsigiugnere a riva?

Sagr. Cose veramente molto sproporzionate al nostrointendimento. Ecco: l'infinitocercato tra i numeripar che vadia aterminar nell'unità; da gl'indivisibili nasce il sempredivisibile; il vacuo non par che risegga se non indivisibilmentemescolato tra 'l pieno: ed in somma in queste cose si muta talmentela natura delle comunemente intese da noiche sin alla circonferenzad'un cerchio doventa una linea retta infinita; ches'io ho bentenuto a memoriaè quella proposizione che voiSig.Salviatidovevi con geometrica dimostrazione far manifesta. Peròquando vi piacciasarà benesenza più digredirearrecarcela.

Salv. Eccomi a servirledimostrando per piena intelligenza ilseguente problema:

Data una linea retta divisa secondo qualsivoglia proporzione in partidisegualidescrivere un cerchioalla cui circonferenza prodotteaqualsivoglia punto di essadue linee rette da i termini della datalinearitenghino la proporzion medesima che hanno tra di loro leparti di essa linea datasì che omologhe siano quelle che sipartono da i medesimi termini.

Sia la data retta linea ABdivisa in qualsivoglia modo inparti diseguali nel punto C: bisogna descrivere il cerchioaqualsivoglia punto della cui circonferenza concorrendo due retteprodotte da i termini ABabbiano tra di loro laproporzion medesima che hanno tra di loro le parti ACBCsì che omologhe sian quelle che si partono dall'istessotermine. Sopra 'l centro Ccon l'intervallo della minor parteCBintendasi descritto un cerchioalla circonferenza delquale venga tangente dal punto A la retta ADindeterminatamente prolungata verso Ee sia il contatto in De congiungasi la CDche sarà perpendicolare alla AE;ed alla BA sia perpendicolare la BEla quale prodottaconcorrerà con la AEessendo l'angolo A acuto;sia il concorso in Edi dove si ecciti la perpendicolare allaAEche prodotta vadia a concorrere con la ABinfinitamente prolungatain F: dico primieramentele duerette FEFC esser eguali. Imperò chetirata laECaremo ne i due triangoli DECBEC li duelati dell'uno DEEC eguali alli due dell'altro BEECessendo le due DEEB tangenti del cerchioDBe le basi DCCB parimente eguali; onde lidue angoli DECBEC saranno eguali. E perchéall'angolo BCE per esser retto manca quanto è l'angoloCEBed all'angolo CEFpur per esser rettomancaquanto è l'angolo CEDessendo tali mancamenti egualigli angoli FCEFEC saranno egualied in consequenza ilati FEFC; onde fatto centro il punto Fe conl'intervallo FE descrivendo un cerchiopasserà per ilpunto C. Descrivasie sia CEG: dicoquesto esser ilcerchio ricercatoa qualsivoglia punto della circonferenza del qualeogni coppia di linee che vi concorranopartendosi da i termini ABaranno la medesima proporzione tra di loro che hanno le dueparti ACBCle quali di già vi concorrono nelpunto C. Questodelle due che concorrono nel punto Ecioè delle AEBEè manifestoessendol'angolo E del triangolo AEB diviso in mezzo dalla CE;per lo che qual proporzione ha la AC alla CBtale hala AE alla BE. L'istesso proveremo delle due AGBGterminate nel punto G. Imperò cheessendo(per la similitudine de' triangoli AFEEFB) come AFad FE così EF ad FBcioè come AFad FC così CF ad FBsaràdividendocome AC a CF (cioè ad FG) cosìCB a FBe tutta AB a tutta BG come unaCB ad una BFecomponendocome AG a GBcosì CF ad FBcioè FE ad FBcioè AE ad EBed AC a CB: il chebisognava provare. Prendasi ora qualsivoglia altro punto nellacirconferenzae sia Hal quale concorrano le due AHBH: dico parimentecome AC a CBcosìessere AH ad HB. Prolunghisi HB sino allacirconferenza in Ie congiungasi IF: e perchégià si è vistocome AB a BGcosìessere CB a BFsarà il rettangolo ABFeguale al rettangolo CBGcioè IBHe peròcome AB a BHcosì IB a BF; e sonogli angoli al B eguali; adunque AH ad HB stacome IFcioè EFad FBed AE adEB.

Dicooltre a ciòche è impossibile che le linee cheabbiano tal proporzionepartendosi da i termini ABconcorrano a verun punto o dentro o fuori del cerchio CEG.Imperò chese è possibileconcorrano due tali lineeal punto Lposto fuorie siano le ALBLeprolunghisi la LB sino alla circonferenza in Mecongiungasi MF. Se dunque la AL alla BL ècome la AC alla BCcioè come la MF allaFBaremo due triangoli ALBMFBli qualiintorno alli due angoli ALBMFB hanno i latiproporzionaligli angoli alla cima nel punto B egualie lidue rimanenti FMBLAB minori che retti (imperòche l'angolo retto al punto M ha per base tutto il diametroCGe non la sola parte BF; e l'altro al punto Aè acutoperché la linea ALomologa della ACè maggiore della BLomologa della BC); adunquei triangoli ABLMBF son similie però come ABa BL così MB a BFonde il rettangolo ABFsarà eguale al rettangolo MBL: ma il rettangolo ABFs'è dimostrato eguale al CBG: adunque il rettangolo MBLè eguale al rettangolo CBGil che èimpossibile: adunque il concorso non può cader fuor delcerchio. E nel medesimo modo si dimostrerànon poter caderdentro: adunque tutti i concorsi cascano nella circonferenza stessa.

Ma è tempo che torniamo a dar sodisfazione al desiderio delSig. Simpliciomostrandogli come il risolver la linea ne' suoiinfiniti punti non è non solamente impossibilema némeno ha in sé maggior difficoltà che 'l distinguere lesue parti quantefatto però un suppostoil quale pensoSig.Simplicioche non siate per negarmi: e questo èche non miricercherete che io vi separi i punti l'uno dall'altro e ve li facciaveder a uno a uno distinti sopra questa cartaperché ioancora mi contenterei chesenza staccar l'una dall'altra le quattroo le sei parti d'una lineami mostraste le sue divisioni segnateoal più piegate ad angoliformandone un quadrato o unessagono; perché mi persuado pure che allora le chiamereste abastanza distinte ed attuate.

Simp. Veramente sì.

Salv. Orase l'inflettere una linea ad angoliformandone oraun quadratoora un ottangoloora un poligono di quarantadi centoo mille angoliè mutazione bastante a ridurre all'atto quellequattroottoquarantacento e mille parti che prima nella lineadiritta eranoper vostro dettoin potenzaquando io formi di leiun poligono di lati infiniticioè quando io la infletta nellacirconferenza d'un cerchionon potrò io con pari licenza dired'aver ridotto all'atto quelle parti infiniteche voi primamentreera rettadicevi esser in lei contenute in potenza? Né si puònegaretal risoluzione esser fatta ne' suoi infiniti punti non menoche quella delle sue quattro parti nel formarne un quadratoo nellesue mille nel formarne un millagono; imperò che in lei nonmanca veruna delle condizioni che si trovano nel poligono di mille edi cento mila lati. Questoapplicato a una linea rettase gli posasopra toccandola con uno de' suoi laticioè con una suacentomillesima parte; il cerchioche è un poligono di latiinfinititocca la medesima retta con uno de' suoi latiche èun sol puntodiverso da tutti i suoi collateralie perciò daquelli diviso e distinto non meno che un lato del poligono da i suoiconterminali: e come il poligono rivoltato sopra un piano stampa coni toccamenti conseguenti de' suoi lati una linea retta eguale al suoperimetrocosì il cerchio girato sopra un tal piano descrivecon gl'infiniti suoi successivi contatti una linea retta egual allapropria circonferenza. Non so adessoSig. Simpliciose i SignoriPeripateticia i quali io ammettocome verissimo concettoilcontinuo esser divisibile in sempre divisibilisì checontinuando una tal divisione e suddivisione mai non si perverrebbealla finesi contenteranno di concedere a meniuna delle tali lorodivisioni esser l'ultimacome veramente non èpoichésempre ve ne resta un'altrama bene l'ultima ed altissima esserquella che lo risolve in infiniti indivisibilialla quale concedoche non si perverrebbe mai dividendo successivamente in maggiore emaggior moltitudine di parti; ma servendosi della maniera chepropongo iodi distinguere e risolvere tutta la infinità inun tratto solo (artifizio che non mi dovrebbe esser negato)credereiche dovessero quietarsied ammetter questa composizione del continuodi atomi assolutamente indivisibilie massime essendo questa unastrada forse più d'ogni altra corrente per trarci fuori dimolto intrigati laberintiquali sonooltre a quello giàtoccato dalla coerenza delle parti de i solidiil comprender comestia il negozio della rarefazzione e della condensazionesenzaincorrer per causa di quella nell'inconveniente di dovere ammetterespazii vacuie per questa la penetrazione de i corpi: inconvenientiche amendue mi pare ch'assai destramente vengano schivati conl'ammetter detta composizione d'indivisibili.

Simp. Io non so quello che i Peripatetici fusser per direatteso che le considerazioni fatte da voi credo che gli giugnerebberoper la maggior parte nuovee come tali converrebbe esaminarle; epotrebbe accadere che quelli vi ritrovassero risposte e soluzionipotenti a sciorre quei nodiche ioper la brevità del tempoe per la debolezza del mio ingegnonon saprei di presente risolvere.Però sospendendo per ora questa partesentirei ben volentiericome l'introduzzione di questi indivisibili faciliti l'intelligenzadella condensazione e della rarefazzioneschivando nell'istessotempo il vacuo e la penetrazion de i corpi.

Sagr. Sentirò io ancora con gran brama la medesimacosaall'intelletto mio tanto oscura; con questo peròche ionon rimanga defraudato di sentireconforme a quello che poco fadisse il Sig. Simpliciole ragioni d'Aristotele in confutazion delvacuoed in consequenza le soluzioni che voi gli arrecatecomeconvien fare mentre voi ammettete quello che esso nega.

Salv. Faremo l'uno e l'altro. E quanto al primoènecessario chesì come in grazia della rarefazzione ciserviamo della linea descritta dal minor cerchiomaggiore dellapropria circonferenzamentre vien mosso alla revoluzione delmaggiorecosì per intelligenza della condensazione mostriamocome alla conversione fatta dal minor cerchio il maggiore descrivauna linea retta minore della sua circonferenza; per la cui piùchiara esplicazioneporremo innanzi la considerazione di quello cheaccade ne i poligoni.

In una descrizzione simile a quell'altrasiano due essagoni circa ilcomune centro Lche siano questi ABCHIKconle linee parallele HOMABcsopra le quali si abbianoa far le revoluzioni; e fermato l'angolo I del poligonominorevolgasi esso poligono sin che il lato IK caschi soprala parallelanel qual moto il punto K descriveràl'arco KMe 'l lato KI si unirà con la parteIM: tra tanto bisogna vedere quel che farà il lato CBdel poligono maggiore. E perché il rivolgimento si fa sopra ilpunto Ila linea IB col termine suo Bdescriveràtornando indietrol'arco Bb sotto allaparallela cAtal che quando il lato KI si congiugneràcon la linea MIil lato BC si unirà con lalinea bccon l'avanzarsi per l'innanzi solamente quanto èla parte Bc e ritirando in dietro la parte suttesa all'arcoBbla quale vien sopraposta alla linea BA. Edintendendo continuarsi nell'istesso modo la conversione fatta dalminor poligonoquesto descriverà bene e passerà soprala sua parallela una linea eguale al suo perimetro; ma il maggiorepasserà una linea minore del suo perimetro la quantitàdi tante linee bB quanti sono uno manco de' suoi lati; e saràtal linea prossimamente eguale alla descritta dal poligono minoreeccedendola solamente di quanto è la bB. Qui dunquesenza veruna repugnanza si scorge la cagione per la quale il maggiorpoligono non trapassi (portato dal minore) con i suoi lati lineamaggiore della passata dal minore; che è perché unaparte di ciascheduno de' lati si soprappone al suo precedenteconterminale.

Ma se considereremo i due cerchi intorno al centro Ali qualisopra le lor parallele posinotoccando il minore la sua nel punto Bed il maggiore la sua nel punto Cqui nel cominciar a far larevoluzione del minore non avverrà che il punto B restiper qualche tempo immobilesì che la linea BC dando indietro trasporti il punto Ccome accadeva ne i poligonicherestando fisso il punto I sin che il lato KI cadessesopra la linea IMla linea IB riportava in dietro ilBtermine del lato CBsino in bonde il latoBC cadeva in bcsoprapponendo alla linea BA laparte Bb e solo avanzandosi per l'innanzi la parte Bceguale alla IMcioè a un lato del poligono minore; perle quali soprapposizioniche sono gli eccessi de i lati maggiorisopra i minorigli avanzi che restanoeguali a i lati del minorpoligonovengono a comporre nell'intera revoluzione la linea rettaeguale alla segnata e misurata dal poligono minore. Ma qui dicochese noi vorremo applicare un simil discorso all'effetto de i cerchiconverrà direche dove i lati di qualsivoglia poligono soncompresi da qualche numeroi lati del cerchio sono infiniti: quellison quanti e divisibili; questinon quanti e indivisibili: i terminide i lati del poligono nella revoluzione stanno per qualche tempofermicioè ciascheduno tal parte del tempo di una interaconversionequal parte esso è di tutto il perimetro; ne icerchi similmente le dimore de' termini de' suoi infiniti lati sonmomentaneeperché tal parte è un instante d'un tempoquantoqual è un punto d'una lineache ne contiene infiniti:i regressi in dietro fatti da i lati del maggior poligono sono non ditutto 'l latoma solamente dell'eccesso suo sopra 'l lato delminoreacquistando per l'innanzi tanto di spazio quanto è ildetto minor lato; ne i cerchi il punto o lato Cnella quieteinstantanea del termine Bsi ritira in dietro quanto èil suo eccesso sopra 'l lato Bacquistando per l'innanziquanto è il medesimo B: ed in somma gl'infiniti latiindivisibili del maggior cerchio con gl'infiniti indivisibiliritiramenti lorofatti nell'infinite instantanee dimore degl'infiniti termini de gl'infiniti lati del minor cerchioe con iloro infiniti progressieguali a gl'infiniti lati di esso minorcerchiocompongono e disegnano una linea eguale alla descritta dalminor cerchiocontenente in sé infinite soprapposizioni nonquanteche fanno una costipazione e condensazione senza verunapenetrazione di parti quantequale non si può intendere farsinella linea divisa in parti quantequale è il perimetro diqualsivoglia poligonoil qualedisteso in linea rettanon si puòridurre in minor lunghezza se non col far che i lati sisoprapponghino e penetrino l'un l'altro. Questa costipazione di partinon quante ma infinitesenza penetrazione di parti quantee laprima distrazzione di sopra dichiarata de gl'infiniti indivisibilicon l'interposizione di vacui indivisibilicredo che sia il piùche dir si possa per la condensazione e rarefazzione de i corpisenza necessità d'introdurre la penetrazione de i corpi e glispazii quanti vacui. Se ci è cosa che vi gustifatenecapitale; se noreputatela vanae 'l mio discorso ancoraericercate da qualche altro esplicazione di maggior quiete perl'intelletto. Solo queste due parole vi replicoche noi siamo tragl'infiniti e gl'indivisibili.

Sagr. Che il pensiero sia sottileed a' miei orecchi nuovo eperegrinolo confesso liberamente; se poi nel fatto stesso la naturaproceda con tal ordinenon saprei che risolvermi: vero è chesin ch'io non sentissi cosa che maggiormente mi quietassiper nonrimaner muto affattom'atterrei a questa. Ma forse il Sig. Simplicioavrà (quello che sin qui non ho incontrato) modo di esplicarel'esplicazione che in materia così astrusa da i filosofi siarreca; ché in vero quel che sin qui ho letto circa lacondensazione è per me così densoe quel dellararefazzione così sottileche la mia debol vista questo noncomprende e quello non penetra.

Simp. Io son pieno di confusionee trovo duri intoppi nell'unsentiero e nell'altroed in particolare in questo nuovo: perchésecondo questa regolaun'oncia d'oro si potrebbe rarefare edistrarre in una mole maggiore di tutta la Terrae tutta la Terracondensare e ridurre in minor mole di una nocecose che io noncredoné credo che voi medesimo crediate; e le considerazionie dimostrazioni sin qui fatte da voicome che son cose matematicheastratte e separate dalla materia sensibilecredo che applicate allematerie fisiche e naturali non camminerebbero secondo coteste regole.

Salv. Che io vi sia per far vedere l'invisibilené iolo saprei farené credo voi lo ricerchiate; ma per quanto dai nostri sensi può esser compresogià che voi avetenominato l'oronon veggiam noi farsi immensa distrazzione delle sueparti? Non so se vi sia occorso di veder le maniere che tengono gliartefici in condur l'oro tiratoil quale non è veramente orose non in superficiema la materia interna è argento: ed ilmodo del condurlo è tale. Pigliano un cilindroo volete direuna vergad'argentolunga circa mezzo braccio e grossa per tre oquattro volte il dito pollicee questa indorano con foglie d'orobattutoche sapete esser così sottile che quasi va vagandoper l'ariae di tali foglie ne soprappongono otto o diecie nonpiù. Dorato che ècominciano a tirarlo con forzaimmensafacendolo passare per fori della filiera; e tornando a farloripassare molte e molte volte successivamente per fori piùangustidopo molte e molte ripassate lo riducono alla sottigliezzad'un capello di donnase non maggiore: e tuttavia resta dorato insuperficie. Lascio ora considerare a voi quale sia la sottigliezza edistrazzione alla quale si è ridotta la sustanza dell'oro.

Simp. Io non veggo che da questa operazione venga inconsequenza un assottigliamento della materia dell'oro da farnequelle maraviglie che voi vorreste: primaperché giàla prima doratura fu di dieci foglie d'oroche vengono a farnotabile grossezza; secondariamentese bennel tirare eassottigliar quell'argentocresce in lunghezzascema peròanco tanto in grossezzachecompensando l'una dimensione conl'altrala superficie non si agumenta tantoche per vestirl'argento di orobisogni ridurlo a sottigliezza maggiore di quelladelle prime foglie.

Salv. V'ingannate d'assaiSig. Simplicioperchél'accrescimento della superficie è sudduplo dell'allungamentocome io potrei geometricamente dimostrarvi.

Sagr. Ioe per me e per il Sig. Simpliciovi pregherei arecarci tal dimostrazionese però credete che da noi possaesser capita.

Salv. Vedrò se così improvisamente mi torna amemona. Già è manifestoche quel primo grosso cilindrod'argento ed il filo lunghissimo tirato sono due cilindri egualiessendo l'istesso argento; tal che s'io mostrerò qualproporzione abbiano tra di loro le superficie de i cilindri egualiaveremo l'intento. Dico per tanto che:

Le superficie de i cilindri egualitrattone le basison tra di loroin sudduplicata proporzione delle loro lunghezze.

Siano due cilindri egualil'altezze de i quali ABCDe sia la linea E media proporzionale tra esse: dicolasuperficie del cilindro ABtrattone le basialla superficiedel cilindro CDtrattone parimente le basiaver la medesimaproporzione che la linea AB alla linea Eche èsuddupla dalla proporzione di AB a CD. Taglisi la partedel cilindro AB in Fe sia l'altezza AF egualealla CD: e perché le basi de' cilindri eguali rispondoncontrariamente alle loro altezzeil cerchio base del cilindro CDal cerchio base del cilindro AB sarà come l'altezza BAalla DC; e perché i cerchi son tra loro come i quadratide i diametriaranno detti quadrati la medesima proporzione che laBA alla CD; ma come BA a CDcosìil quadrato BA al quadrato della E: son dunque taliquattro quadrati proporzionali; e però i lor lati ancorasaranno proporzionalie come la linea AB alla Ecosìil diametro del cerchio C al diametro del cerchio A. Macome i diametricosì sono le circonferenzee come lecirconferenze così sono ancora le superficie de' cilindriegualmente alti: adunque come la linea AB alla Ecosìla superficie del cilindro CD alla superficie del cilindro AF.Perché dunque l'altezza AF alla AB sta come lasuperficie AF alla superficie AB; e come l'altezza ABalla linea Ecosì la superficie CD alla AF:saràper la perturbatacome l'altezza AF alla Ecosì la superficie CD alla superficie AB: econvertendocome la superficie del cilindro AB allasuperficie del cilindro CDcosì la linea E allaAFcioè alla CDo vero la AB alla Eche è proporzione suddupla della AB alla CD: cheè quello che bisognava provare.

Orasenoi applicheremo questoche si è dimostratoal nostropropositopresupposto che quel cilindro d'argentoche fu doratomentre non era più lungo di mezzo braccio e grosso tre oquattro volte più del dito polliceassottigliato alla finezzad'un capello si sia allungato sino in venti mila braccia (che sarebbeanche più assai)troveremola sua superficie esser cresciutadugento volte più di quello che era; ed in consequenza quellefoglie d'oroche furon soprapposte dieci in numerodistese insuperficie dugento volte maggioreci assicuranol'oroche cuoprela superficie delle tante braccia di filorestar non piùgrosso che la ventesima parte d'una foglia dell'ordinario orobattuto. Considerate ora voi qual sia la sua sottigliezzae se èpossibile concepirla fatta senza una immensa distrazzione di partiese questa vi pare una esperienza che tenda anche ad una composizioned'infiniti indivisibili nelle materie fisiche: se ben di ciònon mancano altri più gagliardi e concludenti rincontri.

Sagr. La dimostrazione mi par tanto bellache quando nonavesse forza di persuader quel primo intento per il quale èstata prodotta (che pur mi par che ve l'abbia grande)ad ogni modobenissimo si è impiegato questo breve tempo che per sentirlasi è speso.

Salv. Già che veggo che gustate tanto di questegeometriche dimostrazioniapportatrici di guadagni sicurivi diròla compagna di questache sodisfà ad un quesito curiosoassai. Nella passata aviamo quello che accaggia de i cilindri egualima diversi di altezze o vero lunghezze: è ben sentire quelloche avvenga a i cilindri eguali di superficiema disegualid'altezze; intendendo sempre delle superficie sole che gli circondanointornocioè non comprendendo le due basisuperiore einferiore. Dico dunque che:

I cilindri rettile superfici de i qualitrattone le basisianoegualihanno fra di loro la medesima proporzione che le loro altezzecontrariamente prese.

Siano eguali le superficie de i due cilindri AECFmal'altezza di questo CD maggiore dell'altezza dell'altro AB:dicoil cilindro AE al cilindro CF aver la medesimaproporzione che l'altezza CD alla AB. Perchédunque la superficie CF è uguale alla superficie AEsarà il cilindro CF minore dell'AEperchése li fusse egualela sua superficieper la passata proposizionesarebbe maggiore della superficie AEe molto più se ilmedesimo cilindro CF fusse maggiore dell'AE. Intendasiil cilindro ID eguale all'AE; adunqueper laprecedentela superficie del cilindro ID alla superficiedell'AE starà come l'altezza IF alla media traIFAB. Ma essendoper il datola superficie AEeguale alla CFed avendo la superficie ID alla CFla medesima proporzione che l'altezza IF alla CDadunque la CD è media tra le IFAB; inoltreessendo il cilindro ID eguale al cilindro AEaranno amendue la medesima proporzione al cilindro CF: ma l'IDal CF sta come l'altezza IF alla CD: adunque ilcilindro AE al cilindro CF arà la medesimaproporzione che la linea IF alla CDcioè che laCD alla ABche è l'intento.

Di qui s'intende la ragione d'un accidente che non senza maravigliavien sentito dal popolo; ed ècome possa essere che ilmedesimo pezzo di tela più lungo per un verso che per l'altrose se ne facesse un sacco da tenervi dentro del granocome sicostuma fare con un fondo di tavolaterrà piùservendoci per l'altezza del sacco della minor misura della tela econ l'altra circondando la tavola del fondoche facendo perl'opposito: come sev. g.la tela per un verso fusse sei braccia eper l'altro dodicipiù terrà quando con la lunghezzadi dodici si circondi la tavola del fondorestando il sacco altobraccia seiche se si circondasse un fondo di sei bracciaavendonedodici per altezza. Orada quello che si è dimostratoallagenerica notizia del capir più per quel verso che per questosi aggiugne la specifica e particolare scienza del quanto ei contengapiù; che èche tanto più terrà quantosarà più bassoe tanto meno quanto più alto: ecosìnelle misure assegnate essendo la tela il doppio piùlunga che largacucita per la lunghezza terrà la metàmanco che per l'altro verso; e parimente avendo una stuoiaper fareuna bugnolalunga venticinque braccia e largav. g.settepiegataper lo lungo terrà solamente sette misure di quelle che perl'altro verso ne terrebbe venticinque.

Sagr. E così con nostro gusto particolare andiamocontinuamente acquistando nuove cognizioni curiose e non ignude diutilità. Ma nel proposito toccato adessoveramente non credoche tra quelli che mancano di qualche cognizione di geometria se netrovassero quattro per cento che non restassero a prima giuntaingannatiche quei corpi che da superficie eguali son contenutinonfussero ancora in tutto eguali; sì come nell'istesso erroreincorrono parlando delle superficieche per determinarcome spessevolte accadedelle grandezze di diverse cittàinteracognizione gli par d'averne qualunque volta sanno la quantitàde i recinti di quelleignorando che può essere un recintoeguale a un altroe la piazza contenuta da questo assai maggioredella piazza di quello: il che accade non solamente tra le superficieirregolarima tra le regolaridelle quali quelle di più latison sempre più capaci di quelle di manco latisì chein ultimo il cerchiocome poligono di lati infinitiècapacissimo sopra tutti gli altri poligoni di egual circuito; di chemi ricordo averne con gusto particolare veduta la dimostrazionestudiando la Sfera del Sacrobosco con un dottissimo commentariosopra.

Salv. È verissimo: ed avendo io ancora incontratocotesto luogomi dette occasione di ritrovarecome con una sola ebreve dimostrazione si concludail cerchio esser maggiore di tuttele figure regolari isoperimetre; edell'altrequelle di piùlatimaggiori di quelle di manco.

Sagr. Ed ioche sento tanto diletto in certe proposizioni edimostrazioni scelte e non trivialiimportunandovi vi prego che mene facciate partecipe.

Salv. In brevi parole vi spediscodimostrando il seguenteteoremacioè:

Il cerchio è medio proporzionale tra qualsivoglino duepoligoni regolari tra di loro similide i quali uno gli siacircoscritto e l'altro gli sia isoperimetra. In oltreessendo egliminore di tutti i circoscrittiall'incontro massimo di tuttigl'isoperimetri. De i medesimi poi circoscrittiquelli che hanno piùangoli son minori di quelli che ne hanno manco; ma all'incontrodegl'isoperimetri quelli di più angoli son maggiori.

Delli due poligoni simili AB sia l'Acircoscritto al cerchio Ae l'altro B ad esso cerchiosia isoperimetro: dicoil cerchio esser medio proporzionale traessi. Imperò che (tirato il semidiametro AC)essendoil cerchio eguale a quel triangolo rettangolode i lati del qualeche sono intorno all'angolo rettouno sia eguale al semidiametro ACe l'altro alla circonferenza; e similmente essendo il poligono Aeguale al triangolo rettangoloche intorno all'angolo retto ha unode i lati eguali alla medesima retta ACe l'altro alperimetro del medesimo poligono; è manifestoil circoscrittopoligono aver al cerchio la medesima proporzione che ha il suoperimetro alla circonferenza di esso cerchiocioè alperimetro del poligono Bche alla circonferenza detta si poneeguale: ma il poligono A al B ha doppia proporzione che'l suo perimetro al perimetro di B (essendo figure simili):adunque il cerchio A è medio proporzionale tra i duepoligoni AB. Ed essendo il poligono A maggiordel cerchio Aè manifestoesso cerchio A essermaggiore del poligono B suo isoperimetroed in consequenzamassimo di tutti i poligoni regolari suoi isoperimetri.

Quanto all'altra partecioè di provare che de i poligonicircoscritti al medesimo cerchioquello di manco lati sia maggior diquello di più lati; ma che all'incontrode i poligoniisoperimetri quello di più lati sia maggiore di quello dimanco lati; dimostreremo così. Nel cerchioil cui centro Osemidiametro OAsia la tangente ADed in essapongasiper esempioAD esser la metà del lato delpentagono circoscrittoed AC metà del latodell'ettagonoe tirinsi le rette OGCOFDecentroOintervallo OCdescrivasi l'arco ECI. Eperché il triangolo DOC è maggiore del settoreEOCe 'l settore COI maggiore del triangolo COAmaggior proporzione arà il triangolo DOC al triangoloCOAche 'l settore EOC al settore COIcioèche 'l settore FOG al settore GOA; e componendo epermutandoil triangolo DOA al settore FOA aràmaggior proporzione che il triangolo COA al settore GOAe dieci triangoli DOA a dieci settori FOA arannomaggior proporzione che quattordici triangoli COA aquattordici settori GOAcioè il pentagono circoscrittoarà maggior proporzione al cerchio che non gli ha l'ettagono;e però il pentagono sarà maggior dall'ottagono.Intendansi ora un ettagono ed un pentagono isoperimetri al medesimocerchio: dicol'ettagono esser maggior del pentagono. Imperòcheessendo l'istesso cerchio medio proporzionale tra 'l pentagonocircoscritto e 'l pentagono suo isoperimetroe parimente medio tra'l circoscritto e l'isoperimetro ettagono; essendosi provatoilcircoscritto pentagono esser maggiore del circoscritto ettagono; avràesso pentagono maggior proporzione al cerchio che l'ettagonocioèil cerchio arà maggior proporzione al suo isoperimetropentagono che all'isoperimetro ettagono: adunque il pentagono èminore dell'isoperimetro ettagono: che si doveva dimostrare.

Sagr. Gentilissima dimostrazione e molto acuta. Ma dove siamotrascorsi a ingolfarci nella geometria? mentre eramo su 'lconsiderare le difficoltà promosse dal Sig. Simpliciocheveramente son di gran considerazione; ed in particolare quella dellacondensazione mi par durissima.

Salv. Se la condensazione e la rarefazzione son moti oppostidove si vegga una immensa rarefazzionenon si potrà negareuna non men grandissima condensazione; ma rarefazzioni immenseequel che accresce la maravigliaquasi che momentaneele veggiamonoi tutto 'l giorno. E quale sterminata rarefazzione è quelladi una poca quantità di polvere d'artiglieriarisoluta in unamole vastissima di fuoco? e qualeoltre a questal'espansionedirei quasi senza terminedella sua luce? E se quel fuoco e questolume si riunissero insiemeche pur non è impossibilepoichédianzi stettero dentro quel piccolo spazioqual condensamentosarebbe questo? Voidiscorrendotroverete mille di talirarefazzioniche sono molto più in pronto ad esser osservateche le condensazioniperché le materie dense son piùtrattabili e sottoposte a i nostri sensiche ben maneggiamo le legnee le vediamo risolvere in fuoco e in lucema non cosìveggiamo il fuoco e 'l lume condensarsi a costituire il legno;veggiamo i fruttii fiori e mille altre solide materie risolversi ingran parte in odorima non così osserviamo gli atomi odorosiconcorrere alla costituzione de i solidi odorati. Ma dove manca lasensata osservazionesi deve supplir col discorsoche basteràper farci capaci non men del moto alla rarefazzione e resoluzione dei solidiche alla condensazione delle sustanze tenui e rarissime. Inoltrenoi trattiamo come si possa far la condensazione erarefazzione de i corpi che si possono rarefare e condensarespecolando in qual maniera ciò possa esser fatto senzal'introduzzion del vacuo e della penetrazione de i corpi; il che nonesclude che in natura possano esser materie che non ammettono taliaccidentied in consequenza non danno luogo a quelli che voichiamate inconvenienti e impossibili. E finalmente. Sig. Simplicioioin grazia di voi altriSignori filosofimi sono affaticato inspecolare come si possa intenderefarsi la condensazione e lararefazzione senza ammetter la penetrazione de i corpi el'introduzzione de gli spazii vacuieffetti da voi negati edaborriti; che quando voi gli voleste concedereio non vi sarei cosìduro contradittore. Peròo ammettete questi inconvenientiogradite le mie specolazionio trovatene di più aggiustate.

Sagr. Alla negativa della penetrazione son io del tutto con ifilosofi peripatetici. A quella del vacuo vorrei sentir ben ponderarela dimostrazione d'Aristotelecon la quale ei l'impugnae quelloche voiSig. Salviatigli opponete. Il Sig. Simplicio mi faràgrazia di arrecar puntualmente la prova del Filosofoe voi Sig.Salviatila risposta.

Simp. Aristoteleper quanto mi sovvieneinsurge controalcuni antichii quali introducevano il vacuo come necessario per ilmotodicendo che questo senza quello non si potrebbe fare. A questocontrapponendosi Aristoteledimostra cheall'oppositoil farsi(come veggiamo) il moto distrugge la posizione del vacuo; e 'l suoprogresso è tale. Fa due supposizioni: l'una è dimobili diversi in gravitàmossi nel medesimo mezzo; l'altra èdell'istesso mobile mosso in diversi mezzi. Quanto al primosupponeche mobili diversi in gravità si muovano nell'istesso mezzocon diseguali velocitàle quali mantengano tra di loro lamedesima proporzione che le gravità; sì cheperesempioun mobile dieci volte più grave di un altro si muovadieci volte più velocemente. Nell'altra posizione piglia chele velocità del medesimo mobile in diversi mezzi ritengano tradi loro la proporzione contraria di quella che hanno le grossezze odensità di essi mezzi; talmente chepostov. g.che lacrassizie dell'acqua fusse dieci volte maggiore di quella dell'ariavuole che la velocità nell'aria sia dieci volte più chela velocità nell'acqua. E da questo secondo supposto trae ladimostrazione in cotal forma; Perché la tenuità delvacuo supera d'infinito intervallo la corpulenzaben chesottilissimadi qualsivoglia mezzo pienoogni mobile che nel mezzopieno si movesse per qualche spazio in qualche temponel vacuodovrebbe muoversi in uno istante; ma farsi moto in uno instante èimpossibile; adunque darsi il vacuo in grazia del moto èimpossibile.

Salv. L'argomento si vede che è ad hominemcioècontro a quelli che volevano il vacuo come necessario per il moto:che se io concederò l'argomento come concludenteconcedendoinsieme che nel vacuo non si farebbe il motola posizion del vacuoassolutamente presa e non in relazione al motonon vien destrutta.Ma per dire quel che per avventura potrebber rispondere quegliantichiacciò meglio si scorga quanto concluda ladimostrazione d'Aristotelemi par che si potrebbe andar contro a gliassunti di quellonegandogli amendue. E quanto al primoiograndemente dubito che Aristotele non sperimentasse mai quanto siavero che due pietreuna più grave dell'altra dieci voltelasciate nel medesimo instante cader da un'altezzav. g.di centobracciafusser talmente differenti nelle lor velocitàcheall'arrivo della maggior in terral'altra si trovasse non avere néanco sceso dieci braccia.

Simp. Si vede pure dalle sue parole ch'ei mostra d'averlosperimentatoperché ei dice: Veggiamo il più grave;or quel vedersi accenna l'averne fatta l'esperienza.

Sagr. Ma ioSig. Simplicioche n'ho fatto la provaviassicuro che una palla d'artiglieriache pesi centodugento e ancopiù libbrenon anticiperà di un palmo solamentel'arrivo in terra della palla d'un moschettoche ne pesi una mezzavenendo anco dall'altezza di dugento braccia.

Salv. Masenz'altre esperienzecon breve e concludentedimostrazione possiamo chiaramente provarenon esser vero che unmobile più grave si muova più velocemente d'un altromen graveintendendo di mobili dell'istessa materiaed in somma diquelli de i quali parla Aristotele. Però ditemiSig.Simpliciose voi ammettete che di ciascheduno corpo grave cadentesia una da natura determinata velocitàsì cheaccrescergliela o diminuirgliela non si possa se non con usargliviolenza o opporgli qualche impedimento.

Simp. Non si può dubitare che l'istesso mobilenell'istesso mezzo abbia una statuita e da natura determinatavelocitàla quale non se gli possa accrescere se non connuovo impeto conferitoglio diminuirgliela salvo che con qualcheimpedimento che lo ritardi.

Salv. Quando dunque noi avessimo due mobilile naturalivelocità de i quali fussero inegualiè manifesto chese noi congiugnessimo il più tardo col più velocequesto dal più tardo sarebbe in parte ritardatoed il tardoin parte velocitato dall'altro più veloce. Non concorrete voimeco in quest'opinione?

Simp. Parmi che così debba indubitabilmente seguire.

Salv. Ma se questo èed è insieme vero che unapietra grande si muovaper esempiocon otto gradi di velocitàed una minore con quattroadunquecongiugnendole amendue insiemeil composto di loro si moverà con velocità minore diotto gradi: ma le due pietrecongiunte insiemefanno una pietramaggiore che quella primache si moveva con otto gradi di velocità:adunque questa maggiore si muove men velocemente che la minore; che ècontro alla vostra supposizione. Vedete dunque come dal suppor che 'lmobile più grave si muova più velocemente del mengraveio vi concludoil più grave muoversi men velocemente.

Simp. Io mi trovo avviluppatoperché mi par pure chela pietra minore aggiunta alla maggiore le aggiunga pesoeaggiugnendole pesonon so come non debba aggiugnerle velocitào almeno non diminuirgliela.

Salv. Qui commettete un altro erroreSig. Simplicioperchénon è vero che quella minor pietra accresca peso allamaggiore.

Simp. Ohquesto passa bene ogni mio concetto.

Salv. Non lo passerà altrimentefatto ch'io v'abbiaaccorto dell'equivoco nel quale voi andate fluttuando: peròavvertite che bisogna distinguere i gravi posti in moto da i medesimicostituiti in quiete. Una gran pietra messa nella bilancia nonsolamente acquista peso maggiore col soprapporgli un'altra pietramaanco la giunta di un pennecchio di stoppa la farà pesar piùquelle sei o dieci once che peserà la stoppa; ma se voilascerete liberamente cader da un'altezza la pietra legata con lastoppacredete voi che nel moto la stoppa graviti sopra la pietraonde gli debba accelerar il suo motoo pur credete che ella laritarderàsostenendola in parte? Sentiamo gravitarci su lespalle mentre vogliamo opporci al moto che farebbe quel peso che cista addosso; ma se noi scendessimo con quella velocità chequel tal grave naturalmente scenderebbein che modo volete che ciprema e graviti sopra? Non vedete che questo sarebbe un voler ferircon la lancia colui che vi corre innanzi con tanta velocitàcon quanta o con maggiore di quella con la quale voi lo seguite?Concludete pertanto che nella libera e naturale caduta la minorpietra non gravita sopra la maggioreed in consequenza non leaccresce pesocome fa nella quiete.

Simp. Ma chi posasse la maggior sopra la minore?

Salv. Le accrescerebbe pesoquando il suo moto fusse piùveloce: ma già si è concluso che quando la minore fussepiù tardaritarderebbe in parte la velocità dellamaggioretal che il loro composto si moverebbe men veloceessendomaggiore dell'altra; che è contro al vostro assunto.Concludiamo per ciòche i mobili grandi e i piccoli ancoraessendo della medesima gravità in speziesi muovono con parivelocità.

Simp. Il vostro discorso procede benissimo veramente: tuttaviami par duro a credere che una lagrima di piombo si abbia a muovercosì veloce come una palla d'artiglieria.

Salv. Voi dovevi direun grano di rena come una macina daguado. Io non vorreiSig. Simplicioche voi faceste come molt'altrifannochedivertendo il discorso dal principale intentoviattaccaste a un mio detto che mancasse dal vero quant'è uncapelloe che sotto questo capello voleste nasconder un difetto d'unaltrogrande quant'una gomona da nave. Aristotele dice: “unapalla di ferro di cento libbrecadendo dall'altezza di centobracciaarriva in terra prima che una di una libbra sia scesa un solbraccio”; io dico ch'ell'arrivano nell'istesso tempo; voitrovatenel farne l'esperienzache la maggiore anticipa due dita laminorecioè che quando la grande percuote in terral'altrane è lontana due dita: ora vorreste dopo queste due ditaappiattare le novantanove braccia di Aristotelee parlando solo delmio minimo erroremetter sotto silenzio l'altro massimo. Aristotelepronunzia che mobili di diversa gravità nel medesimo mezzo simuovono (per quanto depende dalla gravità) con velocitadiproporzionate a i pesi loroe l'esemplifica con mobili ne i quali sipossa scorgere il puro ed assoluto effetto del pesolasciandol'altre considerazioni sì delle figure come de i minimimomentile quali cose grande alterazione ricevono dal mezzochealtera il semplice effetto della sola gravità: che perciòsi vede l'orogravissimo sopra tutte l'altre materieridotto in unasottilissima foglia andar vagando per aria; l'istesso fanno i sassipestati in sottilissima polvere. Ma se voi volete mantenere laproposizione universalebisogna che voi mostriatela proporzionedelle velocità osservarsi in tutti i gravie che un sasso diventi libbre si muova dieci volte più veloce che uno di due;il che vi dico esser falsoe checadendo dall'altezza di cinquantao cento bracciaarrivano in terra nell'istesso momento.

Simp. Forse da grandissime altezze di migliaia di bracciaseguirebbe quello che in queste altezze minori non si vede accadere.

Salv. Se Aristotele avesse inteso questovoi gli addosseresteun altro erroreche sarebbe una bugia; perchénon sitrovando in terra tali altezze perpendicolarichiara cosa èche Aristotele non ne poteva aver fatta esperienza: e pur ci vuolpersuadere d'averla fattamentre dice che tale effetto si vede.

Simp. Aristotele veramente non si serve di questo principioma di quell'altroche non credo che patisca queste difficoltà.

Salv. E l'altro ancora non è men falso di questo; e mimaraviglio che per voi stesso non penetriate la fallaciae che nonv'accorghiate che quando fusse vero che l'istesso mobile in mezzi didifferente sottilità e raritàed in somma di diversacedenzaqualiper esempioson l'acqua e l'ariasi movesse convelocità nell'aria maggiore che nell'acqua secondo laproporzione della rarità dell'aria a quella dell'acquaneseguirebbe che ogni mobile che scendesse per ariascenderebbe anconell'acqua: il che è tanto falsoquanto che moltissimi corpiscendono nell'ariache nell'acqua non pur non descendonomasormontano all'in su.

Simp. Io non intendo la necessità della vostraconsequenza; e più dirò che Aristotele parla di queimobili gravi che descendono nell'un mezzo e nell'altroe non diquelli che scendono nell'ariae nell'acqua vanno all'in su.

Salv. Voi arrecate per il Filosofo di quelle difese che egliassolutamente non produrrebbeper non aggravar il primo errore. Peròditemi se la corpulenza dell'acquao quel che si sia che ritarda ilmotoha qualche proporzione alla corpulenza dell'ariache meno loritarda; ed avendolaassegnatela a vostro beneplacito.

Simp. Hallae ponghiamo ch'ella sia in proporzione decupla; eche però la velocità di un grave che descenda inamendue gli elementisarà dieci volte più tardonell'acqua che nell'aria.

Salv. Piglio adesso un di quei gravi che vanno in giùnell'ariama nell'acqua noqual sarebbe una palla di legnoe vidomando che voi gli assegniate qual velocità più vipiacementre scende per aria.

Simp. Ponghiamo che ella si muova con venti gradi di velocità.

Salv. Benissimo. Ed è manifesto che tal velocitàa qualche altra minore può avere la medesima proporzione chela corpulenza dell'acqua a quella dell'ariae che questa saràla velocità di due soli gradi; tal che veramentea filo e adiritturaconforme all'assunto d'Aristotelesi doverebbe concludereche la palla di legnoche nell'ariadieci volte più cedentedell'acquasi muove scendendo con venti gradi di velocitànell'acqua dovrebbe scendere con duee non venir a galla dal fondocome fa: se già voi non voleste dire che nell'acqua il venirad altonel legnosia l'istesso che 'l calare a basso con due gradidi velocità; il che non credo. Ma già che la palla dellegno non cala al fondocredo pure che mi concederete che qualchealtra palla d'altra materiadiversa dal legnosi potrebbe trovareche nell'acqua scendesse con due gradi di velocità.

Simp. Potrebbesi senza dubbioma di materia notabilmente piùgrave del legno.

Salv. Questo è quel ch'io vo cercando. Ma questaseconda pallache nell'acqua descende con due gradi di velocitàcon quanta velocità descenderà nell'aria? Bisogna (sevolete servar la regola d'Aristotele) che rispondiate che si moveràcon venti gradi: ma venti gradi di velocità avete voi medesimoassegnati alla palla di legno: adunque questa e l'altra assai piùgrave si moveranno per l'aria con egual velocità. Or comeaccorda il Filosofo questa conclusione con l'altra suache i mobilidi diversa gravità nel medesimo mezzo si muovano con diversevelocitàe diverse tanto quanto le gravità loro? Masenza molto profonde contemplazionicome avete voi fatto a nonosservar accidenti frequentissimi e palpabilissimie non badare adue corpi che nell'acqua si moveranno l'uno cento volte piùvelocemente dell'altroma che nell'aria poi quel più velocenon supererà l'altro di un sol centesimo? comeper esempioun uovo di marmo scenderà nell'acqua cento volte piùpresto che alcuno di gallinache per l'aria nell'altezza di ventibraccia non l'anticiperà di quattro dita; ed in somma talgrave andrà al fondo in tre ore in dieci braccia d'acquachein aria le passerà in una battuta o due di polsoe tale (comesarebbe una palla di piombo) le passerà in tempo facilmentemen che doppio. E qui so benSig. Simplicioche voi comprendete chenon ci ha luogo distinzione o risposta veruna. Concludiamo per tantoche tale argomento non conclude nulla contro al vacuo; e quandoconcludessedistruggerebbe solamente gli spazii notabilmente grandiquali né io né credo che quelli antichi supponesseronaturalmente darsise ben forse con violenza si possan farecomepar che da varie esperienze si raccolgale quali troppo lungosarebbe il voler al presente arrecare.

Sagr. Vedendo che il Sig. Simplicio tacepiglierò iocampo di dire alcuna cosa. Già che assai apertamente avetedimostratocome non è altrimenti vero che mobilidisegualmente gravi si muovano nel medesimo mezzo con velocitàproporzionate alle gravità loroma con egualeintendendo dei gravi dell'istessa materia o vero dell'istessa gravità inspeciema non già (come credo) di gravità differentiin specie (perché non penso che voi intendiate di concludercich'una palla di sughero si muova con pari velocità ch'una dipiombo); ed avendodi piùdimostrato molto chiaramentecomenon è vero che 'l medesimo mobile in mezzi di diverseresistenze ritenga nella velocità e tardità sue lamedesima proporzione che le resistenze; a me sarebbe cosa gratissimail sentirequali siano le proporzioni che nell'un caso e nell'altrovengono osservate.

Salv. I quesiti son bellied io ci ho molte volte pensato: vidirò il discorso fattoci attornoe quello che ne ho in ultimoritratto. Dopo essermi certificatonon esser vero che il medesimomobile in mezzi di diversa resistenza osservi nella velocitàla proporzione delle cedenze di essi mezzi; né meno che nelmedesimo mezzo mobili di diversa gravità ritengano nellevelocità loro la proporzione di esse gravità(intendendo anco delle gravità diverse in specie); cominciai acomporre insieme amendue questi accidentiavvertendo quello cheaccadesse de i mobili differenti di gravità posti in mezzi didiverse resistenze: e m'accorsile disegualità delle velocitàtrovarsi tuttavia maggiori ne i mezzi più resistenti che ne ipiù cedentie ciò con diversità taliche didue mobili che scendendo per aria pochissimo differiranno in velocitàdi motonell'acqua l'uno si moverà dieci volte piùveloce dell'altro; anzi che tale che nell'aria velocemente descendenell'acqua non solo non scenderàma resterà del tuttoprivo di motoequel che è piùsi moveràall'in su: perché si potrà tal volta trovare qualchesorte di legnoo qualche nodo o radica di quelloche nell'acquapotrà starein quieteche nell'aria velocemente descenderà.

Sagr. Io più volte mi son messo con una estrema flemmaper veder di ridurre una palla di cerache per se stessa non va afondocon l'aggiugnerli grani di renaa segno tale di gravitàsimile all'acquache nel mezzo di quella si fermasse; né maiper diligenza usatami successe il poterlo conseguire: onde non sose altra materia solida si ritrovi tanto naturalmente simile ingravità all'acquacheposta in essain ogni luogo potessefermarsi.

Salv. Sono in questocome in mille altre operazioniassaipiù diligenti molti animaliche non siamo noi altri. E nelvostro caso i pesci vi arebber potuto porger qualche documentoessendo in questo esercizio così dottiche ad arbitrio lorosi equilibrano non solo con un'acquama con differenti notabilmenteo per propria natura o per una sopravvenente torbida o per salsedineche fa differenza assai grande; si equilibranodicotantoesattamenteche senza punto muoversi restano in quiete in ogniluogo; e ciòper mio crederefanno eglino servendosi dellostrumento datogli dalla natura a cotal finecioè di quellavescichetta che hanno in corpola quale per uno assai angusto meatorisponde alla lor boccae per quello a posta loro o mandano fuoriparte dell'aria che in dette vesciche si contieneovenendo colnuoto a gallaaltra ne attraggonorendendosi con tale arte or piùor meno gravi dell'acquaed a lor beneplacito equilibrandosegli.

Sagr. Io con un altro artifizio ingannai alcuni amiciappresso i quali mi ero vantato di ridurre quella palla di cera algiusto equilibrio con l'acqua; ed avendo messo nel fondo del vaso unaparte di acqua salatae sopra quella dolcemostrai loro la pallache a mezz'acqua si fermavae spinta nel fondo o sospinta ad alto néin questo né in quel sito restavama ritornava nel mezzo.

Salv. Non è cotesta esperienza priva di utilità:perché trattandosi da i medici in particolare delle diversequalità di acquee tra l'altre principalmente dellaleggerezza o gravità più di questa che di quellaconuna simil pallaaggiustata sì che resti ambiguaper cosìdiretra lo scendere e 'l salire in un'acquaper minima che sia ladifferenza di peso tra due acquesein unatal palla scenderànell'altrache sia più gravesalirà; ed ètalmente esatta cotale esperienzache la giunta di due grani di salesolamenteche si mettino in sei libbre d'acquafarà risaliredal fondo alla superficie quella palla che vi era pur allora scesa. Epiù vi voglio direin confermazione dell'esattezza di questaesperienza ed insieme per chiara prova della nulla resistenzadell'acqua all'esser divisache non solamente l'ingravirlacon lamistione di qualche materia più grave di leiinduce tantonotabil differenzama il riscaldarla o raffreddarla un poco produceil medesimo effettoe con sì sottile operazionechel'infonder quattro gocciole d'altra acqua un poco più calda oun poco più fredda delle sei libbrefarà che la pallavi scenda o vi sormonti: vi scenderà infondendovi la caldaemonterà per l'infusione della fredda. Or vedete quantos'ingannino quei filosofi che voglion metter nell'acqua viscositào altra congiunzione di partiche la facciano resistente alladivisione e penetrazione.

Sagr. Veddi molto concludenti discorsi intorno a questoargomento in un trattato del nostro Accademico: tuttavia mi resta ungagliardo scrupoloil quale non so rimuovere; perché se nulladi tenacità e coerenza risiede tra le parti dell'acquacomepossono sostenersi assai grandi pezzi e molto rilevatiinparticolare sopra le foglie de i cavolisenza spargersi e spianarsi?

Salv. Ancor che vero sia che colui che ha dalla sua laconclusione verapossa risolvere tutte l'instanze che vengonoopposte in contrarionon però mi arrogherei io il poter ciòfare; né la mia impotenza deve denigrare la candidezza dellaverità. Ioprimieramentevi confesso che non so come vadiail negozio del sostenersi quei globi d'acqua assai rilevati e grandise bene io so di certo che da tenacità internache sia tra lesue particiò non deriva; onde resta necessario che lacagione di cotal effetto risegga fuori. Che ella non sia internaoltre all'esperienze mostrate ve lo posso confermare con un'altraefficacissima. Se le parti di quell'acqua cherilevatasi sostienementre è circondata dall'ariaavessero cagione interna perciò faremolto più si sosterrebbono circondate chefussero da un mezzo nel quale avessero minor propensione didescendere che nell'aria ambiente non hanno: ma un mezzo tale sarebbeogni fluido più grave dell'ariacomev. g.il vino; e peròinfondendo intorno a quel globo d'acqua del vinose gli potrebbealzare intorno intornosenza che le parti dell'acquaconglutinatedall'interna viscositàsi dissolvessero: ma ciò nonaccad'egli; anzi non prima se gli accosterà il liquoresparsogli intornochesenza aspettar che molto se gli eleviintornosi dissolverà e spianeràrestandogli disottose sarà vino rosso: è dunque esternae forsedell'aria ambientela cagione di tale effetto. E veramente siosserva una gran dissensione tra l'aria e l'acquala quale ho io inun'altra esperienza osservata; e questa èche s'io empiod'acqua una palla di cristalloche abbia un foro angusto quant'èla grossezza d'un fil di pagliae così piena la volto con labocca all'in giùnon però l'acquabenchégravissima e pronta a scender per ariae l'ariaaltrettantodisposta a salirecome leggerissimaper l'acquasi accordanoquella a scendere uscendo per il foroe questa a salire entrandovima restano amendue ritrose e contumaci; all'incontro poise iopresenterò a quel foro un vaso con del vino rossoche quasiinsensibilmente è men grave dell'acqualo vedremo subito contratti rosseggianti lentamente ascendere per mezzo l'acquae l'acquacon pari tardità scender per il vinosenza punto mescolarsisin che finalmente la palla si empirà tutta di vino e l'acquacalerà tutta nel fondo del vaso di sotto. Or che si deve quidire o che argumentarnefuor che una disconvenienza tra l'acqua el'ariaocculta a mema forse...

Simp. Mi vien quasi da ridere nel veder la grande antipatiache ha il Sig. Salviati con l'antipatiache né pur vuolnominarla; e pur è tanto accommodata a scior la difficoltà.

Salv. Or sia questain grazia del Sig. Simpliciolasoluzione del nostro dubbio: e lasciato il digrediretorniamo alnostro proposito. Veduto come la differenza di velocitàne imobili di gravità diversesi trova esser sommamente maggiorene i mezzi più e più resistenti; ma che più? nelmezzo dell'argento vivo l'oro non solamente va in fondo piùvelocemente del piomboma esso solo vi descendee gli altri metallie pietre tutti vi si muovono in su e vi galleggianodove che trapalle d'orodi piombodi ramedi porfidoo di altre materiegraviquasi del tutto insensibile sarà la disegualitàdel moto per ariaché sicuramente una palla d'oro nel finedella scesa di cento braccia non preverrà una di rame diquattro dita; vedutodicoquestocascai in opinione che se silevasse totalmente la resistenza del mezzotutte le materiedescenderebbero con eguali velocità.

Simp. Gran detto è questoSig. Salviati. Io noncrederò mai che nell'istesso vacuose pur vi si desse ilmotoun fiocco di lana si movesse così veloce come un pezzodi piombo.

Salv. Pian pianoSig. Simplicio: la vostra difficoltànon è tanto reconditané io così inavvedutoche si debba credere che non mi sia sovvenutae che in consequenzaio non vi abbia trovato ripiego. Peròper mia dichiarazione evostra intelligenzasentite il mio discorso. Noi siamo su 'l volereinvestigare quello che accaderebbe a i mobili differentissimi di pesoin un mezzo dove la resistenza sua fusse nullasì che tuttala differenza di velocitàche tra essi mobili si ritrovassereferir si dovesse alla sola disuguaglianza di peso; e perchésolo uno spazio del tutto voto d'aria e di ogni altro corpoancorche tenue e cedentesarebbe atto a sensatamente mostrarci quello chericerchiamogià che manchiamo di cotale spazioandremoosservando ciò che accaggia ne i mezzi più sottili emeno resistentiin comparazione di quello che si vede accadere negli altri manco sottili e più resistenti: ché se noitroveremoin fattoi mobili differenti di gravità meno emeno differir di velocità secondo che in mezzi più epiù cedenti si troveranno e che finalmenteancor cheestremamente diseguali di pesonel mezzo più d'ogni altrotenuese ben non votopiccolissima si scorga e quasi inosservabilela diversità della velocitàparmi che ben potremo conmolto probabil coniettura credere che nel vacuo sarebbero le velocitàloro del tutto eguali. Per tanto consideriamo ciò che accadenell'aria: doveper aver una figura di superficie ben terminata e dimateria leggierissimavoglio che pigliamo una vescica gonfiatanella quale l'aria che vi sarà dentro peserànel mezzodell'aria stessaniente o pocoperché poco vi si potràcomprimere; talché la gravità è solo quella pocadella stessa pellicolache non sarebbe la millesima parte del pesod'una mole di piombo grande quanto la medesima vescica gonfiata.QuesteSig. Simpliciolasciate dall'altezza di quattro o seibracciadi quanto spazio stimereste che 'l piombo fusse peranticipare la vescica nella sua scesa? siate sicuro che nonl'anticiperebbe del triploné anco del doppiose ben giàl'aresti fatto mille volte più veloce.

Simp. Potrebbe esser che nel principio del motocioènelle prime quattro o sei bracciaaccadesse cotesto che dite: ma nelprogresso ed in una lunga continuazionecredo che 'l piombo se lalascerebbe indietro non solamente delle dodici parti dello spazio leseima anco le otto e le dieci.

Salv. Ed io ancora credo l'istessoe non dubito che indistanze grandissime potesse il piombo aver passato cento miglia dispazioprima che la vescica ne avesse passato un solo: ma questoSig. Simplicio mioche voi proponete come effetto contrariante allamia proposizioneè quello che massimamente la conferma. È(torno a dire) l'intento mio dichiararecome delle diverse velocitàdi mobili di differente gravità non ne sia altramente causa ladiversa gravitàma che ciò dependa da accidentiesteriori ed in particolare dalla resistenza del mezzosìchetolta questatutti i mobili si moverebber con i medesimi gradidi velocità: e questo deduco io principalmente da quello cheora voi stesso ammettete e che è verissimocioè che dimobili differentissimi di peso le velocità più e piùdifferiscono secondo che maggiori e maggiori sono gli spazii che essivan trapassando; effetto che non seguirebbe quando ei dependessedalle differenti gravità. Imperò cheessendo essesempre le medesimemedesima dovrebbe mantenersi sempre laproporzione tra gli spazii passatila qual proporzione noi veggiamoandarnella continuazion del motosempre crescendo; poichél'un mobile gravissimo nella scesa d'un braccio non anticiperàil leggierissimo della decima parte di tale spazioma nella cadutadi dodici braccia lo preverrà della terza partein quella dicento l'anticiperà di 90/100etc.

Simp. Tutto bene: maseguitando le vostre vestigiese ladifferenza di peso in mobili di diversa gravità non puòcagionare la mutazion di proporzione nelle velocità loroatteso che le gravità non si mutanoné anco il mezzoche sempre si suppone mantenersi l'istessopotrà cagionaralterazion alcuna nella proporzione delle velocità.

Salv. Voi acutamente fate instanza contro al mio dettolaquale è ben necessario di risolvere. Dico per tanto che uncorpo grave ha da natura intrinseco principio di muoversi verso 'lcomun centro de i gravicioè del nostro globo terrestreconmovimento continuamente acceleratoed accelerato sempre egualmentecioè che in tempi eguali si fanno aggiunte eguali di nuovimomenti e gradi di velocità. E questo si deve intenderverificarsi tutta volta che si rimovessero tutti gl'impedimentiaccidentarii ed esternitra i quali uno ve ne ha che noi rimuovernon possiamoche è l'impedimento del mezzo pienomentre dalmobile cadente deve esser aperto e lateralmente mosso: al qual mototrasversale il mezzobenché fluido cedente e quietosioppone con resistenza or minore ed or maggioresecondo chelentamente o velocemente ei deve aprirsi per dar il transito almobile; il qualeperchécome ho dettosi va per sua naturacontinuamente accelerandovien per consequenza ad incontrarcontinuamente resistenza maggiore nel mezzoe peròritardamento e diminuzione nell'acquisto di nuovi gradi di velocitàsì che finalmente la velocità perviene a tal segnoela resistenza del mezzo a tal grandezzachebilanciandosi fra lorolevano il più accelerarsie riducono il mobile in un motoequabile ed uniformenel quale egli continua poi di mantenersisempre. È dunquenel mezzoaccrescimento di resistenzanonperché si muti la sua essenzama perché si altera lavelocità con la quale ei deve aprirsi e lateralmente muoversiper cedere il passaggio al cadenteil quale va successivamenteaccelerandosi. Ora il vedere che la resistenza dell'aria al pocomomento della vescica è grandissimaed al gran peso delpiombo è piccolissimami fa tener per fermo che chi larimovesse del tuttocon l'arrecare alla vescica grandissimo commodoma ben poco al piombole velocità loro si pareggerebbero.Posto dunque questo principioche nel mezzo doveo per esser vacuoo per altronon fusse resistenza veruna che ostasse alla velocitàdel motosì che di tutti i mobili le velocità fusserpari; potremo assai congruamente assegnar le proporzioni dellevelocità di mobili simili e dissimili nell'istesso ed indiversi mezzi pienie però resistenti: e ciòconseguiremo col por mente quanto la gravità del mezzo detraealla gravità del mobilela qual gravità è lostrumento col quale il mobile si fa stradarispingendo le parti delmezzo alle bandeoperazione che non accade nel mezzo vacuoe cheperò differenza nissuna si ha da attendere dalla diversagravità; e perché è manifestoil mezzo detrarrealla gravità del corpo da lui contenuto quant'è il pesod'altrettanta della sua materiascemando con tal proporzione lavelocità de i mobiliche nel mezzo non resistente sarebbero(come si è supposto) egualiaremo l'intento. Comeperesempioposto che il piombo sia dieci mila volte più gravedell'ariama l'ebano mille volte solamente; delle velocità diqueste due materiecheassolutamente presecioè rimossaogni resistenzasarebbero egualil'aria al piombo detrae dellidieci mila gradi unoma all'ebano suttrae de' mille gradi unoovogliam dire dei dieci mila dieci: quando dunque il piombo e l'ebanoscenderanno per aria da qualsivoglia altezzala qualerimosso 'lritardamento dell'ariaavrebbon passata nell'istesso tempol'ariaalla velocità del piombo detrarrà de i dieci mila gradiuno; ma all'ebano detrae de i decimila dieci; che è quanto adireche divisa quella altezzadalla quale si partono tali mobiliin dieci mila partiil piombo arriverà in terra restando indietro l'ebano diecianzi pur novedelle dette dieci mila parti. Eche altro è questosalvo checadendo una palla di piombo dauna torre alta dugento bracciatrovar che ella anticiperà unad'ebano di manco di quattro dita? Pesa l'ebano mille volte piùdell'aria; ma quella vescica così gonfia pesa solamentequattro volte tanto: l'ariadunquedalla intrinseca e naturalevelocità dell'ebano detrae de' mille gradi uno; ma a quellache pur della vescica assolutamente sarebbe stata l'istessal'ariane toglie delle quattro parti una: allora dunque che la pallad'ebanocadendo dalla torregiugnerà in terrala vescica neaverà passati i tre quarti solamente. Il piombo è piùgrave dell'acqua dodici voltema l'avorio il doppio solamente;l'acquadunquealle assolute velocità loroche sarebberoegualitoglie al piombo la duodecima partema all'avorio la metà:nell'acqua adunquequando il piombo arà sceso undici braccial'avorio ne arà scese sei. E discorrendo con tal regolacredoche troveremol'esperienze molto più aggiustatamenterisponder a cotal computo che a quello d'Aristotele. Con similprogresso troveremo la proporzione tra le velocità delmedesimo mobile in diversi mezzi fluidiparagonando non le diverseresistenze de i mezzima considerando gli eccessi di gravitàdel mobile sopra le gravità de i mezzi: v. g.lo stagno èmille volte più grave dell'ariae dieci piùdell'acqua; adunquedivisa la velocità assoluta dello stagnoin mille gradinell'ariache glie ne detrae la millesima partesimoverà con gradi novecento novanta novema nell'acqua connovecento solamenteessendo che l'acqua gli detrae solo la decimaparte della sua gravitàe l'aria la millesima. Posto unsolido poco più grave dell'acquaqual sarebbev. g.illegno di rovereuna palla del quale pesandodiremomille drammealtrettanta acqua ne pesasse novecencinquantama tanta aria nepesasse dueè manifestoche posto che la velocità suaassoluta fusse di mille gradiin aria resterebbe dinovecennovant'ottoma in acqua solamente cinquantaatteso chel'acqua de i mille gradi di gravità glie ne toglienovecencinquantae glie ne lascia solamente cinquanta: tal solidodunque si muoverebbe quasi venti volte più velocemente in ariache in acquasì come l'eccesso della gravità sua sopraquella dell'acqua è la vigesima parte della sua propria. E quivoglio che consideriamoche non potendo muoversi in giùnell'acqua se non materie più gravi in spezie di leieperconsequenzaper molte centinaia di volte più gravi dell'arianel ricercare qual sia la proporzione delle velocità loro inaria e in acquapossiamo senza notabile errore far conto che l'arianon detragga cosa di momento dalla assoluta gravitàed inconsequenza dall'assoluta velocitàdi tali materie; ondespeditamente trovato l'eccesso della gravità loro sopra lagravità dell'acquadiremola velocità loro per ariaalla velocità loro per acqua aver la medesima proporzione chela loro totale gravità all'eccesso di questa sopra la gravitàdell'acqua. Per esempiouna palla d'avorio pesa venti oncealtrettanta acqua pesa once diciasette; adunque la velocitàdell'avorio in aria alla sua velocità in acqua èprossimamentecome venti a tre.

Sagr. Grandissimo acquisto ho fatto in una materia per sestessa curiosa e nella qualema senza profittoho molte volteaffaticata la mente; né mancherebbe altroper poter anchepraticare queste specolazionise non il trovar modo di poter venirein cognizione di quanta sia la gravità dell'aria rispettoall'acquaed in consequenza all'altre materie gravi.

Simp. Ma quando si trovasse che l'ariain vece di gravitàavesse leggerezzache si dovrebbe dire de gli auti discorsiperaltro molto ingegnosi?

Salv. Converrebbe dire che fussero stati veramente aereileggieri e vani. Ma vorrete voi dubitare se l'aria sia gravementreavete il testo chiaro d'Aristotele che l'affermadicendo che tuttigli elementieccetto il fuocohanno gravitàanco l'ariastessa? segno di che (soggiugne egli) ne è che l'otro gonfiatopesa più che sgonfiato.

Simp. Che l'otro o pallone gonfiato pesi piùcredereiio che procedesse non da gravità che sia nell'ariama ne imolti vapori grossi tra essa mescolati in queste nostre regionibasse; mercé de i quali direi io che cresce la gravitàdell'otro.

Salv. Non vorrei che lo diceste voie molto meno che lofaceste dire ad Aristotele; perchéparlando egli de glielementi e volendomi persuadere che l'elemento dell'aria ègravefacendomelo veder con l'esperienzase nel venire alla provaei mi dicesse: “Piglia un otro e empilo di vapori grossiedosserva che il suo peso crescerà”io gli direi che piùancora peserebbe chi l'empiesse di semola; ma soggiugnerei dopochetali esperienze provano che le semole ed i vapori grossi son gravima quanto all'elemento dell'aria resterei nel medesimo dubbio diprima. L'esperienzadunquedi Aristotele è buonae laproposizion vera. Ma non direi già così di cert'altraragionepresa pure a signodi un tal filosofo del quale nonmi sovviene il nomema so che l'ho lettail quale argomental'ariaesser più grave che leggieraperché piùfacilmente porta i gravi all'in giù che i leggieri all'in su.

Sagr. Beneper mia fé. Adunqueper questa ragionel'aria sarà molto più grave dell'acquaavvenga chetutti i gravi son portati più facilmente in giù peraria che per acquae tutti i leggieri più agevolmente inquesta che in quella; anzi infiniti gravi scendono per l'ariachenell'acqua ascendonoed infinite materie salgono per acquache peraria calano a basso. Ma sia la gravità dell'otroSig.Simplicioo per i vapori grossi o per l'aria puraquesto nienteosta al proposito nostroche cerchiamo quel che accade a mobili chesi muovono in questa nostra regione vaporosa. Peròritornandoa quello che più mi premevorreiper intera ed assolutainstruzzione della presente materianon solo restare assicurato chel'aria sia (come io tengo per fermo) gravema vorreise èpossibilesaper quanta sia la sua gravità. PeròSig.Salviatise avete da sodisfarmi in questo ancoravi prego a farmenefavore.

Salv. Che nell'aria risegga gravità positivae nonaltrimentecome alcuni hanno credutoleggerezzala quale forse inveruna materia non si ritrovaassai concludente argomento ce neporge l'esperienza del pallone gonfiatoposta da Aristotele; perchése qualità di assoluta e positiva leggerezza fusse nell'ariamultiplicata e compressa l'ariacrescerebbe la leggerezzae 'nconsequenza la propensione di andare in su: ma l'esperienza mostral'opposito. Quanto all'altra domandache è del modod'investigare la sua gravitàio l'ho praticato in cotalmaniera. Ho preso un fiasco di vetro assai capace e col collostrozzatoal quale ho applicato un ditale di cuoiolegato benestretto nella strozzatura del fiascoavendo in capo al detto ditaleinserta e saldamente fermata un'animella da palloneper la quale conuno schizzatoio ho per forza fatto passar nel fiasco molta quantitàd'aria; della qualeperché patisce d'esser assaissimocondensatase ne può cacciare due e tre altri fiaschi oltre aquella che naturalmente vi capisce. In una esattissima bilancia hopoi pesato molto precisamente tal fiasco con l'aria dentrovicompressaaggiustando il peso con minuta arena. Aperta poil'animella e dato l'esito all'ariaviolentemente nel vaso contenutae rimessolo in bilanciatrovandolo notabilmente alleggeritosonoandato detraendo dal contrappeso tant'arenasalvandola da partechela bilancia resti in equilibrio col residuo contrappesocioècol fiasco: e qui non è dubbio che 'l peso della rena salvataè quello dell'aria che forzatamente fu messa nel fiasco e cheultimamente n'è uscita. Ma tale esperienza sin qui non miassicura d'altrose non che l'aria contenuta violentemente nel vasopesò quanto la salvata arena; ma quanto resolutamente edeterminatamente pesi l'aria rispetto all'acqua o ad altra materiagravenon per ancora so ioné posso saperese io non misurola quantità di quell'aria compressa: ed a questainvestigazione bisogna trovar regolanella quale ho trovato dipotere in due maniere procedere. L'una delle quali è dipigliar un altro simil fiascopurcome 'l primostrozzatoallastrozzatura del quale sia strettamente legato un altro ditalechedall'altra sua testa abbracci l'animella dell'altroe intorno aquella con saldissimo nodo sia legato. Questo secondo fiasco convienche nel fondo sia foratoin modo che per tal foro si possa mettereuno stile di ferrocon il quale si possaquando vorremoaprir ladetta animella per dar l'esito alla soverchia aria dell'altro vasopesata ch'ella sia: ma deve questo secondo fiasco esser pienod'acqua. Apparecchiato il tutto nella maniera detta ed aprendo con lostile l'animellal'ariauscendo con impeto e passando nel vasodell'acquala caccerà fuora per il foro del fondo; ed èmanifestola quantità dell'acqua che in tal guisa verràcacciataessere eguale alla mole e quantità d'aria chedall'altro vaso sarà uscita. Salvata dunque tale acquaetornato a pesare il vaso alleggerito dell'aria compressa (il qualesuppongo che fusse pesato anche primacon detta aria sforzata)edetrattoal modo già dichiaratol'arena superfluaèmanifestoquesta essere il giusto peso di tanta aria in molequantaè la mole dell'acqua scacciata e salvata; la quale peseremoevedremo quante volte il peso suo conterrà il peso dellaserbata arenae senza errore potremo affermartante volte esser piùgrave l'acqua dell'aria: la quale non sarà dieci voltealtrimenticome par che stimasse Aristotelema ben circaquattrocentocome tale esperienza ne mostra. L'altro modo èpiù speditivoe puossi fare con un vaso solocioè colprimoaccomodato nel modo detto; nel quale non voglio che mettiamoaltra aria oltre a quella che naturalmente vi si ritrovama voglioche vi cacciamo dell'acqua senza lasciare uscir punto di arialaqualedovendo cedere alla sopravvenente acquaè forza che sicomprima. Spintavi dunque più acqua che sia possibilechepure senza molta violenza vi se ne potrà mettere i tre quartidella tenuta del fiascomettasi su la bilanciaediligentissimamente si pesi; il che fattotenendo il vaso col colloin susi apra l'animelladando l'uscita all'ariadella quale nescapperà fuora giustamente quanta è l'acqua contenutanel fiasco. Uscita che sia l'ariasi torni a metter il vaso inbilanciail quale per la partita dell'aria si troveràalleggerito; e detratto dal contrappeso il peso superfluoda essoaremo la gravità di tant'aria quanta è l'acqua delfiasco.

Simp. Gli artifizii ritrovati da voi non si può direche non siano sottili e molto ingegnosi: ma mentre mi pare che inapparenza diano intera sodisfazzione all'intellettomi metton per unaltro verso in confusione. Imperò cheessendoindubitabilmente vero che gli elementi nelle proprie regioni non sononé leggieri né gravinon posso intender come e dovequella porzione d'aria che parve pesassev. g.quattro dramme direnadebba poi realmente aver tale gravità nell'arianellaquale ben la ritiene la rena che la contrappesò; e peròmi pare che l'esperienza dovesse esser praticata non nell'elementodell'ariama in un mezzo dove l'aria stessa potesse esercitare ilsuo talento del pesose ella veramente ne possiede.

Salv. Acuta certo è l'opposizione del Sig. Simplicioeperò è necessario o che ella sia insolubile o che lasoluzione sia non men sottile. Che quell'aria la qualecompressamostrò pesare quanto quella renaposta in libertà nelsuo elemento non sia più per pesarema sì ben la renaè cosa chiarissima: e però per far tale esperienzaconveniva eleggere un luogo e un mezzodove l'arianon men che larenapotesse gravitare; perchécome più volte si èdettoil mezzo detrae dal peso d'ogni materia che vi s'immergetanto quant'è il peso d'altrettanta parte dell'istesso mezzoquant'è la mole immersasì che l'aria all'aria levatutta la gravità: l'operazione dunqueacciò fussefatta esattamenteconverrebbe farla nel vacuodove ogni graveeserciterebbe il suo momento senza diminuzione alcuna. Quando dunqueSig. Simplicionoi pesassimo una porzione d'aria nel vacuorestereste allora sincerato e assicurato del fatto?

Simp. Veramente sì; ma questo è un desiderare orichieder l'impossibile.

Salv. E però grandissimo converrà che sial'obbligo che mi dovretequal volta per amor vostro io effettui unimpossibile. Ma io non voglio vendervi quel che già vi hodonatoperché di già nell'addotta esperienza pesiamonoi l'aria nel vacuoe non nell'aria o in altro mezzo pieno. Chealla moleSig. Simplicioche nel mezzo fluido s'immergevengadall'istesso mezzo detratto della gravitàciò provieneperché ei resiste all'esser apertodiscacciato e finalmentesollevato; segno di che ne dà la prontezza sua nel ricorrersubito a riempier lo spazio che l'immersa mole in lui occupavaqualunque volta essa ne parta: che quando di tale immersione ei nullasentisseniente opererebbe egli contro di quella. Ora ditemi: mentrevoi avete in aria il fiasco di già pieno della medesima arianaturalmente contenutaviqual divisionescacciamentoo in sommaqual mutazionericeve l'aria esterna ambiente dalla seconda aria chenuovamente s'infonde con forza nel vaso? Forse s'ingrandisce ilfiascoonde l'ambiente debba maggiormente ritirarsi per cedergliluogo? certo no: e però possiam dire che la seconda aria nonsi immerge nell'ambientenon vi occupando ella spazioma ècome se si mettesse nel vacuo; anzi pur vi si mette ella realmenteesi trapone ne i vacui non ben ripieni dalla prima aria noncondensata. E veramente non so conoscere differenza nissuna tra duecostituzioni d'ambito ed ambientementre in questa l'ambiente nientepreme l'ambitoed in quella l'ambito punto non spingecontr'all'ambiente: e tali sono la locazione di qualche materia nelvacuo e la seconda aria compressa nel fiasco. Il pesodunqueche sitrova in tal aria condensataè quello che ella arebbeliberamente sparsa nel vacuo. Ben è vero che 'l peso dellarena che la contrappesòcome quella che era nell'aria liberanel vacuo sarebbe stato un poco più del giusto; e peròconvien dire che l'aria pesata sia veramente alquanto men grave dellarena che la contrappesòcioè tanto quanto peserebbealtrettanta aria nel vacuo.

Simp. Pur mi pareva che nell'addotte esperienze vi fussequalche cosa da desiderare; ma ora mi quieto interamente.

Salv. Le cose da me sin qui prodotteed in particolarequestache la differenza di gravitàben che grandissimanonabbia parte veruna nel diversificare le velocità de i mobilisì cheper quanto da quella dependetutti si moverebbero conegual celeritàè tanto nuova enella primaapprensioneremota dal verisimileche quando non si avesse modo didilucidarla e renderla più chiara che 'l Solemeglio sarebbeil tacerla che 'l pronunziarla; perògià che me lasono lasciata scappar di boccaconvien ch'io non lasci indietroesperienza o ragione che possa corroborarla.

Sagr. Non questa solama molte altre insieme delle vostreproposizioni son così remote dalle opinioni e dottrinecommunemente ricevuteche spargendosi in publico vi conciterebbernumero grande di contradittoriessendo che l'innata condizione degli uomini non vede con buon occhio che altri nel loro esercizioscuopra verità o falsità non scoperte da loro; e coldar titolo di innovatori di dottrinepoco grato a gli orecchi dimoltis'ingegnano di tagliar quei nodi che non possono sciorreecon mine sotterranee dissipar quelli edifizii che sono staticon glistrumenti consuetida pazienti artefici costrutti. Ma con esso noilontani da simili pretensionil'esperienze e le ragioni sin quiaddotte bastano a quietarci: tuttaviaquando abbiate altre piùpalpabili esperienze e ragioni più efficacile sentiremomolto volentieri.

Salv. L'esperienza fatta con due mobili quanto più sipossa differenti di pesocol fargli scendere da un'altezza perosservar se la velocità loro sia egualepatisce qualchedifficoltà: imperò che se l'altezza sarà grandeil mezzoche dall'impeto del cadente deve esser aperto elateralmente spintodi molto maggior pregiudizio sarà alpiccol momento del mobile leggierissimo che alla violenza delgravissimoper lo che per lungo spazio il leggiero rimarràindietro; e nell'altezza piccola si potrebbe dubitare se veramentenon vi fusse differenzao pur se ve ne fussema inosservabile. Eperò sono andato pensando di reiterar tante volte la scesa dapiccole altezzeed accumulare insieme tante di quelle minimedifferenze di tempoche potessero intercedere tra l'arrivo altermine del grave e l'arrivo del leggieroche così congiuntefacessero un tempo non solo osservabilema grandemente osservabile.In oltreper potermi prevaler di moti quanto si possa tardine iquali manco lavora la resistenza del mezzo in alterar l'effetto chedepende dalla semplice gravitàsono andato pensando di farescendere i mobili sopra un piano declivenon molto elevato sopral'orizontale; ché sopra questonon meno che nel perpendicolopotrà scorgersi quello che facciano i gravi differenti dipeso; e passando più avantiho anco voluto liberarmi daqualche impedimento che potesse nascer dal contatto di essi mobili su'l detto piano declive: e finalmente ho preso due palleuna dipiombo ed una di sugheroquella ben più di cento volte piùgrave di questae ciascheduna di loro ho attaccata a due sottilispaghetti egualilunghi quattro o cinque braccialegati ad alto;allontanata poi l'una e l'altra palla dallo stato perpendicolaregliho dato l'andare nell'istesso momentoed essescendendo per lecirconferenze de' cerchi descritti da gli spaghi egualilorsemidiametripassate oltre al perpendicoloson poi per le medesimestrade ritornate indietro; e reiterando ben cento volte per lormedesime le andate e le tornatehanno sensatamente mostratocome lagrave va talmente sotto il tempo della leggierache né in bencento vibrazioniné in milleanticipa il tempo d'un minimomomentoma camminano con passo egualissimo. Scorgesi ancol'operazione del mezzoil qualearrecando qualche impedimento almotoassai più diminuisce le vibrazioni del sughero chequelle del piomboma non però che le renda più o menfrequenti; anzi quando gli archi passati dal sughero non fusser piùche di cinque o sei gradie quei del piombo di cinquanta o sessantason eglin passati sotto i medesimi tempi.

Simp. Se questo ècome dunque non sarà lavelocità del piombo maggiore della velocità delsugherofacendo quello sessanta gradi di viaggio nel tempo chequesto ne passa appena sei?

Salv. Ma che diresteSig. Simplicioquando amenduespedissero nell'istesso tempo i lor viaggimentre il sugheroallontanato dal perpendicolo trenta gradiavesse a passar l'arco disessantae 'l piomboslargato dal medesimo punto di mezzo due soligradiscorresse l'arco di quattro? non sarebbe allora altrettantopiù veloce il sughero? e pur l'esperienza mostra ciòavvenire. Però notate: slargato il pendolo del piombov. g.cinquanta gradi dal perpendicolo e di lì lasciato in libertàscorree passando oltre al perpendicolo quasi altri cinquantadescrive l'arco di quasi cento gradi e ritornando per se stessoindietrodescrive un altro poco minore arcoe continuando le suevibrazionidopo gran numero di quelle si riduce finalmente allaquiete. Ciascheduna di tali vibrazioni si fa sotto tempi egualitanto quella di novanta gradiquanto quella di cinquantadi ventidi dieci e di quattro; sì chein conseguenzala velocitàdel mobile vien sempre languendopoiché sotto tempi eguali vapassando successivamente archi sempre minori e minori. Un simileanzi l'istessoeffetto fa il sughero pendente da un filo altrettantolungosalvo che in minor numero di vibrazioni si conduce allaquietecome meno attomediante la sua leggerezzaa superarl'ostacolo dell'aria: con tutto ciò tutte le vibrazionigrandi e piccolesi fanno sotto tempi eguali tra di loroed egualiancora a i tempi delle vibrazioni del piombo. Onde è vero chese mentre il piombo passa un arco di cinquanta gradiil sughero nepassa uno di dieciil sughero allora è più tardo delpiombo; ma accaderà ancoraall'incontroche il sughero passil'arco di cinquantaquando il piombo passi quel di dieci o di sei: ecosìin diversi tempior sarà più veloce ilpiombo ed ora il sughero. Ma se gli stessi mobili passeranno ancorasotto i medesimi tempi egualiarchi egualiben sicuramente si potràdire allora essere le velocità loro eguali.

Simp. Mi pare e non mi pare che questo discorso siaconcludentee mi sento nella mente una tal confusioneche mi nascedal muoversie l'uno e l'altro mobileor veloce or tardo ed ortardissimoche non mi lascia ridurre in chiaro come vero sia che levelocità loro sian sempre eguali.

Sagr. Concedami in graziaSig. Salviatiche io dica dueparole. E ditemiSig. Simpliciose voi ammettete che dir si possacon assoluta veritàle velocità del sughero e delpiombo essere eguali ogni volta chepartendosi amendue nell'istessomomento dalla quiete e movendosi per le medesime inclinazionipassassero sempre spazii eguali in tempi eguali?

Simp. In questo non si può dubitarené se glipuò contradire.

Sagr. Accade ora ne i pendoliche ciaschedun di loro passi orsessanta gradior cinquantaor trentaor diecior ottoorquattroor dueetc.; e quando amendue passano l'arco di sessantagradilo passano nell'istesso tempo; nell'arco di cinquantamettonl'istesso tempo l'uno che l'altro mobile; così nell'arco ditrentadi diecie ne gli altri: e però si concludeche lavelocità del piombo nell'arco di sessanta gradi èeguale alla velocità del sughero nell'arco medesimo disessantae che le velocità nell'arco di cinquanta son pur traloro egualie così ne gli altri. Ma non si dice giàche la velocità che si esercita nell'arco di sessantasiaeguale alla velocità che si esercita nell'arco di cinquantané questa a quella dell'arco di trentaetc.; ma son sempreminori le velocità ne gli archi minori: il che si raccogliedal veder noi sensatamenteil medesimo mobile metter tanto tempo nelpassar l'arco grande de i sessanta gradiquanto nel passare il minordi cinquanta o 'l minimo di diecied in somma nell'esser passatitutti sempre sotto tempi eguali. È vero dunque che ben vannoe 'l piombo e 'l sugheroritardando il moto secondo la diminuzionede gli archima non però alterano la concordia loro nelmantener l'egualità della velocità in tutti i medesimiarchi da loro passati. Ho voluto dir questo più per sentire seho ben capito il concetto del Sig. Salviatiche per bisogno ch'iocredessi che avesse il Sig. Simplicio di più chiaraesplicazione di quella del Sig. Salviatiche ècome in tuttele sue coselucidissimae tale chesciogliendo egli il piùdelle volte questioni non solo in apparenza oscurema repugnantialla natura ed al verocon ragioni o osservazioni o esperienzetritissime e familiari ad ogn'unoha (come da diversi ho inteso)dato occasione a tal uno de i professori più stimati di farminor conto delle sue novitàtenendole come a vileperdependere da troppo bassi e popolari fondamenti; quasi che la piùammirabile e più da stimarsi condizione delle scienzedimostrative non sia lo scaturire e pullulare da principii notissimiintesi e conceduti da tutti. Ma seguitiamo pur noi d'andarci pascendodi questi cibi leggieri: e posto che il Sig. Simplicio sia restatoappagato nell'intender ed ammettere come l'interna gravità dei diversi mobili non abbia parte alcuna nel diversificar le velocitàlorosì che tuttiper quanto da quella dependesimoverebber con l'istesse velocitadiditeciSig. Salviatiin quelloche voi riponete le sensate ed apparenti disegualità di motoe rispondete a quell'instanza che oppone il Sig. Simplicioe ch'ioparimente confermodico del vedersi una palla d'artiglieria muoversipiù velocemente d'una migliarola di piombo; ché pocasarà la differenza di velocità rispetto a quella chev'oppongo iodi mobili dell'istessa materiade i quali alcuni de imaggiori scenderanno in meno d'una battuta di polsoin un mezzoquello spazio che altri minori non lo passeranno in un'oranéin quattroné in venti; quali sono le pietre e la minutarenae massime quella sottilissima che intorbida l'acquanel qualmezzo in molte ore non scende per due bracciache pietruzzenémolto più grandipassano in una battuta di polso.

Salv. Quel che operi il mezzo nel ritardar più imobilisecondo che tra di loro sono in spezie men gravigiàsi è dichiaratomostrando ciò accadere dallasuttrazione di peso: ma come il medesimo mezzo possa con sìgran differenza scemar la velocità ne i mobili differenti soloin grandezzaancor che siano della medesima materia e dell'istessafiguraricerca per sua dichiarazione discorso più sottile diquello che basta per intender come la figura del mobile piùdilatatao 'l moto del mezzo che sia fatto contro al mobileritardala velocità di quello. Io del presente problema riduco lacagione alla scabrosità e porositàche comunementeeper lo più necessariamentesi ritrova nelle superficie de icorpi solidile quali scabrosità nel moto di essi vannourtando nell'aria o altro mezzo ambiente: di che segno evidente ce neporge il sentir noi ronzar i corpiancor che quanto più sipossa rotondatimentre velocissimamente scorrono per l'aria; e nonsolo ronzarema sibilare e fischiar si sentonose qualche piùnotabil cavità o prominenza sarà in essi. Vedesi anconel girar sopra 'l torno ogni solido rotondo far un poco di vento. Mache più? non sentiam noi notabil ronzioed in tuono moltoacutofarsi dalla trottolamentre per terra con somma celeritàva girando? l'acutezza del qual sibilo si va ingravendo secondo chela velocità della vertigine va di grado in grado languendo:argomento parimente necessario de gl'intoppi nell'aria dellescabrositàben che minimedelle superficie loro. Queste nonsi può dubitare chenello scendere i mobilisoffregandosicon l'ambiente fluidoapporteranno ritardamento alla velocitàe tanto maggiore quanto la superficie sarà più grandequale è quella de i solidi minori paragonati a i maggiori.

Simp. Fermatein graziaperché qui comincio aconfondermi. Imperò chese bene io intendo ed ammetto che laconfricazione del mezzo con la superficie del mobile ritardi il motoe che più lo ritardi doveceteris paribuslasuperficie sia maggiorenon capisco però con qual fondamentovoi chiamiate maggiore la superficie de i solidi minori; ed oltre aciòsecome voi affermatela maggior superficie devearrecar maggior ritardamentoi solidi maggiori devriano esser piùtardiil che non è. Ma questa instanza facilmente si togliecon direche se bene il maggiore ha maggior superficieha ancomaggior gravitàcontro la quale l'impedimento della maggiorsuperficie non ha a prevalere all'impedimento della superficie minorecontro alla minor gravitàsì che la velocitàdel solido maggiore ne divenga minore. E però non veggoragione per la quale si debba alterare l'egualità dellevelocitàmentre chequanto si diminuisce la gravitàmoventealtrettanto si diminuisce la facoltà della superficieritardante.

Salv. Risolverò congiuntamente tutto quello cheopponete. Per tanto voiSig. Simpliciosenza controversiaammetteteche quando di due mobili egualidella stessa materia esimili di figura (i quali indubitabilmente si moverebber egualmenteveloci)all'uno di loro si diminuisse tanto la gravità quantola superficie (ritenendo però la similitudine della figura)non perciò si scemerebbe la velocità nel rimpiccolito.

Simp. Veramente parmi che così dovrebbe seguirestandoperò nella vostra dottrinache vuol che la maggiore o minorgravità non abbia azzione nell'accelerare o ritardar il moto.

Salv. E questo confermo ioe vi ammetto anco 'l vostro dettodal qual mi par che in consequenza si ritraggache quando la gravitàsi diminuisse più che la superficienel mobile in tal manieradiminuito si introdurrebbe qualche ritardamento di motoe maggiore emaggiore quanto a proporzione maggior fusse la diminuzion del pesoche la diminuzion della superficie.

Simp. In ciò non ho io repugnanza veruna.

Salv. Or sappiateSig. Simplicioche non si può ne isolidi diminuir tanto la superficie quanto 'l pesomantenendo lasimilitudine delle figure. Imperò cheessendo manifesto chenel diminuir un solido grave tanto scema il suo peso quanto la moleogni volta che la mole venisse sempre diminuita più che lasuperficie (nel conservarsi massime la similitudine di figura)lagravità ancora più che la superficie verrebbediminuita. Ma la geometria c'insegna che molto maggior proporzione ètra la mole e la molene i solidi similiche tra le lorosuperficie: il che per vostra maggiore intelligenza vi esplicheròin qualche caso particolare. Però figurateviper esempioundadoun lato del quale siav. g.lungo due ditasì che unadelle sue faccie sarà quattro dita quadree tutte e seicioètutta la sua superficieventi quattro dita quadre; intendete poiilmedesimo dado esser con tre tagli segato in otto piccoli dadi: illato di ciascun de' quali sarà un ditoe una sua faccia undito quadroe tutta la sua superficie sei dita quadredelle qualil'intero dado ne conteneva venti quattro in superficie. Or vedetecome la superficie del piccol dado è la quarta parte dellasuperficie del grande (che tanto è sei di venti quattro); mal'istesso dado solido è solamente l'ottava; molto piùdunque cala la moleed in consequenza il pesoche la superficie. Ese voi suddividerete il piccol dado in altri ottoaremo per l'interasuperficie di un di questi un dito e mezzo quadroche è lasedicesima parte della superficie del primo dado; ma la sua mole èsolamente la sessantaquattresima. Vedete per tanto come in questesole due divisioni le moli scemano quattro volte più che leloro superficie; e se noi andremo seguitando la suddivisione sino chesi riduca il primo solido in una minuta polveretroveremo la gravitàdei minimi atomi diminuita centinaia e centinaia di volte piùche le loro superficie. E questoche vi ho esemplificato ne i cubiaccade in tutti i solidi tra di loro similile moli de i quali sonoin sesquialtera proporzione delle lor superficie. Vedete dunque conquanto maggior proporzione cresce l'impedimento del contatto dellasuperficie del mobile col mezzo ne i mobili piccoli che ne imaggiori; e se noi aggiugneremo che le scabrosità nellesuperficie piccolissime delle polveri sottili non son forse minori diquelle delle superficie de i solidi maggiori che siano con diligenzapulitiguardate quanto bisognerà che 'l mezzo sia fluido eprivo onninamente di resistenza all'esser apertoper dover cedere ilpasso a così debil virtù. E in tanto notateSig.Simplicioch'io non equivocai quando poco fa dissila superficiede' solidi minori esser più grande in comparazione di quellade i maggiori.

Simp. Io resto interamente appagato: e mi credano certo che seio avessi a ricominciare i miei studiivorrei seguire il consigliodi Platone e cominciarmi dalle matematichele quali veggo cheprocedono molto scrupolosamentené vogliono ammetter persicuro fuor che quello che concludentemente dimostrano.

Sagr. Ho auto gusto grande di questo discorso; ma prima chepassiamo più avantiarei caro di restar capace d'un termineche mi giunse nuovoquando pur ora diceste che i solidi simili sontra di loro in sesquialtera proporzione delle lor superficie: perchého ben veduto e inteso la proposizionecon la sua dimostrazionenella quale si provala superficie de' solidi simili esser induplicata proporzione de i lor latie l'altra che provai medesimisolidi esser in tripla proporzione de i medesimi lati; ma laproporzione de i solidi con le lor superficie non mi sovvien néanco di averla sentita nominare.

Salv. V. S. medesima da per sé si rispondee dichiarail dubbio. Imperò che quello che è triplo d'una cosadella quale un altro è doppionon vien egli ad essersesquialtero di questo doppio? certo sì. Or se le superficiesono in doppia proporzione delle lineedelle quali i solidi sonoproporzione triplanon possiam noi direi solidi essere insesquialtera proporzion delle superficie?

Sagr. Ho inteso benissimo. E se bene alcuni altri particolariattenenti alla materia di cui si trattami resterebbero dadomandaretuttaviaquando ce n'andassimo così di digressionein digressionetardi verremmo alle quistioni principalmente inteseche appartengono alle diversità de gli accidenti delleresistenze de i solidi all'esser spezzati: e peròquando cosìpiaccia loropotremo ritornare su 'l primo filoche si propose daprincipio.

Salv. V. S. dice molto bene: ma le cose tante e tanto varieche si sono esaminateci han rubato tanto tempoche poco cen'avanzerà per questo giorno da spendere nell'altro nostroprincipal argomentoche è pieno di dimostrazioni geometricheda esser con attenzione considerate; onde stimerei che fusse megliodifferire il congresso a dimanesì per questo che ho dettocome ancora perché potrei portar meco alcuni foglidove hoper ordine notati i teoremi e problemi ne i quali si propongono edimostrano le diverse passioni di tal soggettoche forse allamemoriacol necessario metodonon mi sovverrebbero.

Sagr. Io molto bene mi accomodo a questo consiglioe tantopiù volentieriquanto cheper finire la sessione odiernaarò tempo di sentir la dichiarazione d'alcuni dubbi che mirestavano nella materia che ultimamente trattavamo. De i quali uno èse si deve stimare che l'impedimento del mezzo possa esser bastante apor termine all'accelerazione a' corpi di materia gravissimaegrandissimi di molee di figura sferica; e dico sfericaperpigliar quella che è contenuta sotto la minima superficieeperò meno soggetta al ritardamento. Un altro sarà circale vibrazioni de i pendolie questo ha più capi: l'uno èse tuttee grandi e mediocri e minimesi fanno veramente eprecisamente sotto tempi eguali; ed un altroqual sia la proporzionede i tempi de i mobili appesi a fili disegualide i tempidicodelle lor vibrazioni.

Salv. I quesiti son belliesì come avviene di tuttii veridubito che trattandosi di qualsisia di lorosi tireràdietro tante altre vere e curiose consequenzeche non so se l'avanzodi questo giorno ci basterà per discuterle tutte.

Sagr. S'elle saranno del sapore delle passatepiùgrato mi sarebbe l'impiegarvi tanti giorninon che tante orequanterestano sino a notte; e credo che il Sig. Simplicio non siristuccherà di tali ragionamenti.

Simp. Sicuramente noe massime quando si trattano quistioninaturali intorno alle quali non si leggono opinioni o discorsid'altri filosofi.

Salv. Vengo dunque alla primaaffermando senza verunadubitazionenon essere sfera sì grandené di materiasì graveche la renitenza del mezzoancor che tenuissimonon raffreni la sua accelerazionee che nella continuazion del motonon lo riduca all'equabilità: di che possiamo ritrar moltochiaro argomento dall'esperienza stessa. Imperò chese alcunmobile cadente fusse abilenella sua continuazion di motoadacquistar qualsivoglia grado di velocitànissuna velocitàche da motore esterno gli fusse conferitapotrebbe esser cosìgrandeche egli la recusasse e se ne spogliasse mercédell'impedimento del mezzo; e così una palla d'artiglieria chefusse scesa per ariav. g.quattro bracciaed avesseper esempioacquistato dieci gradi di velocitàe che con questi entrassenell'acquaquando l'impedimento dell'acqua non fusse potente avietare alla palla un tale impetoella l'accrescerebbeo almeno locontinuerebbe sino al fondo: il che non si vede seguire: anzil'acquabenché non fusse più che poche bracciaprofondal'impedisce e debilita in modoche leggerissima percossafarà nel letto del fiume o del lago. È dunquemanifestoche quella velocità della quale l'acqua l'ha potutaspogliare in un brevissimo viaggionon glie la lascerebbe giàmai acquistare anco nella profondità di mille braccia. Eperché permettergli 'l guadagnarsela in milleper levarglielapoi in quattro braccia? Ma che più? non si ved'eglil'immensoimpeto della pallacacciata dall'istessa artiglieriaesser talmenterintuzzato dall'interposizione di pochissime braccia d'acquachesenza veruna offesa della nave appena si conduce a percuoterla?L'aria ancorabenché cedentissimapur reprime la velocitàdel mobile cadenteancor che molto gravecome possiamo con similiesperienze comprendere: perché se dalla cima d'una torre moltoalta tireremo un'archibusata in giùquesta farà minorbotta in terrache se scaricheremo l'archibusoalto dal pianosolamente quattro o sei braccia; segno evidente che l'impeto con chela palla uscì della cannascaricata nella sommitàdella torreandò diminuendosi nello scender per aria. Adunquelo scender da qualunque grandissima altezza non basterà perfargli acquistare quell'impetodel quale la resistenza dell'aria lapriva quando già in qualsivoglia modo gli sia stato conferito.La rovina parimente che farà in una muraglia un colpo d'unapalla cacciata da una colubrina dalla lontananza di venti braccianon credo che la facesse venendo a perpendicolo da qualsivogliaaltezza immensa. Stimo per tantoesser termine all'accelerazione diqualsivoglia mobile naturale che dalla quiete si partae chel'impedimento del mezzo finalmente lo riduca all'egualitànella quale ben poi sempre si mantenga.

Sagr. L'esperienze veramente mi par che siano molto aproposito; né ci è altro se non che l'avversariopotrebbe farsi forte col negar che si debbano verificar nelle moligrandissime e gravissimee che una palla d'artiglieria venendo dalconcavo della Lunao anco dalla suprema region dell'ariafarebbepercossa maggiore che uscita dal cannone.

Salv. Non è dubbio che molte cose si posson opporreeche non tutte si possono con esperienze redarguire: tuttavia inquesta contradizzionealcuna cosa par che si possa metter inconsiderazionecioè che molto ha del verisimile che 'l gravecadente da un'altezza acquisti tanto d'impeto nell'arrivar in terraquanto fusse bastante a tirarlo a quell'altezza; come chiaramente sivede in un pendolo assai graveche slargato cinquanta o sessantagradi dal perpendicologuadagna quella velocità e virtùche basta precisamente a sospignerlo ad altrettanta elevazionetrattone però quel poco che gli vien tolto dall'impedimentodell'aria. Per costituir dunque la palla dell'artiglieria in tantaaltezza che bastasse per l'acquisto del pezzodovrebbe bastar iltirarla in su a perpendicolo con l'istessa artiglieriaosservandopoi se nella ricaduta ella facesse colpo eguale a quello dellapercossa fatta da vicino nell'uscire; che credo veramente che nonsarebbea gran segnotanto gagliardo: e però stimo che lavelocità che ha la palla vicino all'uscita del pezzosarebbedi quelle che l'impedimento dell'aria non gli lascerebbe conseguiregià mai mentre con moto naturale scendessepartendosi dallaquieteda qualsivoglia grand'altezza.

Vengo ora a gli altri quesitiattenenti a i pendolimateria che amolti parrebbe assai aridae massime a quei filosofi che stannocontinuamente occupati nelle più profonde quistioni delle cosenaturali; tuttavia non gli voglio disprezzareinanimito dall'esempiod'Aristotele medesimonel quale io ammiro sopra tutte le cose il nonaver egli lasciatosi può dirmateria alcunadegna inqualche modo di considerazioneche e' non l'abbia toccata. Ed oramosso da i quesiti di V. S.penso che potrò dirvi qualche miopensiero sopra alcuni problemi attenenti alla musicamaterianobilissimadella quale hanno scritto tanti grand'uomini e l'istessoAristotelee circa di essa considerar molti problemi curiosi; talchése io ancora da così facili e sensate esperienze trarròragioni di accidenti maravigliosi in materia de i suonipossosperare che i miei ragionamenti siano per esser graditi da voi.

Sagr. Non solamente graditima da me in particolaresommamente desideraticome quello chesendomi dilettato di tuttigli strumenti musicied assai filosofato intorno alle consonanzeson sempre restato incapace e perplesso onde avvenga che piùmi piaccia e diletti questa che quellae che alcuna non solo non midilettima sommamente m'offenda. Il problema poi trito delle duecorde tese all'unisonoche al suono dell'una l'altra si muova eattualmente risuonimi resta ancora irresolutocome anco non benchiare le forme delle consonanze ed altre particolarità.

Salv. Vedremo se da questi nostri pendoli si possa cavarequalche sodisfazione a tutte queste difficoltà. E quanto alprimo dubbioche èse veramente e puntualissimamentel'istesso pendolo fa tutte le sue vibrazionimassimemediocri eminimesotto tempi precisamente egualiio mi rimetto a quello cheintesi già dal nostro Accademico; il quale dimostra beneche'l mobile che descendesse per le corde suttese a qualsivoglia arcole passerebbe necessariamente tutte in tempi egualitanto la suttesasotto cent'ottanta gradi (cioè tutto il diametro)quanto lesuttese di centodi sessantadi diecidi duedi mezzo e diquattro minutiintendendo che tutte vadano a terminar nell'infimopuntotoccante il piano orizontale. Circa poi i descendenti per gliarchi delle medesime corde elevati sopra l'orizontee che non sianomaggiori d'una quartacioè di novanta gradimostra parimentel'esperienzapassarsi tutti in tempi egualima però piùbrevi de i tempi de' passaggi per le corde; effetto che in tanto hadel maravigliosoin quanto nella prima apprensione par che dovrebbeseguire il contrario: imperò chesendo comuni i termini delprincipio e del fine del motoed essendo la linea retta labrevissima che tra i medesimi termini si comprendepar ragionevoleche il moto fatto per lei s'avesse a spedire nel più brevetempo; il che poi non èma il tempo brevissimoed inconsequenza il moto velocissimoè quello che si fa per l'arcodel quale essa linea retta è corda. Quanto poi allaproporzione de i tempi delle vibrazioni di mobili pendenti da fila didifferente lunghezzasono essi tempi in proporzione suddupla dellelunghezze delle filao vogliam dire le lunghezze esser in duplicataproporzion de i tempicioè son come i quadrati de i tempi: sìche volendov. g.che 'l tempo d'una vibrazione d'un pendolo siadoppio del tempo d'una vibrazione d'un altrobisogna che lalunghezza della corda di quello sia quadrupla della lunghezza dellacorda di questo; ed alloranel tempo d'una vibrazione di quellounaltro ne farà trequando la corda di quello sarà novevolte più lunga dell'altra: dal che ne séguita che lelunghezze delle corde hanno fra di loro la proporzione che hanno iquadrati de' numeri delle vibrazioni che si fanno nel medesimo tempo.

Sagr. Adunquese io ho ben intesopotrò speditamentesapere la lunghezza d'una corda pendente da qualsivoglia grandissimaaltezzaquando bene il termine sublime dell'attaccatura mi fusseinvisibile e solo si vedesse l'altro estremo basso. Imperòchese io attaccherò qui da basso un assai grave peso a dettacorda e farò che si vada vibrando in qua e in làe cheun amico vadia numerando alcune delle sue vibrazioni e che ionell'istesso tempo vadia parimente contando le vibrazioni che faràun altro mobile appeso a un filo di lunghezza precisamente d'unbraccioda i numeri delle vibrazioni di questi pendolifattenell'istesso tempotroverò la lunghezza della corda: comeper esempioponghiamo che nel tempo che l'amico mio abbia contateventi vibrazioni della corda lungaio ne abbia contate dugenquarantadel mio filoche è lungo un braccio; fatti i quadrati dellidue numeri venti e dugenquarantache sono 400 e 57600diròla lunga corda contener 57600 misure di quelle che il mio filo necontien 400; e perché il filo è un sol bracciopartirò57600 per 400che ne viene 144; e 144 braccia dirò esserlunga quella corda.

Salv. Né vi ingannerete d'un palmoe massime sepiglierete moltitudini grandi di vibrazioni.

Sagr. V. S. mi dà pur frequentemente occasioned'ammirare la ricchezza ed insieme la somma liberalità dellanaturamentre da cose tanto comunie direi anco in certo modo viline andate traendo notizie molto curiose e nuovee bene spesso remoteda ogni immaginazione. Io ho ben mille volte posto cura allevibrazioniin particolaredelle lampade pendenti in alcune chieseda lunghissime cordeinavvertentemente state mosse da alcuno; ma ilpiù che io cavassi da tale osservazionefu l'improbabilitàdell'opinione di quelli che vogliono che simili moti venganomantenuti e continuati dal mezzocioè dall'ariaperchémi parrebbe bene che l'aria avesse un gran giudizioed insieme unapoca faccendaa consumar le ore e le ore di tempo in sospignere contanta regola in qua e in là un peso pendente: ma che io fussiper apprenderne che quel mobile medesimoappeso a una corda di centobraccia di lunghezzaslontanato dall'imo punto una volta novantagradi ed un'altra un grado solo o mezzotanto tempo spendesse inpassar questo minimoquanto in passar quel massimo arcocerto noncredo che mai l'avrei incontratoché ancor ancora mi par chetenga dell'impossibile. Ora sto aspettando di sentire che questemedesime semplicissime minuzie mi assegnino ragioni tali di queiproblemi musiciche mi possinoalmeno in partequietar la mente.

Salv. Prima d'ogni altra cosa bisogna avvertire che ciaschedunpendolo ha il tempo delle sue vibrazioni talmente limitato eprefissoche impossibil cosa è il farlo muover sotto altroperiodo che l'unico suo naturale. Prenda pur chi si voglia in mano lacorda ond'è attaccato il pesoe tenti quanto gli piaced'accrescergli o scemargli la frequenza delle sue vibrazioni; saràfatica buttata in vano: ma ben all'incontro ad un pendoloancor chegrave e posto in quietecol solo soffiarvi dentro conferiremo noimotoe moto anche assai grande col reiterare i soffima sotto 'ltempo che è proprio quel delle sue vibrazioni; che se al primosoffio l'aremo rimosso dal perpendicolo mezzo ditoaggiugnendogli ilsecondo dopo chesendo ritornato verso noicomincerebbe la secondavibrazionegli conferiremo nuovo motoe così successivamentecon altri soffima dati a tempoe non quando il pendolo ci vienincontro (che così gl'impediremmoe non aiuteremmoil moto);e seguendocon molti impulsi gli conferiremo impeto talechemaggior forza assai che quella d'un soffio ci bisognerà acessarlo.

Sagr. Ho da fanciullo osservatocon questi impulsi dati atempo un uomo solo far sonare una grossissima campanae nel volerlapoi fermareattaccarsi alla corda quattro e sei altri e tutti esserlevati in altoné poter tanti insieme arrestar quell'impetoche un solo con regolati tratti gli aveva conferito.

Salv. Esempio che dichiara 'l mio intento non menoacconciamente di quel che questa mia premessa si accomodi a render laragione del maraviglioso problema della corda della cetera o delcimbaloche muove e fa realmente sonare quella non solo cheall'unisono gli è concordema anco all'ottava e alla quinta.Toccatala corda comincia e continua le sue vibrazioni per tutto 'ltempo che si sente durar la sua risonanza: queste vibrazioni fannovibrare e tremare l'aria che gli è appressoi cui tremori eincrespamenti si distendono per grande spazio e vanno a urtare intutte le corde del medesimo strumentoed anco di altri vicini: lacorda che è tesa all'unisono con la toccaessendo disposta afar le sue vibrazioni sotto 'l medesimo tempocomincia al primoimpulso a muoversi un poco; e sopraggiugnendogli il secondoilterzoil ventesimo e più altrie tutti ne gli aggiustati eperiodici tempiriceve finalmente il medesimo tremore che la primatoccae si vede chiarissimamente andar dilatando le sue vibrazionigiusto allo spazio della sua motrice. Quest'ondeggiamento che si vadistendendo per l'ariamuove e fa vibrare non solamente le cordemaqualsivoglia altro corpo disposto a tremare e vibrarsi sotto queltempo della tremante corda; sì che se si ficcheranno nellesponde dello strumento diversi pezzetti di setole o di altre materieflessibilisi vedrànel sonare il cimbalotremare or questoor quel corpuscolosecondo che verrà toccata quella corda lecui vibrazioni van sotto 'l medesimo tempo: gli altri non simuoveranno al suono di questa cordané quello tremeràal suono d'altra corda. Se con l'archetto si toccheràgagliardamente una corda grossa d'una violaappressandogli unbicchiere di vetro sottile e pulitoquando il tuono della corda siaall'unisono del tuono del bicchierequesto tremerà esensatamente risonerà. Il diffondersi poi ampiamentel'increspamento del mezzo intorno al corpo risonanteapertamente sivede nel far sonare il bicchieredentro 'l quale sia dell'acquafregando il polpastrello del dito sopra l'orlo; imperò chel'acqua contenuta con regolatissimo ordine si vede andar ondeggiando:e meglio ancora si vedrà l'istesso effetto fermando il piededel bicchiere nel fondo di qualche vaso assai largonel quale siadell'acqua sin presso all'orlo del bicchiere; ché parimentefacendolo risonare con la confricazione del ditosi vedrannogl'increspamenti nell'acqua regolatissimie con gran velocitàspargersi in gran distanza intorno al bicchiere: ed io piùvolte mi sono incontratonel fare al modo detto sonare un bicchiereassai grande e quasi pieno d'acquaa veder prima le onde nell'acquacon estrema egualità formateed accadendo tal volta che 'ltuono del bicchiere salti un'ottava più altonell'istessomomento ho visto ciascheduna delle dette onde dividersi in due;accidente che molto chiaramente concludela forma dell'ottava esserla dupla.

Sagr. A me ancora è intervenuto l'istesso piùd'una volta con mio diletto ed anco utile: imperò che stettilungo tempo perplesso intorno a queste forme delle consonanzenon miparendo che la ragione che comunemente se n'adduce da gli autori chesin qui hanno scritto dottamente della musicafusse concludente abastanza. Dicono essila diapasoncioè l'ottavaessercontenuta dalla duplala diapenteche noi diciamo la quintadallasesquialteraetc.; perchédistesa sopra il monocordo unacordasonandola tutta e poi sonandone la metàcol mettere unponticello in mezzosi sente l'ottavae se il ponticello si metteràal terzo di tutta la cordatoccando l'intera e poi li due terzicirende la quinta; per lo che l'ottava dicono esser contenuta tra 'ldue e l'unoe la quinta tra il tre e 'l dua. Questa ragionediconon mi pareva concludente per poter assegnar iuridicamente la dupla ela sesquialtera per forme naturali della diapason e della diapente: e'l mio motivo era tale. Tre sono le maniere con le quali noi possiamoinacutire il tuono a una corda: l'una è lo scorciarla;l'altrail tenderla piùo vogliam dir tirarla; il terzo èl'assottigliarla. Ritenendo la medesima tiratezza e grossezza dellacordase vorremo sentir l'ottavabisogna scorciarla la metàcioè toccarla tuttae poi mezza: ma seritenendo la medesimalunghezza e grossezzavorremo farla montare all'ottava col tirarlapiùnon basta tirarla il doppio piùma ci bisogna ilquadruplosì che se prima era tirata dal peso d'una libbraconverrà attaccarvene quattro per inacutirla all'ottava: efinalmente sestante la medesima lunghezza e tiratezzavorremo unacorda cheper esser più sottilerenda l'ottavasarànecessario che ritenga solo la quarta parte della grossezzadell'altra più grave. E questo che dico dell'ottavacioèche la sua forma presa dalla tensione o dalla grossezza della corda èin duplicata proporzione di quella che si ha dalla lunghezzaintendasi di tutti gli altri intervalli musici: imperò chequello che ci dà la lunghezza con la proporzion sesquialteracioè col sonarla tutta e poi li due terzivolendolo cavardalla tiratezza o dalla sottigliezzabisogna duplicar la proporzionesesquialterapigliando la dupla sesquiquartae se la corda graveera tesa da quattro libbre di pesoattaccarne all'acuta non seimanovee quanto alla grossezzafar la corda grave più grossadell'acuta secondo la proporzione di nove a quattroper aver laquinta. Stante queste verissime esperienzenon mi pareva scorgerragione alcuna per la quale avesser i sagaci filosofi a stabilirlaforma dell'ottava esser più la dupla che la quadruplae dellaquinta più la sesquialtera che la dupla sesquiquarta. Maperché il numerar le vibrazioni d'una cordache nel render lavoce le fa frequentissimeè del tutto impossibilesareirestato sempre ambiguo se vero fusse che la corda dell'ottavapiùacutafacesse nel medesimo tempo doppio numero di vibrazioni diquelle della più gravese le onde permanenti per quanto tempoci piacenel far sonare e vibrare il bicchierenon m'avesserosensatamente mostrato come nell'istesso momento che alcuna volta sisente il tuono saltare all'ottavasi veggono nascere altre onde piùminutele quali con infinita pulitezza tagliano in mezzo ciascuna diquelle prime.

Salv. Bellissima osservazione per poter distinguer ad una aduna le onde nate dal tremore del corpo che risuonache son poiquelle chediffuse per l'ariavanno a far la titillazione su 'ltimpano del nostro orecchiola quale nell'anima ci doventa suono. Madove che il vederle ed osservarle nell'acqua non dura se non quantosi continua la confricazion del ditoed anco in questo tempo nonsono permanentima continuamente si fanno e si dissolvonononsarebbe bella cosa quando se ne potesse far con grand'esquisitezza diquelle che restassero lungo tempodico mesi ed annisì chedesser commodità di poterle misurare ed agiatamente numerare?

Sagr. Veramente io stimerei sommamente una tale invenzione.

Salv. L'invenzione fu del casoe mia fu solamentel'osservazione e 'l far di essa capitale e stima come di riprova dinobil contemplazioneancor che fattura in se stessa assai vile.Raschiando con uno scarpello di ferro tagliente una piastra d'ottoneper levarle alcune macchienel muovervi sopra lo scarpello convelocitàsentii una volta e duetra molte strisciatefischiare e uscirne un sibilo molto gagliardo e chiaro; e guardandosopra la piastraveddi un lungo ordine di virgolette sottilitra diloro parallele e per egualissimi intervalli l'una dall'altradistanti. Tornando a raschiar di nuovo più e più voltem'accorsi che solamente nelle raschiate che fischiavano lasciava loscarpello le 'ntaccature sopra la piastra; ma quando la strisciatapassava senza sibilonon restava pur minima ombra di talivirgolette. Replicando poi altre volte lo scherzostrisciando oracon maggiore ed ora con minor velocitàil sibilo riusciva dituono or più acuto ed or più grave; ed osservaiisegni fatti nel suono più acuto esser più spessiequelli del più grave più radie tal volta ancorasecondo che la strisciata medesima era fatta verso 'l fine conmaggior velocità che nel principiosi sentiva il suonoandarsi inacutendoe le virgolette si vedeva esser andateinspessendosima sempre con estrema lindura e con assolutaequidistanza segnate; ed oltre a ciònelle strisciatesibilanti sentivo tremarmi il ferro in pugnoe per la mano scorrermicerto rigore: ed in somma si vede e sente fare al ferro quello perappunto che facciamo noi nel parlar sotto voce e nell'intonar poi ilsuono gagliardochemandando fuora il fiato senza formare il suononon sentiamo nella gola e nella bocca farsi movimento alcunorispetto però ed in comparazione del tremor grande chesentiamo farsi nella laringe ed in tutte le fauci nel mandar fuora lavocee massime in tuono grave e gagliardo. Ho anco tal volta tra lecorde del cimbalo notatone due unisone alli due sibili fattistrisciando al modo dettoe de i più differenti di tuonodei quali due precisamente distavano per una quinta perfetta; emisurando poi gl'intervalli delle virgolette dell'una e dell'altrastrisciatasi vedevala distanza che conteneva quarantacinquespazii dell'unacontenere trenta dell'altraquale veramente èla forma che si attribuisce alla diapente. Ma quiprima che passarepiù avantivoglio avvertirviche delle tre maniered'inacutire il suonoquella che voi referite alla sottigliezza dellacordacon più verità deve attribuirsi al peso. Imperòche l'alterazione presa dalla grossezza risponde quando le cordesiano della medesima materia: e così una minugia per farl'ottava deve esser più grossa quattro volte dell'altra pur diminugia; ed una d'ottonepiù grossa quattro volte d'un'altrad'ottone: ma s'io vorrò far l'ottava con una d'ottone ad unadi minugianon si ha da ingrossar quattro voltema sì benfarla quattro volte più grave; sì chequanto allagrossezzaquesta di metallo non sarà altrimenti quattro voltepiù grossama ben quadrupla in gravitàche tal voltasarà più sottile che la sua rispondente all'ottavapiùacutache sia di minugia: onde accade che incordandosi un cimbalo dicorde d'oro ed un altro d'ottonese saranno della medesimalunghezzagrossezza e tensioneper esser l'oro quasi il doppio piùgraveriuscirà l'accordatura circa una quinta piùgrave. E qui notisi come alla velocità del moto piùresiste la gravità del mobile che la grossezzacontro aquello che a prima fronte altri giudicherebbe; che ben pare cheragionevolmentepiù dovesse esser ritardata la velocitàdalla resistenza del mezzo all'esser aperto in un mobile grosso eleggieroche in uno grave e sottile; tuttavia in questo caso accadetutto l'opposito. Ma seguitando il primo propositodico che non èla ragion prossima ed immediata delle forme de gl'intervalli musicila lunghezza delle cordenon la tensionenon la grossezzama sìbene la proporzione de i numeri delle vibrazioni e percosse dell'ondedell'aria che vanno a ferire il timpano del nostro orecchioil qualeesso ancora sotto le medesime misure di tempi vien fatto tremare.Fermato questo puntopotremo per avventura assegnar assai congruaragione onde avvenga che di essi suonidifferenti di tuonoalcunecoppie siano con gran diletto ricevute dal nostro sensorioaltre conminoreed altre ci feriscano con grandissima molestia; che èil recar la ragione delle consonanze più o men perfette edelle dissonanze. La molestia di queste nasceràcredo iodalle discordi pulsazioni di due diversi tuoni chesproporzionatamente colpeggiano sopra 'l nostro timpanoe crudissimesaranno le dissonanze quando i tempi delle vibrazioni fusseroincommensurabili; per una delle quali sarà quella quando didue corde unisone se ne suoni una con tal parte dell'altra quale èil lato del quadrato del suo diametro: dissonanza simile al tritono osemidiapente. Consonantie con diletto ricevutesaranno quellecoppie di suoni che verranno a percuotere con qualche ordine sopra 'ltimpano; il qual ordine ricercaprimache le percosse fatte dentroall'istesso tempo siano commensurabili di numeroacciò che lacartilagine del timpano non abbia a star in un perpetuo tormentod'inflettersi in due diverse maniere per acconsentire ed ubbidirealle sempre discordi battiture: sarà dunque la prima e piùgrata consonanza l'ottavaessendo che per ogni percossa che dia lacorda grave su 'l timpanol'acuta ne dà duetal che amenduevanno a ferire unitamente in una sìe nell'altra nodellevibrazioni della corda acutasì che di tutto 'l numero dellepercosse la metà s'accordano a battere unitamente; ma i colpidelle corde unisone giungon sempre tutti insiemee però soncome d'una corda solané fanno consonanza. La quinta dilettaancoraatteso che per ogni due pulsazioni della corda grave l'acutane dà tredal che ne séguita chenumerando levibrazioni della corda acutala terza parte di tutte s'accordano abattere insiemecioè due solitarie s'interpongono tra ognicoppia delle concordi; e nella diatesseron se n'interpongon tre.Nella secondacioè nel tuono sesquiottavoper ogni novepulsazioni una sola arriva concordemente a percuotere con l'altradella corda più grave; tutte l'altre sono discordi e conmolestia ricevute su 'l timpanoe giudicate dissonanti dall'udito.

Simp. Vorrei con maggior chiarezza spiegato questo discorso.


Salv.Sia questa linea AB lo spazio e la dilatazione d'unavibrazione della corda gravee la linea CD quella della cordaacutala quale con l'altra renda l'ottavae dividasi la ABin mezzo in E: è manifestoche cominciando a muoversile corde nei termini ACquando la vibrazione acutasarà pervenuta al termine Dl'altra si saràdistesa solamente sino al mezzo Eil qualenon sendo terminedel motonon percuotema ben si fa colpo in D. Ritornandopoi la vibrazione dal D in Cl'altra passa da Ein Bonde le due percosse di B e di C battonounitamente su 'l timpano: e tornando a reiterarsi le simili seguentivibrazionisi concluderàalternatamente in una sì enell'altra no delle vibrazioni CD accadere l'unionedelle percosse con quelle di AB. Ma le pulsazioni dei termini hanno sempre per compagne una delle CDesempre la medesima: il che è manifesto; perchépostoche AC battano insiemenel passar A in BC va in D e torna in Ctal che C battecon B; e nel tempo che B torna in ACpassa per D e torna in Csì che i colpi AC si fanno insieme. Ma sieno ora le due vibrazioni ABCD quelle che producono la diapentei tempi delle quali sonoin proporzion sesquialterae dividasi la AB della corda gravein tre parti eguali in EOe intendansi le vibrazionicominciare nell'istesso momento da i termini AC: èmanifesto che nella percossa che si farà nel termine Dla vibrazione di AB sarà giunta solamente in O;il timpano dunque riceve la percossa D sola: nel ritorno poida D in Cl'altra vibrazione passa da O in Be ritorna in Ofacendo la pulsazione in Bche pure èsola e di contrattempo (accidente da considerarsi); perchéavendo poi posto le prime pulsazioni fatte nell'istesso momento neitermini ACla secondache fu sola del termine Dsi fece dopo quanto importa il tempo del transito CDcioèAOma la seguenteche si fa in Bdista dall'altrasolo quanto è il tempo di OBche è la metà:continuando poi il ritorno da O in Amentre da Csi va in Dsi viene a far le due pulsazioni unitamente in Ae D. Seguono poi altri periodi simili a questicioècon l'interposizione di due pulsazioni della corda acutascompagnatee solitariee una della corda gravepur solitaria e interposta trale due solitarie dell'acuta. Sì chese noi figureremo iltempo diviso in momenticioè in minime particole eguali;posto che nei due primi dalle concordi pulsazioni fatte in AC si passi in ODe in D si batta; chenel terzo e quarto momento si torni da D in Cbattendoin Ce che da O si passi per B e si torni in Obattendosi in B; e che finalmente nel quinto e sesto momentoda O e C si passi in A e Dbattendo inamendue; avremo sopra 'l timpano le pulsazioni distribuite con talordineche poste le pulsazioni delle due corde nel medesimoinstantedue momenti dopo riceverà una percossa solitarianel terzo momento un'altra pur solitarianel quarto un'altra solaedue momenti dopocioè nel sestodue congiunte insieme: e quifinisce il periodoeper dir cosìl'anomaliail qualperiodo si va poi più volte replicando.

Sagr. Io non posso più tacere: è forza ch'ioesclami il gusto che sento nel vedermi tanto adequatamente reseragioni di effetti che tanto tempo m'hanno tenuto in tenebre ececità. Ora intendo perché l'unisono non differiscepunto da una voce sola: intendo perché l'ottava è laprincipal consonanzama tanto simile all'unisonoche come unisonosi prende e si accompagna con le altre; simile è all'unisonoperchédove le pulsazioni delle corde unisone vanno a feriretutte insieme semprequeste della corda grave dell'ottava vannotutte accompagnate da quelle dell'acutae di queste una s'interponesolitaria ed in distanze eguali ed in certo modo senza fare scherzoalcunoonde tal consonanza ne diviene sdolcinata troppo e senzabrio. Ma la quintacon quei suoi contrattempie con l'interpor trale coppie delle due pulsazioni congiunte due solitarie della cordaacuta ed una pur solitaria della gravee queste tre con tantointervallo di tempo quanto è la metà di quello che ètra ciascuna coppia e le solitarie dell'acutafa una titillazione edun solletico tale sopra la cartilagine del timpanoche temperando ladolcezza con uno spruzzo d'acrimoniapar che insieme soavemente bacie morda.

Salv. È forzapoiché veggo che V. S. gustatanto di queste novellizieche io gli mostri il modo col qualel'occhio ancoranon pur l'uditopossa recrearsi nel veder imedesimi scherzi che sente l'udito. Sospendete palle di piombooaltri simili gravida tre fili di lunghezze diversema tali che neltempo che il più lungo fa due vibrazioniil più cortone faccia quattro e 'l mezzano treil che accaderà quando ilpiù lungo contenga sedici palmi o altre misuredelle quali ilmezzano ne contenga nove ed il minore quattro; e rimossi tuttiinsieme dal perpendicolo e poi lasciatigli andaresi vedrà unintrecciamento vago di essi filicon incontri variima tali che adogni quarta vibrazione del più lungo tutti tre arriveranno almedesimo termine unitamentee da quello poi si partirannoreiterando di nuovo l'istesso periodo: la qual mistione di vibrazioniè quella chefatta dalle corderende all'udito l'ottava conla quinta in mezzo. E se con simile disposizione si andrannotemperando le lunghezze di altri filisì che le vibrazioniloro rispondano a quelle di altri intervalli musicima consonantisi vedranno altri ed altri intrecciamentie sempre taliche indeterminati tempi e dopo determinati numeri di vibrazioni tutti ifili (siano tre o siano quattro) si accordano a giugner nell'istessomomento al termine di loro vibrazionie di lì a cominciare unaltro simil periodo. Ma quando le vibrazioni di due o più filisiano o incommensurabilisì che mai non ritornino a terminarconcordemente determinati numeri di vibrazionio se purnon essendoincommensurabilivi ritornano dopo lungo tempo e dopo gran numero divibrazioniallora la vista si confonde nell'ordine disordinato disregolata intrecciaturae l'udito con noia riceve gli appulsiintemperati de i tremori dell'ariache senza ordine o regola vanno aferire su 'l timpano.

Ma doveSignori mieici siamo lasciati trasportare per tante ore dai vani problemi ed inopinati discorsi? Siamo giunti a serae dellaproposta materia abbiamo trattato pochissimo o niente; anzi ce nesiamo in modo disviatiche a pena mi sovviene della primaintroduzzione e di quel poco ingresso che facemmo come ipotesi eprincipio delle future dimostrazioni.

Sagr. Sarà dunque bene che ponghiamo per oggi fine a inostri ragionamentidando commodo alla mente di andarsi nel riposodella notte tranquillandoper tornar poi domani (quando piaccia a V.S. di favorirci) a i discorsi desiderati e principalmente intesi.

Salv. Non mancherò d'esser qua all'istessa ora di oggia servirle e goderle.


Finiscela prima Giornata

 

GIORNATA SECONDA


Sagr. Stavamoil Sig. Simplicio ed ioaspettando la venutadi V. S.e nel medesimo tempo ci andavamo riducendo a memorial'ultima considerazionechequasi come principio e supposizionedelle conclusioni che V. S. intendeva di dimostrarcifu circa quellaresistenza che hanno tutti i corpi solidi all'esser rottidependenteda quel glutine che tiene le parti attaccate e congiuntesìche non senza una potente attrazzione cedono e si separano. Si andòpoi cercando qual potesse esser la causa di tal coerenzache inalcuni solidi è gagliardissimaproponendosi principalmentequella del vacuoche fu poi cagione di tante digressioni che citennero tutta la giornata occupati e lontani dalla materiaprimieramente intesache eracome ho dettola contemplazione delleresistenze de i solidi all'essere spezzati.

Salv. Ben mi sovviene del tutto. E ritornando su 'l filoincominciatoposta qualunque ella sia la resistenza de i corpisolidi all'essere spezzati per una violenta attrazzionebasta cheindubitabilmente ella in loro si trova; la qualeben che grandissimacontro alla forza di chi per diritto gli tiraminore per lo piùsi osserva nel violentargli per traverso: e così vegghiamo unavergaper esempiod'acciaio o di vetro reggere per lo lungo il pesodi mille libbreche fitta a squadra in un muro si spezzeràcon l'attaccargliene cinquanta solamente: e di questa secondaresistenza deviamo noi parlarericercando secondo quali proporzioniella si ritrovi ne i prismi e cilindri simili o dissimili in figura egrossezzaessendo però dell'istessa materia. Nella qualespecolazione io piglio come principio noto quello che nelle mecanichesi dimostra tra le passioni del vetteche noi chiamiamo levacioèche nell'uso della leva la forza alla resistenza ha la proporzioncontraria di quella che hanno le distanze tra 'l sostegno e lemedesime forza e resistenza.

Simp. Questo fu dimostrato da Aristotilenelle sue Mecanicheprima che da ogni altro.

Salv. Voglio che gli concediamo il primato nel tempo; ma nellafermezza della dimostrazione parmi che se gli deva pergrand'intervallo anteporre Archimededa una sola proposizione delqualedimostrata da esso ne gli Equiponderantidependono le ragioninon solamente della levama della maggior parte de gli altristrumenti mecanici.

Sagr. Ma già che questo principio è ilfondamento di tutto quello che voi avete intenzione di volercidimostrarenon sarebbe se non molto a proposito l'arrecarci anco laprova di tal supposizionequando non sia materia molto prolissadandoci una intera e compita instruzzione.

Salv. Come questo si abbia a faresarà pur meglio cheio per altro ingressoalquanto diverso da quello d'Archimedev'introduca nel campo di tutte le future specolazionie che nonsupponendo altro se non che pesi eguali posti in bilancia di bracciaeguali facciano l'equilibrio (principio supposto parimente dalmedesimo Archimede)io venga poi a dimostrarvi come non solamentealtrettanto sia vero che pesi diseguali facciano l'equilibrio instadera di braccia diseguali secondo la proporzione di essi pesipermutatamente sospesima che l'istessa cosa fa colui che collocapesi eguali in distanze egualiche quello che colloca pesi disegualiin distanze che abbiano permutatamente la medesima proporzione che ipesi.

Or per chiara dimostrazione di quanto dicosegno un prisma ocilindro solido ABsospeso dall'estremità alla lineaHIe sostenuto da due fili HAIB: èmanifestoche se io sospenderò il tutto dal filo Cposto nel mezzo della bilancia HIil prisma AB resteràequilibratoessendo la metà del suo peso da una bandael'altra dall'altradel punto della sospensione Cper ilprincipio da noi supposto. Intendasi ora il prisma esser diviso inparti diseguali dal piano per la linea De sia la parte DAmaggioree la DB minore; ed acciò chefatta taldivisionele parti del prisma restino nel medesimo sito ecostituzione rispetto alla linea HIsoccorriamo con un filoEDil qualefermato nel punto Esostenga le partidel prisma ADDB; non è da dubitarsi chenonsi essendo fatta veruna local mutazione nel prisma rispetto allabilancia HIella resterà nel medesimo statodell'equilibrio. Ma nella medesima costituzione resterà ancorase la parte del prisma che ora è sospesa dalle due estremitàcon li fili AHDEsi appenda ad un sol filo GLposto nel mezzo; e parimente l'altra parte DB non muteràstato sospesa dal mezzo e sostenuta dal filo FM: scioltidunque i fili HAEDIBe lasciati solo li dueGLFMresterà l'istesso equilibriofatta pursempre la sospensione dal punto C. Or qui voltiamoci aconsiderare come noi abbiamo due gravi ADDBpendentida i termini GF di una libra GFnella qualesi fa l'equilibrio dal punto Cin modo che la distanza dellasospensione del grave AD dal punto C è la lineaCGe l'altra parte CF è la distanza dalla qualpende l'altro grave DB: resta dunque solo da dimostrarsitalidistanze aver la medesima proporzione tra di loro che hanno glistessi pesima permutatamente presicioè che la distanza GCalla CF sia come il prisma DB al prisma DA; ilche proveremo così. Essendo la linea GE la metàdella EHe la EF metà della EIsaràtutta la GF metà di tutta la HIe peròeguale alla CI; e trattane la parte comune CFsaràla rimanente GC eguale alla rimanente FIcioèalla FE; e presa comunemente la CEsaranno le due GECF eguali: e peròcome GE ad EFcosìFC a CG; ma come GE ad EFcosì ladoppia alla doppiacioè HE ad EIcioèil prisma AD al prisma DB; adunqueper l'egualproporzione e convertendocome la distanza GC alla distanzaCFcosì il peso BD al peso DA: che èquello che io volevo provarvi.

Inteso sin quinon credo che voi porrete difficoltà inammettere che i due prismi ADDB facciano l'equilibriodal punto Cperché la metà di tutto 'l solidoAB è alla destra della sospensione Ce l'altrametà dalla sinistrae che così si vengono arappresentar due pesi eguali disposti e distesi in due distanzeeguali. Che poi li due prismi ADDB ridotti in duedadio in due palleo in due qual'altre si siano figure (purchési conservino le sospensioni medesime GF)seguitinodi far l'equilibrio dal punto Cnon credo che sia alcuno chene possa dubitareperché troppo manifesta cosa è chele figure non mutano pesodove si ritenga la medesima quantitàdi materia. Dal che possiamo raccor la general conclusioneche duepesiqualunque si sianofanno l'equilibrio da distanzepermutatamente respondenti alle lor gravità.

Stabilito dunque tal principioavanti che passiamo più oltredevo metter in considerazione come queste forzeresistenzemomentifigureetc.si posson considerar in astratto e separate dallamateriaed anco in concreto e congiunte con la materia; ed in questomodo quelli accidenti che converranno alle figure considerate comeimmaterialiriceveranno alcune modificazioni mentre li aggiugneremola materiaed in consequenza la gravità.

Comeper esempiose noi intenderemo una levaqual sarebbe questaBAla qualeposando su 'l sostegno Esia applicataper sollevare il grave sasso Dè manifestoper ildimostrato principioche la forza posta nell'estremità Bbasterà per adequare la resistenza del grave Dse ilsuo momento al momento di esso D abbia la medesima proporzioneche ha la distanza AC alla distanza CB; e questo èveronon mettendo in considerazione altri momenti che quelli dellasemplice forza in B e della resistenza in Dquasi chel'istessa leva fusse immateriale e senza gravità: ma se noimetteremo in conto la gravità ancora dello strumento stessodella levala quale sarà talor di legno e tal volta anco diferroè manifesto chealla forza in B aggiunto ilpeso della levaaltererà la proporzionela quale converràpronunziare sotto altri termini. E peròprima che passar piùoltreè necessario che noi convenghiamo in por distinzionetra queste due maniere di considerarechiamando un prendereassolutamente quello quando intenderemo lo strumento preso inastrattocioè separato dalla gravità della propriamateria; ma congiugnendo con le figure semplici ed assolute lamateriacon la gravità ancoranomineremo le figure congiuntecon la materia momento o forza composta.

Sagr. È forza ch'io rompa il proposito che avevo di nondar occasione di digredire; ma non potrei con attenzione applicarmial rimanentese non mi fusse rimosso certo scrupolo che mi nasce; edè questo: che mi pare che V. S. faccia comparazione dellaforza posta in B con la total gravità del sasso Ddella qual gravità mi pare che una partee forse forse lamaggioresi appoggi sopra 'l piano dell'orizonte; sì che...

Salv. Ho inteso benissimo. V. S. non soggiunga altro masolamente avverta che io non ho nominata la gravità totale delsassoma ho parlato del momento che egli tiene ed esercita sopra 'lpunto Aestremo termine della leva BA; il quale èsempre minore dell'intero peso del sassoed èvariabilesecondo la figura della pietra e secondo che ella vien più omeno sollevata.

Sagr. Resto appagato; ma mi nasce un altro desiderioche èche per intera cognizione mi fusse dimostrato il modose vi èdi poter investigare qual parte sia del peso totale quella che viensostenuta dal soggetto pianoe quale quella che grava su 'l vettenell'estremità A.

Salv. Perché posso con poche parole darglisodisfazzionenon voglio lasciar di servirla.

Peròfacendone un poco di figuraintendaV. S. il peso il cui centro di gravità sia Aappoggiato sopra l'orizonte co 'l termine Be nell'altro siasostenuto col vette CGsopra 'l sostegno Nda unapotenza posta in G; e dal centro A e dal termine Ccaschinoperpendicolari all'orizzonteAOCF: dicoil momento di tutto il peso al momento della potenza in G averla proporzion composta della distanza GN alla distanza NCe della FB alla BO. Facciasicome la linea FBalla BOcosì la NC alla X: ed essendotutto il peso A sostenuto dalle due potenze poste in Be Cla potenza B alla C è come ladistanza FO alla OB; e componendole due potenze BC insiemecioè il total momento di tutto 'l peso Aalla potenza in C è come la linea FB alla BOcioè come la NC alla X: ma il momento dellapotenza in C al momento della potenza in G ècome la distanza GN alla NC: adunqueper laperturbatail total peso A al momento della potenza in Gè come la GN alla X. Ma la proporzione di GNad X è composta della proporzione di GN ad NCe di quella di NC ad Xcioè di FB a BO;adunque il peso A alla potenza che lo sostiene in G hala proporzione composta della GN ad NC e di quella diFB a BO: ch'è quello che si doveva dimostrare.

Ortornando al nostro primo propositointese tutte le cose sin quidichiaratenon sarà difficile l'intender la ragione ondeavvenga che un prisma o cilindro solidodi vetroacciaiolegno oaltra materia frangibileche sospeso per lungo sosterràgravissimo peso che gli sia attaccatoma in traverso (come poco fadicevamo) da minor peso assai potrà tal volta essere spezzatosecondo che la sua lunghezza eccederà la sua grossezza.

Imperòche figuriamoci il prisma solido ABCDfitto in un muro dallaparte ABe nell'altra estremità s'intenda la forza delpeso E (intendendo sempreil muro esser eretto all'orizonteed il prisma o cilindro fitto nel muro ad angoli retti): èmanifesto chedovendosi spezzaresi romperà nel luogo Bdove il taglio del muro serve per sostegnoe la BC per laparte della leva dove si pone la forza; e la grossezza del solido BAè l'altra parte della levanella quale è posta laresistenzache consiste nello staccamento che s'ha da fare dellaparte del solido BDche è fuor del muroda quella cheè dentro: e per le cose dichiarateil momento della forzaposta in C al momento della resistenzache sta nellagrossezza del prisma cioè nell'attaccamento della base BAcon la sua contiguaha la medesima proporzione che la lunghezza CBalla metà della BA; e però l'assoluta resistenzaall'esser rottoche è nel prisma BD (la quale assolutaresistenza è quella che si fa col tirarlo per dirittoperchéallora tanto è il moto del movente quanto quello del mosso)all'esser rotto con l'aiuto della leva BCha la medesimaproporzione che la lunghezza BC alla metà di ABnel prismache nel cilindro è il semidiametro della sua base.E questa sia la nostra prima proposizione. E notateche questo chedicosi debbe intendererimossa la considerazione del peso propriodel solido BDil qual solido ho preso come nulla pesante: maquando vorremo mettere in conto la sua gravitàcongiugnendolacol peso Edoviamo al peso E aggiugnere la metàdel peso del solido BD; sì che essendov. g.il pesodi BD due libbree 'l peso di E libbre diecisi devepigliare il peso E come se fusse undici.

Simp. E perché non come se fusse dodici?

Salv. Il peso ESig. Simplicio miopendente daltermine Cpremein rispetto alla leva BCcon tutto'l suo momento di libbre dieci; dove se fusse appeso il solo BDgraverebbe con tutto 'l momento di due libbre: macome vedetetalsolido è distribuito per tutta la lunghezza BCuniformementeonde le parti sue vicine all'estremità Bgravano manco delle più remote; sì che in sommaristorando quelle con questeil peso di tutto 'l prisma si riduce alavorare sotto 'l centro della sua gravitàche risponde almezzo della leva BC: ma un peso pendente dalla estremitàC ha momento doppio di quello che arebbe pendendo dal mezzo: eperò la metà del peso del prisma si deve aggiugnere alpeso Ementre ci serviamo del momento di amenduecome locatinel termine C.

Simp. Restocapacissimo; e di piùs'io non m'ingannoparmi che lapotenza di amendue i pesi BD ed Eposti cosìarebbe l'istesso momento che se tutto il peso di BD col doppiodi E fusse appeso nel mezo della leva BC.

Salv. Così è precisamentee si deve tenere amemoria. Qui possiamo immediatamente intendercome e con cheproporzione resista più una vergao vogliam dir prisma piùlargo che grossoall'esser rottofattogli forza secondo la sualarghezzache secondo la grossezza.

Per intelligenza dicheintendasi una riga adla cui larghezza sia acela grossezzaassai minorecb: si cerca perchévolendola romper per tagliocome nella prima figuraresisteràal gran peso T; ma posta per piattocome nella secondafiguranon resisterà all'Xminore del T. Ilche si fa manifestomentre intendiamoil sostegno essere una voltasotto la linea bced un'altra sotto la cae ledistanze delle forze esser nell'un caso e nell'altro egualicioèla lunghezza bd; ma nel primo caso la distanza dellaresistenza dal sostegnoche è la metà della linea caè maggiore della distanza nell'altro casola quale èla metà della bc; però la forza del peso Tconviene che sia maggiore della X quanto la metà dellalarghezza ca è maggiore della metà dellagrossezza bcservendoci quella per contralleva della cae questa della cbper superare la medesima resistenzache èla quantità delle fibre di tutta la base ab. Concludesiper tantola medesima riga o prisma più largo che grossoresister più all'esser rotto per taglio che per piattosecondo la proporzione della larghezza alla grossezza.

Convieneora che cominciamo a investigare secondo qual proporzione vadiacrescendo il momento della propria gravitàin relazione allapropria resistenza all'essere spezzato in un prisma o cilindromentrestando parallelo all'orizontesi va allungando; il qualmomento trovo andar crescendo in duplicata proporzione di quelladell'allungamento.

Perla cui dimostrazioneintendasi il prisma o cilindro AD fittosaldamente nel muro dall'estremità Ae siaequidistante all'orizonte; ed il medesimo intendasi allungato sino inEaggiugnendovi la parte BE. È manifesto chel'allungamento della leva AB sino in C cresce per sésolocioè assolutamente presoil momento della forzapremente contro alla resistenza dello staccamento e rottura da farsiin A secondo la proporzione di CA e BA: maoltre a questoil peso aggiunto del solido BE al peso delsolido AB cresce il momento della gravità prementesecondo la proporzione del prisma AE al prisma ABlaqual proporzione è la medesima della lunghezza AC allaAB: adunque è manifesto checongiunti i dueaccrescimenti delle lunghezze e delle gravitàil momentocomposto di amendue è in doppia proporzione di qualunque diesse. Concludasi per tantoi momenti delle forze de i prismi ecilindri egualmente grossima disegualmente lunghiesser tra diloro in duplicata proporzione di quella delle lor lunghezzecioèesser come i quadrati delle lunghezze.

Mostreremo adessonel secondo luogosecondo qual proporzione cresca la resistenzaall'essere spezzati ne i prismi e cilindrimentre restino dellamedesima lunghezza e si accresca la grossezza. E qui dico che:

Ne i prismi e cilindri egualmente lunghima disegualmente grossilaresistenza all'esser rotti cresce in triplicata proporzione de idiametri delle lor grossezzecioè delle lor basi.

I due cilindri sianoquesti AB; le cui lunghezze egualiDGFH;le basi disegualii cerchi i cui diametri CDEF:dicola resistenza del cilindro B alla resistenza delcilindro Aad esser rottiaver triplicata proporzione diquella che ha il diametro FE al diametro DC. Imperòchese consideriamo l'assoluta e semplice resistenza che risiedenelle basicioè ne i cerchi EFDCall'esserestrappati facendogli forza col tirargli per dirittonon èdubbio che la resistenza del cilindro B è tantomaggiore che quella del cilindro Aquanto il cerchio EFè maggiore del CDperché tante più sonole fibrei filamenti o le parti tenaciche tengono unite le partide i solidi. Ma se consideriamo che nel far forza per traverso ciserviamo di due levedelle quali le parti o distanze dove siapplicano le forze sono le linee DGFHi sostegnisono ne' punti DFma le altre parti o distanze doveson poste le resistenze sono i semidiametri de i cerchi DCEFperché i filamenti sparsi per tutte le superficiede i cerchi è come se tutti si riducessero ne i centri;considerandodicotali leveintenderemola resistenza nel centrodella base EF contro alla forza di H esser tantomaggiore della resistenza della base CD contro alla forzaposta in G (e sono le forze in G ed H di leveuguali DGFH)quanto il semidiametro FE èmaggiore del semidiametro DC. Cresce dunque la resistenzaall'esser rotto nel cilindro B sopra la resistenza delcilindro A secondo amendue le proporzioni de i cerchi EFDC e de i lor semidiametrio vogliam dir diametri: ma laproporzione de i cerchi è doppia di quella de i diametri:adunque la proporzione delle resistenzeche di quelle si componeètriplicata della proporzione de i medesimi diametri: che èquello che dovevo provare. Ma perché anco i cubi sono intripla proporzione de i loro latipossiamo similmente concludereleresistenze de i cilindri egualmente lunghi esser tra di loro come icubi de i lor diametri.

Da questo che si è dimostrato possiamo concludere ancoraleresistenze de i prismi e cilindri egualmente lunghi aver sesquialteraproporzione di quella de gli stessi cilindri. Il che èmanifesto: perché i prismi e cilindri egualmente alti hannofra di loro la medesima proporzione che le lor basicioèdoppia de i lati o diametri di esse basi; ma le resistenze (come si èdimostrato) hanno triplicata proporzione de i medesimi lati odiametri; adunque la proporzione delle resistenze èsesquialtera della proporzione de gli stessi solidied inconsequenza de i pesi de i medesimi solidi.

Simp. Egli è forza cheavanti che si proceda piùoltreio resti sincerato di certa mia difficoltà. E questa èche sin qui non ho sentito mettere in considerazione cert'altra sortedi resistenzala quale mi par che venga diminuita ne i solidisecondo che si vanno più e più allungandoe non solonell'uso trasversalema ancora per lo lungo; in quel modo appuntoche veggiamouna corda lunghissima esser molto meno atta a reggereun gran pesoche se fusse corta: onde io credo che una verga dilegno o di ferro più peso assai potrà reggere se saràcortache se sarà molto lunga; intendendo sempre usata per lolungoe non in traversoed anco messo in conto il suo proprio pesoche nella più lunga è maggiore.

Salv. DubitoSig. Simplicioche in questo punto voiconmolti altriv'inganniatese però ho ben compreso il vostroconcettosì che voi vogliate dire che una corda lungav. g.quaranta braccia non possa sostenere tanto pesoquanto se fusse unbraccio o due della medesima corda.

Simp. Cotesto ho voluto diree sin qui mi par proposizioneassai probabile.

Salv. Ma io l'ho per falsanon che per improbabile; e credodi potervi assai agevolmente cavar d'errore.

Però ponghiamo questa corda ABfermata di sopra dalcapo Ae dall'altro sia il peso Cdalla cui forzadebba essa corda essere rotta: assegnatemi voiSig. Simplicioilluogo particolare dove debba seguir la rottura.

Simp. Sia nel luogo D.

Salv. Vi domando qual sia la cagione dello strapparsi in D.

Simp. È la causa di ciòperché la cordain quella parte non era potente a reggerev. g.cento libbre dipesoquanto è la parte DB con la pietra C.

Salv. Adunquetutta volta che tal corda nella parte Dvenisse violentata dalle medesime cento libbre di pesoella li sistrapperebbe.

Simp. Così credo.

Salv. Ma ditemi ora: chi attaccasse il medesimo peso non alfine della corda Bma vicino al punto Dcome sarebbein Eo vero legasse la corda non nella altezza Amapiù vicina e sopra al punto medesimo Dcome sarebbe inFditemidicose il punto D sentirebbe il medesimopeso delle cento libbre.

Simp. Sentirebbeloaccompagnando però il pezzo dicorda EB con la pietra C.

Salv. Sedunque la corda nel punto D vien tirata dalle medesime centolibbre di pesosi romperàper la vostra concessione: e purela FE è un piccol pezzo della lunga AB; comedunque volete più dire che la corda lunga sia piùdebole della corta? Contentatevi dunque d'esser cavato d'un errorenel quale avete auto molti compagnied anco per altro moltointelligentie seguitiamo innanzi. Ed avendo dimostratoi prismi ecilindri crescere il lor momento sopra le proprie resistenze secondoi quadrati delle lunghezze loro (mantenendo però sempre lamedesima grossezza); e parimentegli egualmente lunghimadifferenti in grossezzacrescer le lor resistenze secondo laproporzione de i cubi de i lati o diametri delle lor basipassiamo ainvestigare quello che accaggia a tali solidi differenti in lunghezzae grossezza insieme. Ne i quali io osservo che:

I prismi e cilindri di diversa lunghezza e grossezza hanno le lorresistenze all'esser rotti di proporzione composta della proporzionede i cubi de' diametri delle lor basi e della proporzione delle lorlunghezze permutatamente prese.

Siano tali due cilindri ABCDEF: dicola resistenzadel cilindro AC alla resistenza del cilindro DF aver laproporzione composta della proporzione del cubo del diametro ABal cubo del diametro DE e della proporzione della lunghezza EFalla lunghezza BC. Pongasi la EG eguale alla BCe delle linee ABDE sia terza proporzionale la He quarta la Ie come la EF alla BC cosìsia la I alla S. E perché la resistenza delcilindro AC alla resistenza del cilindro DG ècome il cubo AB al cubo DEcioè come la lineaAB alla linea I; e la resistenza del cilindro DGalla resistenza del cilindro DF come la lunghezza FEalla EGcioè come la linea I alla S;adunqueper l'egual proporzione come la resistenza del cilindro ACalla resistenza del cilindro DFcosì la linea ABalla S: ma la linea AB alla S ha la proporzioncomposta della AB alla I e della I alla S:adunque la resistenza del cilindro AC alla resistenza delcilindro DF ha la proporzion composta della AB alla Icioè del cubo di AB al cubo di DEe dellaproporzione della linea I alla Scioè dellalunghezza EF alla lunghezza BC: che è quello cheintendevo di dimostrare.

Dopo la dimostrataproposizionevoglio che consideriamo quello che accaggia tra icilindri e prismi simili: de i quali dimostreremo come:

De icilindri e prismi simili i momenti composticioè risultantidalle lor gravità e dalle loro lunghezzeche sono come levehanno tra di loro proporzione sesquialtera di quella che hanno leresistenze delle medesime lor basi.

Per il che dimostraresegniamo i due cilindri simili ABCD:dicoil momento del cilindro AB per superare la resistenzadella sua base Bal momento di CD per superare laresistenza della sua Daver sesquialtera proporzione diquella che ha la medesima resistenza della base B allaresistenza della base D. E perché i momenti de i solidiABCD per superar le resistenze delle lor basi BD son composti delle lor gravità e delle forze dellelor levee la forza della leva AB è eguale alla forzadella leva CD (e questo perché la lunghezza ABal semidiametro della base B ha la medesima proporzioneperla similitudine de' cilindriche la lunghezza CD alsemidiametro della base D)resta che 'l momento totale delcilindro AB al momento totale di CD sia come la solagravità del cilindro AB alla sola gravità delcilindro CDcioè come l'istesso cilindro ABall'istesso CD; ma questi sono in triplicata proporzione de idiametri delle basi loro BD; e le resistenze dellemedesime basiessendo tra di loro come l'istesse basisonoinconsequenzain duplicata proporzione de i medesimi loro diametri:adunque i momenti de i cilindri son in sesquialtera proporzione delleresistenze delle basi loro.

Simp. Questa proposizione mi è veramente giunta nonsolamente nuovama inaspettatae nel primo aspetto assai remota dalgiudizio che io ne averei conietturalmente fatto: imperò cheessendo tali figure in tutto 'l restante similiarei tenuto perfermo che anco i momenti loro verso le proprie resistenze avesseroritenuta la medesima proporzione.

Sagr. Questa è la dimostrazione di quella proposizioneche nel principio de' nostri ragionamenti dissi parermi di scorgerper ombra.

Salv. Quello che ora accade al Sig. Simplicioavvenne peralcun tempo a mecredendo che le resistenze di solidi simili fussersimilisin che certané anco molto fissa o accurataosservazione mi pareva rappresentarmine i solidi simili nonmantenersi un tenore eguale nelle loro robustezzema i maggioriesser meno atti a patire gl'incontri violenticome rimaner piùoffesi dalle cadute gli uomini grandi che i piccoli fanciulli; ecome da principio dicevamocadendo dalla medesima altezza vedesiandare in pezzi una gran trave o una colonnama non così unpiccolo corrente o un piccol cilindro di marmo. Questa tal qualeosservazione mi destò la mente all'investigazione di quelloche ora son per dimostrarvi: proprietà veramente ammirabilepoiché tra le infinite figure solide simili tra di loropurdue non ve ne sonoi momenti delle quali verso le proprie resistenzeritenghino la medesima proporzione.

Simp. Ora mi fate sovvenire non so cheposto da Aristoteletra le sue Quistioni Mecanichementre vuol render la ragione ondeavvenga che i legniquanto più son lunghitanto piùson deboli e più si pieganoben che i più corti sienopiù sottilie i lunghi più grossi; e se io ben miricordone riduce la ragione alla semplice leva.

Salv. Èverissimo: e perché la soluzione non par che tolga interamentela ragion del dubitareMonsig. di Guevarail quale veramente con isuoi dottissimi comentarii ha altamente nobilitata e illustrataquell'operasi estende con altre più acute specolazioni persciorre tutte le difficoltàrestando però esso ancoraperplesso in questo puntose crescendosi con la medesima proporzionele lunghezze e le grossezze di tali solide figuresi deva mantenerel'istesso tenore nelle loro robustezze e resistenze nell'esser rotteed anco nel piegarsi. Iodopo un lungo pensarviho in questamateria ritrovato quello che seguentemente son per apportarvi. Eprima dimostrerò che:

De iprismi o cilindri simili graviun solo e unico è quello chesi riduce (gravato dal proprio peso) all'ultimo stato tra lospezzarsi e 'l sostenersi intero: sì che ogni maggiorecomeimpotente a resistere al proprio pesosi romperà; e ogniminore resiste a qualche forza che gli venga fatta per romperlo.

Sia il prisma grave AB ridotto alla somma lunghezza di suaconsistenzasì che allungato un minimo di più sirompesse: dicoquesto esser unico tra tutti i suoi simili (che pursono infiniti); atto ad esser ridotto in tale stato ancipite; sìche ogni maggioreoppresso dal proprio pesosi spezzeràedogni minore noanzi potrà resistere a qualche aggravio dinuova violenzaoltre a quella del proprio peso. Sia prima il prismaCEsimile e maggiore di AB: dicoquesto non poterconsisterema rompersisuperato dalla propria gravità.Pongasi la parte CD lunga quanto AB: e perché laresistenza di CD a quella di AB è come il cubodella grossezza di CD al cubo della grossezza di ABcioè come il prisma CE al prisma AB (essendosimili)adunque il peso di CE è il sommo che possaesser sostenuto nella lunghezza del prisma CD; ma la lunghezzaCE è maggiore; adunque il prisma CE si romperà.Ma sia FG minore: si dimostrerà similmente (posta FHeguale alla BA)la resistenza di FG a quella di ABesser come il prisma FG al prisma ABquando ladistanza ABcioè FHfusse eguale alla FG;ma è maggiore; adunque il momento del prisma FG postoin G non basta per romper il prisma FG.

Sagr. Chiarissima e breve dimostrazioneconcludente la veritàe necessità di una proposizione chenel primo aspettosembraassai remota dal verisimile. Bisognerebbe dunque alterare assai laproporzione tra la lunghezza e la grossezza del prisma maggioreconl'ingrossarlo o scorciarloacciò si riducesse allo statoancipite tra 'l reggersi e lo spezzarsi; e l'investigazione di talestato penso che potesse esser altrettanto ingegnosa.

Salv. Anzipiù presto d'avvantaggiocome anco più laboriosa; edio lo soche vi spesi non piccol tempo per ritrovarlaed ora voglioparticiparvela.

Datodunque un cilindro o prisma di massima lunghezza da non esser dal suoproprio peso spezzatoe data una lunghezza maggioretrovar lagrossezza d'un altro cilindro o prisma che sotto la data lunghezzasia l'unico e massimo resistente al proprio peso.

Sia il cilindro BC massimo resistente al proprio pesoe siala DE lunghezza maggiore della AC: bisogna trovare lagrossezza del cilindro che sotto la lunghezza DE sia ilmassimo resistente al proprio peso. Sia delle lunghezze DEACterza proporzionale Ie come DE ad Icosìsia il diametro FD al diametro BAe facciasi ilcilindro FE; dicoquesto esser il massimo ed unicotra tuttii suoi similiresistente al proprio peso. Delle linee DEIsia terza proporzionale Me quarta Oe pongasi FGeguale alla AC: e perché il diametro FD aldiametro AB è come la linea DE alla Iedelle DEI la O è quarta proporzionaleil cubo di FD al cubo di BA sarà come la DEalla O; ma come il cubo di FD al cubo di BAcosì è la resistenza del cilindro DG allaresistenza del cilindro BC; adunque la resistenza del cilindroDG a quella del cilindro BC è come la linea DEalla O. E perché il momento del cilindro BC èeguale alla sua resistenzase si mostreràil momento delcilindro FE al momento del cilindro BC esser come laresistenza DF alla resistenza BAcioè come ilcubo di FD al cubo di BAcioè come la linea DEalla Oaremo l'intentocioè il momento del cilindroFE esser eguale alla resistenza posta in FD. Il momentodel cilindro FE al momento del cilindro DG ècome il quadrato della DE al quadrato della ACcioècome la linea DE alla I; ma il momento del cilindro DGal momento del cilindro BC è come il quadrato DFal quadrato BAcioè come il quadrato di DE alquadrato della Icioè come il quadrato della Ial quadrato della Mcioè come la I alla O;adunqueper l'egual proporzionecome il momento del cilindro FEal momento del cilindro BCcosì è la linea DEalla Ocioè il cubo DF al cubo BAcioèla resistenza della base DF alla resistenza della base BA:che è quello che si cercava.

Sagr. QuestaSig. Salviatiè una lunga dimostrazionee molto difficile a ritenersi a memoria per sentirla una sola volta;onde io vorrei che V. S. si contentasse di replicarla di nuovo.

Salv. Farò quanto V. S. comanda; ma forse sarebbemeglio arrecarne una più speditiva e breve: ma converràfare una figura alquanto diversa.

Sagr. Maggiore sarà il favore; e la giàdichiarata mi farà grazia darmela scrittaacciò a miobell'agio possa ristudiarla.

Salv. Non mancherò di servirla.

Ora intendiamo un cilindro Ail diametro della cui base sia lalinea DCe sia questo A il massimo che possasostenersi; del quale vogliamo trovare un maggioreche pur sia ilmassimo esso ancora ed unico che si sostenga. Intendiamone un similead esso A e lungo quanto la linea assegnatae questo siav.g.Eil diametro della cui base sia la KLe delledue linee DCKL sia terza proporzionale la MNche sia diametro della base del cilindro Xdi lunghezzaeguale all'E: dicoquesto X esser quello checerchiamo. E perché la resistenza DC alla resistenza KLè come il quadrato DC al quadrato KLcioècome il quadrato KL al quadrato MNcioè come ilcilindro E al cilindro Xcioè come il momento Eal momento X; ma la resistenza KL alla MN ècome il cubo di KL al cubo di MNcioè come ilcubo DC al cubo KLcioè come il cilindro Aal cilindro Ecioè come il momento A al momentoE; adunqueper l'analogia perturbatacome la resistenza DCalla MNcosì il momento A al momento X:adunque il prisma X è nella medesima costituzione dimomento e resistenza che il prisma A.

Ma voglio che facciamo il problema più generale; e laproposizione sia questa:

Dato il cilindro ACqualunque si sia il suo momento verso lasua resistenzae data qual si sia lunghezza DEtrovar lagrossezza del cilindrola cui lunghezza sia DEe 'l suomomento verso la sua resistenza ritenga la medesima proporzione cheil momento del cilindro AC alla sua.

Ripresa l'istessa figura di sopra e quasi l'istesso progressodiremo: perché il momento del cilindro FE al momentodella parte DG ha la medesima proporzione che il quadrato EDal quadrato FGcioè che la linea DE alla I;ed il momento del cilindro FG al momento del cilindro ACè come il quadrato FD al quadrato ABcioècome il quadrato DE al quadrato Icioè come ilquadrato I al quadrato Mcioè come la linea Ialla O; adunque ex æqualiil momento delcilindro FE al momento del cilindro AC ha la medesimaproporzione della linea DE alla Ocioè del cuboDE al cubo Icioè del cubo di FD al cubodi ABcioè della resistenza della base FD allaresistenza della base AB: ch'è quello che si dovevafare.

Or vegghino come dalle cose sin qui dimostrate apertamente siraccoglie l'impossibilità del poter non solamente l'artemala natura stessacrescer le sue macchine a vastità immensa:sì che impossibil sarebbe fabbricar naviliipalazzi o templivastissimili cui remiantennetravamenticatene di ferroed insomma le altre lor particonsistessero; come anco non potrebbe lanatura far alberi di smisurata grandezzapoiché i rami lorogravati dal proprio pesofinalmente si fiaccherebbero; e parimentesarebbe impossibile far strutture di ossa per uominicavalli o altrianimaliche potessero sussistere e far proporzionatamente gliuffizii loromentre tali animali si dovesser agumentare ad altezzeimmensese già non si togliesse materia molto più durae resistente della consuetao non si deformassero tali ossisproporzionatamente ingrossandoglionde poi la figura ed aspettodell'animale ne riuscisse mostruosamente grosso: il che forse fuavvertito dal mio accortissimo Poetamentre descrivendo ungrandissimo gigante disse:


Non si può compatir quanto sia lungo

Sì smisuratamente è tutto grosso.


E per un breve esempio di questo che dicodisegnai già lafigura di un osso allungato solamente tre volteed ingrossato contal proporzioneche potesse nel suo animale grande far l'uffizioproporzionato a quel dell'osso minore nell'animal più piccoloe le figure son queste:

dovevedete sproporzionata figura che diviene quella dell'osso ingrandito.Dal che è manifestoche chi volesse mantener in un vastissimogigante le proporzioni che hanno le membra in un uomo ordinariobisognerebbe o trovar materia molto più dura e resistenteperformarne l'ossao vero ammettere che la robustezza sua fusse aproporzione assai più fiacca che ne gli uomini di staturamediocre; altrimentecrescendogli a smisurata altezzasi vedrebbonodal proprio peso opprimere e cadere. Dove cheall'incontrosi vedenel diminuire i corpi non si diminuir con la medesima proporzione leforzeanzi ne i minimi crescer la gagliardia con proporzionmaggiore: onde io credo che un piccolo cane porterebbe addosso due otre cani eguali a séma non penso già che un cavalloportasse né anco un solo cavalloa se stesso eguale.

Simp. Ma se così ègrand'occasione mi danno didubitare le moli immense che vediamo ne i pesci; ché talbalenaper quanto intendosarà grande per dieci elefanti; epur si sostengono.

Salv. Il vostro dubbioSig. Simpliciomi fa accorgere d'unacondizione da me non avvertita primapotente essa ancora a far chegiganti ed altri animali vastissimi potessero consistere e agitarsinon meno che i minori: e ciò seguirebbe quando non solo siaggiugnesse gagliardia all'ossa ed all'altre partioffizio dellequali è il sostener il proprio e 'l sopravegnente peso; malasciata la struttura delle ossa con le medesime proporzionipurnell'istesso modoanzi più agevolmenteconsisterebbono lemedesime fabbriche quando con tal proporzione si diminuisse lagravità della materia delle medesime ossae quella dellacarne o di altro che sopra l'ossa si abbia ad appoggiare. E di questosecondo artifizio si è prevalsa la natura nella fabbrica de ipescifacendogli le ossa e le polpe non solamente assai leggieremasenza veruna gravità.

Simp. Veggo beneSig. Salviatidove tende il vostrodiscorso: voi volete direche per esser l'abitazione de i pescil'elemento dell'acquala quale per la sua corpulenzaocome altrivoglionoper la sua gravitàscema il peso a i corpi che inquella si demergonoper tal ragione la materia de i pescinonpesandopuò senza aggravio dell'ossa loro esser sostenuta. Maquesto non basta; perché quando bene il resto della sustanzadel pesce non gravitigrava però senza dubbio la materiadell'ossa loro. E chi dirà che una costola di balenagrandequanto una travenon pesi assaissimoe nell'acqua non vadia alfondo? Queste dunque non deveriano poter sussistere in sìvasta mole.

Salv. Voi acutamente opponete: e per risposta al vostrodubbioditemi se avete osservato stare i pesciquando piace lorosott'acqua immobilie non descendere verso 'l fondo o sollevarsialla superficie senza far qualche forza col nuoto?

Simp. Questa è chiarissima osservazione.

Salv. Questodunquepotersi i pesci fermare come immobili amezz'acqua è concludentissimo argomentoil composto della lormole corporea agguagliar la gravità in spezie dell'acqua; sìche se in esso si trovano alcune parti più gravi dell'acquanecessariamente bisogna che ve ne siano altre altrettanto men graviacciò si possa pareggiar l'equilibrio. Se dunque le ossa sonpiù graviè necessario che le polpeo altre materieche vi sianosien più leggieree queste si opporranno con lalor leggerezza al peso dell'ossa: talché ne gli acquaticiavverrà l'opposito di quel che accade ne gli animaliterrestricioè che in questi tocchi all'ossa a sostenere ilpeso proprio e quel della carnee in quelli la carne regga lagravezza propria e quella dell'ossa. E però deve cessar lamaravigliacome nell'acqua possano essere animali vastissimima nonsopra la terracioè nell'aria.

Simp. Resto appagato; e di più noto che questiche noiaddimandiamo animali terrestripiù ragionevolmente sidevrebbero dimandar aereiperché nell'aria veramente vivonoe dall'aria son circondati e dell'aria respirano.

Sagr. Piacemi il discorso del Sig. Simpliciocol suo dubbio econ la soluzione: e di più comprendo assai facilmente che unodi questi smisurati pescitirato in terraforse non si potrebbe perlungo tempo sostenerema cherelassate le attaccature dell'ossalasua mole si ammaccherebbe.

Salv. Io per ora inclino a creder l'istesso; né sonlontano a credere che 'l medesimo avverrebbe a quel vastissimonavilio il qualegalleggiando in marenon si dissolve per il peso ecarico di tante merci ed armamentiche in secco e circondatodall'aria forse si aprirebbe. Ma seguitiamo la nostra materiaedimostriamo come:

Dato un prisma o cilindro col suo pesoed il peso massimo sostenutoda essosi possa trovare la massima lunghezzaoltre alla qualeprolungatodal solo suo proprio peso si romperebbe.

Siadato il prisma AC col suo proprio pesoe dato parimente ilpeso Dmassimo da poter esser sostenuto dall'estremitàC: bisogna trovare la lunghezza massima sino alla quale sipossa allungare il detto prisma senza rompersi. Facciasicome ilpeso del prisma AC al composto de i pesi AC col doppiodel peso di Dcosì la lunghezza CA alla AHtra le quali sia media proporzionale la AG: dicoAGesser la lunghezza cercata. Imperò che il momento gravante delpeso D in C è eguale al momento del peso doppiodi D che fusse posto nel mezo di ACdove è ancoil centro del momento del prisma AC; il momento dunque dellaresistenza del prisma ACche sta in Aequivale algravante del doppio del peso D col peso ACattaccatiperò nel mezo di AC. E perché viene ad essersifattocome 'l momento di detti pesi così situaticioèdel doppio D con ACal momento di ACcosìla HA alla ACtra le quali è media la AGadunque il momento del doppio D col momento AC almomento AC è come il quadrato GA al quadrato AC:ma il momento premente del prisma GA al momento di AC ècome il quadrato GA al quadrato AC: adunque lalunghezza AG è la massima che si cercavacioèquella sino alla quale allungandosi il prisma AC sisosterrebbema più oltre si spezzerebbe.

Sin qui si son considerati i momenti e le resistenze de i prismi ecilindri solidil'una estremità de i quali sia postaimmobilee solo nell'altra sia applicata la forza di un pesoprementeconsiderandolo esso soloo ver congiunto con la gravitàdel medesimo solidoo veramente la sola gravità dell'istessosolido: ora voglio che discorriamo alquanto de i medesimi prismi ecilindri quando fussero sostenuti da amendue l'estremitàovero che sopra un sol puntopreso tra le estremitàfusserposati. E prima dicoche il cilindro che gravato dal proprio pesosarà ridotto alla massima lunghezzaoltre alla quale piùnon si sosterrebbeo sia retto nel mezo da un solo sostegno o veroda due nelle estremitàpotrà esser lungo il doppio diquello che sarebbefitto nel murocioè sostenuto in un soltermine.

Ilche per se stesso è assai manifesto perché seintenderemodel cilindro che io segno ABCla sua metàAB esser la somma lunghezza potente a sostenersi stando fissanel termine Bnell'istesso modo si sosterrà seposatasopra 'l sostegno Gsarà contrappesata dall'altra suametà BC. E similmentese del cilindro DEF lalunghezza sarà taleche solamente la sua metà potessesostenersi fissa nel termine Ded in consequenza l'altra EFfissa nel termine Fè manifesto che posti i sostegniHI sotto l'estremità DFognimomento che si aggiunga di forza o di peso in Equivi si faràla rottura.

Quello che ricerca più sottile specolazione è quandoastraendo dalla gravità di tali solidici fusse proposto didovere investigare se quella forza o peso cheapplicato al mezo d'uncilindro sostenuto nelle estremitàbasterebbe a romperlopotrebbe far l'istesso effetto applicato in qualsivoglia altro luogopiù vicino all'una che all'altra estremità: comeperesempiose volendo noi rompere una mazzapresola con le maninell'estremità ed appuntato il ginocchio in mezol'istessaforza che basterebbe usare per romperla in tal modobasterebbeancora quando il ginocchio si puntasse non nel mezzoma piùvicino all'un de gli estremi.

Sagr. Parmi che 'l problema sia toccato da Aristotele nellesue Questioni Mecaniche.

Salv. Il quesito d'Aristotele non è precisamentel'istessoperché ei non cerca altrose non di render laragione perché manco fatica si ricerchi a romperlo tenendo lemani nell'estremità del legnocioè remote assai dalginocchioche se le tenessimo vicine: e ne rende una ragionegeneraleriducendo la causa alle leve più lunghequandos'allargano le braccia afferrando l'estremità. Il nostroquesito aggiugne qualche cosa di piùricercando seposto ilginocchio nel mezo o in altro luogotenendo pur le mani semprenell'estremitàla medesima forza serva in tutti i siti.

Sagr. Nella prima apprensione parrebbe di sìattesoche le due leve mantengono in certo modo il medesimo momentomentrechequanto si scorcia l'unatanto s'allunga l'altra.

Salv. Or vedete quanto sono in pronto l'equivocazionie conquanta cautela e circospezione convien andare per non v'incorrere.Cotesto che voi ditee che veramente nel primo aspetto ha tanto delverisimilein ristretto poi è tanto falsoche quando ilginocchioche è il fulcimento delle due levesia posto o nonposto nel mezofa tal diversitàche di quella forza chebasterebbe per far la frazzione nel mezodovendola fare in qualchealtro luogotal volta non basterà l'applicarvene quattrovolte tantoné dieciné centoné mille.Faremo sopra ciò una tal quale considerazion generalee poiverremo alla specifica determinazione della proporzione secondo laquale si vanno variando le forze per far la frazzione più inun punto che in un altro.

Segniamo prima questo legno ABda rompersi nel mezo sopra 'lsostegno Ced appresso segniamo l'istessoma sotto caratteriDEda rompersi sopra 'l sostegno Fremoto dal mezo.Primaè manifesto che sendo le distanze ACCBegualila forza sarà compartita egualmente nelle estremitàBA. Secondopoi che la distanza DF diminuiscedalla distanza ACil momento della forza posta in Dsciema dal momento in Acioè posto nella distanza CAe sciema secondo la proporzione della linea DF alla ACed in consequenza bisogna crescerlo per pareggiare o superar laresistenza di F: ma la distanza DF si puòdiminuire in infinito in relazione alla distanza AC: adunquebisogna poter crescere in infinito la forza da applicarsi in Dper pareggiar la resistenza in F. Ma all'incontrosecondo checresce la distanza FE sopra la CBconvien diminuire laforza in E per pareggiare la resistenza in F: ma ladistanza FE in relazione alla CB non si puòcrescere in infinito col ritirar il sostegno F verso iltermine Danzi né anco il doppio: adunque la forza inE per pareggiare la resistenza in F sarà semprepiù che la metà della forza in B. Comprendesidunque la necessità del doversi agumentare i momenti delcongiunto delle forze in ED infinitamente perpareggiare o superar la resistenza posta in Fsecondo che ilsostegno F s'andrà approssimando verso l'estremitàD.

Sagr. Che diremoSig. Simplicio? non convien egli confessarela virtù della geometria esser il più potente strumentod'ogni altro per acuir l'ingegno e disporlo al perfettamentediscorrere e specolare? e che con gran ragione voleva Platone i suoiscolari prima ben fondati nelle matematiche? Io benissimo avevocompreso la facultà della levae come crescendo o sciemandola sua lunghezzacresceva o calava il momento della forza e dellaresistenza; con tutto ciò nella determinazione del presenteproblema m'ingannavoe non di pocoma d'infinito.

Simp. Veramente comincio a comprendere che la logicabenchéstrumento prestantissimo per regolare il nostro discorsonon arrivaquanto al destar la mente all'invenzioneall'acutezza dellageometria.

Sagr. A me pare che la logica insegni a conoscere se idiscorsi e le dimostrazioni già fatte e trovate procedanoconcludentemente; ma che ella insegni a trovare i discorsi e ledimostrazioni concludenticiò veramente non credo io. Ma saràmeglio che il Sig. Salviati ci mostri secondo qual proporzione vadiancrescendo i momenti delle forze per superar la resistenza delmedesimo legno secondo i luoghi diversi della rottura.

Salv. La proporzioneche ricercateprocede in cotal formache:

Se nella lunghezza d'un cilindro si noteranno due luoghi sopra iquali si voglia far la frazzione di esso cilindrole resistenze didetti due luoghi hanno fra di loro la medesima proporzione che irettangoli fatti dalle distanze di essi luoghi contrariamente presi.

Siano le forze AB minime per rompere in Cele EF parimente le minime per rompere in D:dicole forze AB alle forze EF averla proporzion medesima che ha il rettangolo ADB al rettangoloACB. Imperò che le forze AB alle forzeEF hanno la proporzion composta delle forze AB alla forza Bdella B alla Fe della Falle FE: ma come le forze AB allaforza Bcosì sta la lunghezza BA ad AC;e come la forza B alla Fcosì sta la linea DBalla BC; e come la forza F alle FEcosì sta la linea DA alla AB: adunque le forzeAB alle forze EF hanno la proporzioncomposta delle trecioè della retta BA ad ACdella DB a BCe della DA ad AB. Ma delledue DA ad ABed AB ad ACsi compone laproporzione della DA ad AC; adunque le forze AB alle forze EF hanno la proporzion compostadi questa DA ad AC e dell'altra DB a BC.Ma il rettangolo ADB al rettangolo ACB ha la proporzioncomposta delle medesime DA ad AC e DB a BC:adunque le forze AB alle EF stannocome il rettangolo ADB al rettangolo ACB: che èquanto a direla resistenza in C ad essere spezzato allaresistenza ad esser rotto in D aver la medesima proporzioneche il rettangolo ADB al rettandolo ACB: che èquello che si doveva provare.

In consequenza di questo teorema possiamo risolvere un problema assaicurioso; ed è:

Dato il peso massimo retto dal mezo di un cilindro o prismadove laresistenza è minimae dato un peso maggior di quellotrovarenel detto cilindro il punto nel quale il dato peso maggiore sia rettocome peso massimo.

Abbia il dato pesomaggiore del peso massimo retto dal mezo delcilindro ABad esso massimo la proporzione della linea Ealla F: bisogna trovare il punto nel cilindro dal quale ildato peso venga sostenuto come massimo. Tra le due EFsia media proporzionale la Ge come la E alla Gcosì si faccia la AD alla S: sarà la Sminore della AD. Sia AD diametro del mezo cerchio AHDnel quale pongasi la AH eguale alla Se congiungasiHDe ad essa si tagli eguale la DR: dicoil punto Ressere il cercatodal quale il dato pesomaggiore del massimo rettodal mezo del cilindro Dverrebbe come massimo retto. Sopra lalunghezza BA facciasi il mezo cerchio ANBe si alzi laperpendicolare RNe congiungasi ND: e perché idue quadrati NRRD sono eguali al quadrato NDcioè al quadrato ADcioè alli due AHHDe l'HD è eguale al quadrato DRadunque il quadrato NRcioè il rettangolo ARBsarà eguale al quadrato AHcioè al quadrato S;ma il quadrato S al quadrato AD è come la Falla Ecioè come il peso massimo retto in D aldato peso maggiore; adunque questo maggiore sarà retto in Rcome il massimo che vi possa esser sostenuto: che è quello chesi cercava.

Sagr. Intendo benissimo: e vo considerando cheessendo ilprisma AB sempre più gagliardo e resistente allapressione nelle parti che più e più si allontanano dalmezonelle travi grandissime e gravi se ne potrebbe levar nonpiccola parte verso l'estremitàcon notabile alleggerimentodi pesoche ne i travamenti di grandi stanze sarebbe di commodo edutile non piccolo. E bella cosa sarebbe il ritrovar quale figuradevrebbe aver quel tal solido che in tutte le sue parti fusseegualmente resistentetal che non più facile fusse ad esserrotto da un peso che lo premesse nel mezoche in qualsivoglia altroluogo.

Salv.Già ero in procinto di dirvi cosa assai notabile e vaga inquesto proposito. Fo un poco di figura per meglio dichiararmi.

Questo DB è un prismala cui resistenza ad essere spezzatonell'estremità AD da una forza premente nel termine Bè tanto minore della resistenza che si troverebbe nel luogoCIquanto la lunghezza CB è minore della BAcome già si è dimostrato. Intendasi adesso il medesimoprisma segato diagonalmente secondo la linea FBsì chele faccie opposte siano due triangoliuno de i qualiverso noièquesto FAB: ottiene tal solido contraria natura del prismacioè che meno resiste all'essere spezzato sopra 'l termine Cche sopra l'A dalla forza posta in Bquanto lalunghezza CB è minore della BA. Il chefacilmente proveremo: perché intendendo il taglio CNOparallelo all'altro AFDla linea FA alla CN neltriangolo FAB arà la medesima proporzione che la lineaAB alla BC; e però se noi intenderemone ipunti AC esser i sostegni di due levele cuidistanze BAAFBCCNqueste sarannosimili; e però quel momento che ha la forza posta in Bcon la distanza BA sopra la resistenza posta nella distanzaAFl'arà la medesima forza in B con la distanzaBC sopra la medesima resistenza che fusse posta nella distanzaCN: ma la resistenza da superarsi nel sostegno Cpostanella distanza CNdalla forza in Bè minoredella resistenza in A tantoquanto il rettangolo CO èminore del rettangolo ADcioè quanto la linea CNè minore della AFcioè la CB della BA:adunque la resistenza della parte OCB ad esser rotto in Cè tanto minore della resistenza dell'intero DAB adesser rotto in Aquanto la lunghezza CB èminore della AB. Aviamo dunque nel trave o prisma DBlevatone una partecioè la metàsegandolodiagonalmentee lasciato il cuneo o prisma triangolare FBA; esono due solidi di condizioni contrariecioè quello tanto piùresiste quanto più si scorciae questo nello scorciarsi perdealtrettanto di robustezza. Orastante questopar ben ragionevoleanzi pur necessarioche se gli possa dare un taglioper il qualetogliendo via il superfluorimanga un solido di figura taleche intutte le sue parti sia egualmente resistente.

Simp. È ben necessario che dove si passa dal maggioreal minores'incontri ancora l'eguale.

Sagr. Ma il punto sta ora a trovar come si ha guidar la segaper far questo taglio.

Simp. Questo mi si rappresenta che dovrebbe esser opera assaifacile; perchése col segar il prisma diagonalmentelevandone la metàla figura che resta ritien contraria naturaa quella del prisma interosì che in tutti i luoghi ne iquali questo acquistava robustezzaquello altrettanto la perdevaparmi che tenendo la via del mezocioè levando solamente lametà di quella metàche è la quarta parte deltuttola rimanente figura non guadagnerà né perderàrobustezza in tutti quei medesimi luoghi ne i quali la perdita e ilguadagno dell'altre due figure erano sempre eguali.

Salv. VoiSig. Simplicionon avete dato nel segno: e sìcome io vi mostreròvedrete veramente che quello che si puòsegar del prisma e levar via senza indebolirlonon è la suaquarta partema la terza. Ora resta (che è quello cheaccennava il Sig. Sagredo) il ritrovar secondo che linea si deve farcamminar la sega: la quale proverò che deve esser lineaparabolica. Ma prima è necessario dimostrare certo lemmacheè tale:

Se saranno due libre o levedivise da i loro sostegni in modochele due distanze dove si hanno a costituire le potenzeabbiano tra diloro doppia proporzione delle distanze dove saranno le resistenzelequali resistenze siano tra loro come le lor distanzele potenzesostenenti saranno eguali.

Siano due leve ABCDdivise sopra i lor sostegni EF talmenteche la distanza EB alla FD abbiadoppia proporzione di quella che ha la distanza EA alla FC;ed intendansi in AC resistenze tra di loro nellaproporzione di EAFC: dicole potenze che in BD sosterranno le resistenze di AC esser traloro eguali. Pongasi la EG media proporzionale tra EB eFD: sarà dunque come BE ed EGcosìGE ad FD ed AE a CF; e così si èposto esser la resistenza di A alla resistenza di C. Eperché come EG ad FDcosì AE aCFsaràpermutandocome GE ad EA cosìDF ad FC; e però (per esser le due leve DCGA divise proporzionalmente ne i punti FE)quando la potenza che posta in D pareggia la resistenza di Cfusse in Gpareggerebbe la medesima resistenza di Cposta in A: maper il datola resistenza di C ha lamedesima proporzione che la AE alla CFcioè chela BE alla EG: adunque la potenza Go vogliamdire Dposta in Bsosterrà la resistenza postain A: che è quello che si doveva provare.

Inteso questonella faccia FB del prisma DB siasegnata la linea parabolica FNBil cui vertice Bsecondo la quale sia segato esso prismarestando il solido compresodalla base ADdal piano rettangolo AGdalla linearetta BG e dalla superficie DGBFincurvata secondo lacurvità della linea parabolica FNB: dicotal solidoesser per tutto egualmente resistente. Sia segato dal piano COparallelo all'ADe intendansi due leve divise e posate soprai sostegni ACe siano dell'una le distanze BAAFe dell'altra le BCCN. E perchénella parabola FBA la AB alla BC sta come ilquadrato della FA al quadrato di CNèmanifestola distanza BA dell'una leva alla distanza BCdell'altra aver doppia proporzione di quella che ha l'altra distanzaAF all'altra CN: e perché la resistenza dapareggiarsi con la leva BA alla resistenza da pareggiarsi conla leva BC ha la medesima proporzione che 'l rettangolo DAal rettangolo OCla quale è la medesima che ha lalinea AF alla NCche sono l'altre due distanze delleleveè manifestoper il lemma passatoche la medesima forzache sendo applicata alla linea BG pareggerà laresistenza DApareggerà ancora la resistenza CO.Ed il medesimo si dimostrerà segandosi il solido in qual sisia altro luogo: adunque tal solido parabolico è per tuttoegualmente resistente. Che poisegandosi il prisma secondo la lineaparabolica FNBse ne levi la terza partesi fa manifesto:perché la semiparabola FNBA e 'l rettangolo FBson basi di due solidi compresi tra due piani parallelicioètra i rettangoli FBDGper lo che ritengono tra diloro la medesima proporzione che esse lor basi; ma il rettangolo FBè sesquialtero della semiparabola FNBA; adunquesegando il prisma secondo la linea parabolicase ne leva la terzaparte. Di qui si vede come con diminuzion di peso di più ditrentatré per cento si posson far i travamentisenza diminuirpunto la loro gagliardia; il che ne i navilii grandiin particolareper regger le covertepuò esser d'utile non piccoloattesoche in cotali fabbriche la leggerezza importa infinitamente.

Sagr. Le utilità son tanteche lungo o impossibilsarebbe il registrarle tutte: ma iolasciate queste da bandaareipiù gusto d'intender che l'alleggerimento si faccia secondo leproporzioni assegnate. Che il taglio secondo la diagonale levi lametà del pesol'intendo benissimo; ma che l'altrosecondo laparabolicaporti via la terza parte del prismaposso crederlo alSig. Salviatisempre veridicoma in ciò più dellafede mi sarebbe grata la scienza.

Salv. Vorreste dunque aver la dimostrazionecome sia vero chel'eccesso del prisma sopra questo che per ora chiamiamo solidoparabolicosia la terza parte di tutto il prisma. So d'averlo altravolta dimostrato; tenterò ora se potrò rimetter insiemela dimostrazioneper la quale intanto mi sovvien che mi servivo dicerto lemma d'Archimedeposto da esso nel libro delle Spirali: ed èche se quante linee si vogliono si eccederanno egualmenteel'eccesso sia eguale alla minima di quelleed altrettante sianociascheduna eguale alla massimai quadrati di tutte queste sarannomeno che tripli de i quadrati di quelle che si eccedono; ma imedesimi saranno ben più che tripli di quelli altri cherestanotrattone il quadrato della massima.

Postoquestosia in questo rettangolo ACBP inscritta la lineaparabolica AB: doviamo provareil triangolo misto BAPi cui lati sono BPPA e base la linea parabolica BAesser la terza parte di tutto 'l rettangolo CP. Imperòchese non è talesarà o più che la terzaparte o meno. Siase esser puòmenoed a quello che glimanca intendasi esser eguale lo spazio X. Dividendo poi ilrettangolo CP continuamente in parti eguali con lineeparallele a i lati BPCA arriveremo finalmente a partitalich'una di loro sarà minore dello spazio X: or siauna di quelle il rettangolo OBe per i punti dove l'altreparallele segano la linea parabolicafacciansi passare le parallelealla AP; e qui intenderò circoscritta intorno al nostrotriangolo misto una figura composta di rettangoliche sono BOINHMFLEKGAla qual figurasarà pur ancora meno che la terza parte del rettangolo CPessendo che l'eccesso di essa figura sopra 'l triangolo misto èmanco assai del rettangolo BOil quale è ancor minoredello spazio X.

Sagr. Pianodi graziach'io non vedo come l'eccesso diquesta figura circoscritta sopra 'l triangolo misto sia manco assaidel rettangolo BO.

Salv.Il rettangolo BO non è egli eguale a tutti questirettangoletti per i quali passa la nostra linea parabolica? dico diquesti BIIHHFFEEGGAde i quali una parte sola resta fuori del triangolo misto? ed ilrettangolo BO non si è egli posto ancor minore nellospazio X? Adunquese il triangolo insieme con l'Xpareggiavaper l'avversariola terza parte del rettangolo CPla figura circoscrittache al triangolo aggiugne tanto meno che lospazio Xresterà pur ancora minore della terza partedel rettangolo medesimo CP: ma questo non può essereperché ella è più della terza parte: adunque nonè vero che il nostro triangolo misto sia manco del terzo delrettangolo.

Sagr. Ho intesa la soluzione del mio dubbio. Ma bisogna oraprovarci che la figura circoscritta sia più della terza partedel rettangolo CPdove credo che aremo assai più dafare.

Salv. Eh non ci è gran difficoltà. Imperòche nella parabola il quadrato della linea DE al quadratodella ZG ha la medesima proporzione che la linea DAalla AZche è quella che ha il rettangolo KE alrettangolo AG (per esser l'altezze AKKLeguali); adunque la proporzione che ha il quadrato ED alquadrato ZGcioè il quadrato LA al quadrato AKl'ha ancora il rettangolo KE al rettangolo KZ. E nelmedesimo modo appunto si proverà de gli altri rettangoli LFMHNIOB star tra di loro come i quadratidelle linee MANAOAPA. Consideriamoadesso come la figura circoscritta è composta di alcuni spaziiche tra di loro stanno come i quadrati di linee che si eccedono coneccessi eguali alla minimae come il rettangolo CP ècomposto di altrettanti spazii ciascuno eguale al massimoche sonotutti i rettangoli eguali all'OB; adunqueper il lemmad'Archimedela figura circoscritta è più della terzaparte del rettangolo CP: ma era anche minoreil che èimpossibile: adunque il triangolo misto non è manco del terzodel rettangolo CP. Dico parimente che non è più.Imperò chese è più del terzo del rettangoloCPintendasi lo spazio X eguale all'eccesso deltriangolo sopra la terza parte di esso rettangolo CP; e fattala divisione e suddivisione del rettangolo in rettangoli sempreegualisi arriverà a tale che uno di quelli sia minore dellospazio X. Sia fattae sia il rettangolo BO minoredell'X; e descritta come sopra la figuraavremo nel triangolomisto inscritta una figura composta de i rettangoli VOTNSMRLQKla quale non sarà ancoraminore della terza parte del gran rettangolo CP. Imperòche il triangolo misto supera di manco assai la figura inscritta diquello che egli superi la terza parte di esso rettangolo CPatteso che l'eccesso del triangolo sopra la terza parte delrettangolo CP è eguale allo spazio Xil quale èminore del rettangolo BOe questo è anco minore assaidell'eccesso del triangolo sopra la figura inscrittagli; imperòche ad esso rettangolo BO sono eguali tutti i rettangolettiAGGEEFFHHIIBdei quali son ancora manco che la metà gli avanzi del triangolosopra la figura inscritta. E peròavanzando il triangolo laterza parte del rettangolo CP di più assai (avanzandolodello spazio X) che ei non avanza la sua figura inscrittasarà tal figura ancora maggiore della terza parte delrettangolo CP: ma ella è minoreper il lemma supposto;imperò che il rettangolo CPcome aggregato di tutti irettangoli massimia i rettangoli componenti la figura inscritta hala medesima proporzione che l'aggregato di tutti i quadrati dellelinee eguali alla massima a i quadrati delle linee che si eccedonoegualmentetrattone il quadrato della massima; e però (comede i quadrati accade) tutto l'aggregato de i massimi (che è ilrettangolo CP) è più che triplo dell'aggregatode gli eccedentisitrattone il massimoche compongono la figurainscritta. Adunque il triangolo misto non è né maggiorené minore della terza parte del rettangolo CP; èdunque eguale.

Sagr. Bella e ingegnosa dimostrazionee tanto piùquanto ella ci dà la quadratura della parabolamostrandolaessere sesquiterza del triangolo inscrittogliprovando quello cheArchimede con due tra di loro diversissimima amendue ammirabiliprogressi di molte proposizioni dimostrò; come anco fudimostrata ultimamente da Luca Valerioaltro Archimede secondodell'età nostrala qual dimostrazione è registrata nellibro che egli scrisse del centro della gravità de i solidi.

Salv. Libro veramente da non esser posposto a qual si siascritto da i più famosi geometri del presente e di tutti isecoli passati; il quale quando fu veduto dall'Accademico nostrolofece desistere dal proseguire i suoi trovatiche egli andavacontinuando di scrivere sopra 'l medesimo suggettogià chevedde il tutto tanto felicemente ritrovato e dimostrato dal dettoSig. Valerio.

Sagr. Io ero informato di tutto questo accidente dall'istessoAccademico: e l'avevo anco ricercato che mi lasciasse una voltavedere le sue dimostrazioni sin allora ritrovate quando ei s'incontrònel libro del Sig. Valerioma non mi successe poi il vederle.

Salv. Io ne ho copiae le mostrerò a V. S.che averàgusto di vedere la diversità de i metodi con i quali camminanoquesti due autori per l'investigazione delle medesime conclusioni eloro dimostrazioni; dove anco alcune delle conclusioni hannodifferente esplicazionebenché in effetto egualmente vere.

Sagr. Mi sarà molto caro il vederlee V. S.quandoritorni a i soliti congressimi farà grazia di portarle seco.Ma intantoessendo questadella resistenza del solido cavato dalprisma col taglio parabolicooperazione non men bella che utile inmolte opere mecanichebuona cosa sarebbe per gli artefici l'averqualche regola facile e spedita per potere sopra 'l piano del prismasegnare essa linea parabolica.

Salv. Modi di disegnar tali linee ce ne son moltima duesopra tutti gli altri speditissimi glie ne dirò io: uno de iquali è veramente maravigliosopoiché con essoinmanco tempo che col compasso altri disegnerà sottilmente soprauna carta quattro o sei cerchi di differenti grandezzeio possodisegnare trenta e quaranta linee parabolichenon men giuste sottilie pulite delle circonferenze di essi cerchi. Io ho una palla dibronzo esquisitamente rotondanon più grande d'una noce;questatirata sopra uno specchio di metallotenuto non erettoall'orizontema alquanto inchinatosì che la palla nel motovi possa camminar sopracalcandolo leggiermente nel muoversilasciauna linea parabolica sottilissimamente e pulitissimamente descrittae più larga e più stretta secondo che la proiezzione sisarà più o meno elevata. Dove anco abbiamo chiara esensata esperienzail moto de i proietti farsi per lineeparaboliche: effetto non osservato prima che dal nostro amicoilquale ne arreca anco la dimostrazione nel suo libro del motochevedremo insieme nel primo congresso. La palla poiper descrivere almodo detto le parabolebisognacon maneggiarla alquanto con lamanoscaldarla ed alquanto inumidirlaché cosìlascerà più apparenti sopra lo specchio i suoivestigii. L'altro modoper disegnar la lineache cerchiamosoprail prismaprocede così. Ferminsi ad alto due chiodi in unpareteequidistanti all'orizonte e tra di loro lontani il doppiodella larghezza del rettangolo su 'l quale vogliamo notare lasemiparabolae da questi due chiodi penda una catenella sottileetanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezzadel prisma: questa catenella si piega in figura parabolicasìche andando punteggiando sopra 'l muro la strada che vi fa essacatenellaaremo descritta un'intera parabolala quale con unperpendicoloche penda dal mezo di quei due chiodisi divideràin parti eguali. Il trasferir poi tal linea sopra le faccie oppostedel prisma non ha difficoltà nessunasì che ognimediocre artefice lo saprà fare. Potrebbesi anco con l'aiutodelle linee geometriche segnate su 'l compasso del nostro amicosenz'altra fatturaandar su l'istessa faccia del prisma punteggiandola linea medesima.

Abbiamo sin qui dimostrate tante conclusioni attenenti allacontemplazione di queste resistenze de i solidi all'essere spezzaticon l'aver prima aperto l'ingresso a tale scienza col suppor comenota la resistenza per dirittoche si potrà consequentementecamminar avantiritrovandone altre ed altre conclusionie lorodimostrazionidi quelle che in natura sono infinite. Solo per oraper ultimo termine de gli odierni ragionamentivoglio aggiugnere laspecolazione delle resistenze de i solidi vacuide i quali l'arteepiù la naturasi serve in mille operazionidove senzacrescer peso si cresce grandemente la robustezzacome si vedenell'ossa de gli uccelli ed in moltissime canneche son leggiere emolto resistenti al piegarsi e rompersi: che se un fil di pagliachesostien una spiga più grave di tutto 'l gambofusse fattodella medesima quantità di materiama fusse massicciosarebbe assai meno resistente al piegarsi ed al rompersi. E con talragione ha osservato l'artee confermato l'esperienzache un'astavota o una canna di legno o di metallo è molto piùsalda che se fussed'altrettanto peso e della medesima lunghezzamassicciache in consequenza sarebbe più sottile; e peròl'arte ha trovato di far vote dentro le lanciequando si desideriaverle gagliarde e leggiere. Mostreremo per tantocome:

Le resistenze di due cilindri eguali ed egualmente lunghil'uno de iquali sia voto e l'altro massicciohanno tra di loro la medesimaproporzione che i lor diametri.

Sianola canna o cilindro voto AEed il cilindro INmassiccioeguali in peso ed egualmente lunghi: dicola resistenzadella canna AE all'esser rotta alla resistenza del cilindrosolido IN aver la medesima proporzione che 'l diametro ABal diametro IL. Il che è assai manifesto: perchéessendo la canna e 'l cilindro IN eguali ed egualmente lunghiil cerchio ILbase del cilindrosarà eguale allaciambella ABbase della canna AE (chiamo ciambellala superficie che restatratto un cerchio minore dal suo concentricomaggiore)e però le loro resistenze assolute saranno eguali:ma perché nel romper in traverso ci serviamonel cilindro INdella lunghezza LN per levae per sostegno del punto Le del semidiametro o diametro LI per contrallevae nellacanna la parte della levacioè la linea BEèeguale alla LNma la contralleva oltre al sostegno B èil semidiametro o diametro ABresta manifestola resistenzadella canna superar quella del cilindro solido secondo l'eccesso deldiametro AB sopra 'l diametro IL: che è quelloche cercavamo. S'acquistadunquedi robustezza nella canna votasopra la robustezza del cilindro solido secondo la proporzione de idiametritutta volta però che amendue siano dell'istessamateriapeso e lunghezza. Sarà bene che conseguentementeandiamo investigando quello che accaggia negli altri casiindifferentemente tra tutte le canne e cilindri solidi egualmentelunghibenché in quantità di peso diseguali e piùe meno evacuati. E prima dimostreremocome:

Data una canna votasi possa trovare un cilindro pienoeguale adessa.

Facilissima è tal operazione. Imperò che sia la lineaAB diametro della cannae CD diametro del voto:applichisi nel cerchio maggiore la linea AE egual al diametroCDe congiungasi la EB. E perché nel mezocerchio AEB l'angolo E è rettoil cerchio ilcui diametro è ABsarà eguale alli due cerchide i diametri AEEB; ma AE è il diametrodel voto della canna; adunque il cerchio il cui diametro sia EBsarà egual alla ciambella ACBD: e però ilcilindro solidoil cerchio della cui base abbia il diametro EBsarà eguale alla cannaessendo egualmente lungo. Dimostratoquestopotremo speditamente

Trovare qual proporzione abbiano le resistenze d'una canna e di uncilindroqualunque sianopur che egualmente lunghi.

Sia la canna ABEed il cilindro RSM egualmente lungo:bisogna trovare qual proporzione abbiano tra di loro le lorresistenze. Trovisiper la precedenteil cilindro ILN egualealla canna ed egualmente lungoe delle linee ILRS(diametri delle basi de i cilindri INRM) sia quartaproporzionale la linea V: dicola resistenza della canna AEa quella del cilindro RM esser come la linea AB alla V.Imperò cheessendo la canna AE eguale ed egualmentelunga al cilindro INla resistenza della canna allaresistenza del cilindro starà come la linea AB alla IL:ma la resistenza del cilindro IN alla resistenza del cilindroRM sta come il cubo IL al cubo RScioècome la linea IL alla V; adunqueex æqualila resistenza della canna AE alla resistenza del cilindro RMha la medesima proporzione che la linea AB alla V: cheè quello che si cercava.


Finiscela seconda Giornata

 

GIORNATA TERZA

DELMOTO LOCALE



Diamo avvio a una nuovissimascienza intorno a un soggetto antichissimo. Nulla v'èforsein naturadi più antico del motoe su di esso ci sono nonpochi voluminé di piccola molescritti dai filosofi;tuttavia tra le sue proprietà ne trova molte chepur degne diessere conosciutenon sono mai state finora osservatenonchédimostrate. Se ne rilevano alcune più immediatecome quellaad esempioche il moto naturale dei gravi discendenti acceleracontinuamente; peròsecondo quale proporzione taleaccelerazione avvenganon è stato sin qui mostrato: nessunoche io sappiainfattiha dimostrato che un mobile discendente apartire dalla quiete percorrein tempi egualispazi che ritengonotra di loro la medesima proporzione che hanno i numeri imparisuccessivi ab unitate. È stato osservato che i corpilanciatiovverossia i proiettidescrivono una linea curva di unqualche tipo; peròche essa sia una parabolanessuno l'hamostrato. Che sia cosìlo dimostrerò insieme ad altrenon poche cosené meno degne di essere conosciuteeciòche ritengo ancor più importantesi apriranno le porte a unavastissima e importantissima scienzadella quale queste nostrericerche costituiranno gli elementi; altri ingegni più acutidel mio ne penetreranno poi più ascosi recessi.

Dividiamo in tre parti latrattazione: nella prima parte consideriamo ciò che concerneil moto equabile o uniforme; nella seconda trattiamo del motonaturalmente accelerato; nella terzadel moto violentoossia deiproietti.


DELMOTO EQUABILE


Circa il moto equabile ouniformeci occorre una sola definizioneche formulo così:


DEFINIZIONE

Moto eguale o uniforme intendoquello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi egualicomunque presirisultano tra di loro eguali.


AVVERTENZA

Ci è parso opportunoaggiungere alla vecchia definizione (che semplicemente parla di motoequabileallorché in tempi eguali vengono percorsi spazieguali) l'espressione comunque presicioè per tutti itempi che siano eguali: infattipuò accadere che indeterminati tempi eguali un mobile percorra spazi egualimentrespazipercorsi in frazioni di tempo minorisebbene egualinonsiano eguali. Dalla precedente definizione dipendono quattro assiomicioè:


ASSIOMA 1

In uno stesso moto equabilelospazio percorso in un tempo più lungo è maggiore dellospazio percorso in un tempo più breve.


ASSIOMA 2

In uno stesso moto equabileiltempo in cui è percorso uno spazio maggiore è piùlungo del tempo impiegato a percorrere uno spazio minore.


ASSIOMA 3

Lo spaziopercorso in un datotempo a velocità maggioreè maggiore di quellopercorsonello stesso tempoa velocità minore.


ASSIOMA 4

La velocitàcon cui inun dato tempo viene percorso uno spazio maggioreè maggioredi quella con cuinello stesso tempoviene percorso uno spaziominore.


TEOREMA1. PROPOSIZIONE 1

Se un mobiledotato di motoequabilepercorre due spazi con una stessa velocitài tempidei moti staranno tra di loro come gli spazi percorsi.


TEOREMA 2. PROPOSIZIONE 2

Se un mobile percorre due spaziin tempi egualiquegli spazi staranno tra loro come le velocità.E se gli spazi stanno tra loro come le velocitài tempisaranno eguali.


TEOREMA 3. PROPOSIZIONE 3

Se il medesimo spazio vienepercorso con velocità disegualii tempi dei moti rispondonocontrariamente (sono inversamente proporzionali) allevelocità.


TEOREMA 4. PROPOSIZIONE 4

Se due mobili si muovono di motoequabilema con diseguale velocitàgli spazi percorsi daessi in tempi diseguali avranno tra di loro una proporzione compostadella proporzione tra le velocità e della proporzione tra itempi.


TEOREMA 5. PROPOSIZIONE 5

Se due mobili si muovono di motoequabilema le loro velocità sono diseguali e diseguali glispazi percorsila proporzione tra i tempi risulterà compostadella proporzione tra gli spazi e della proporzione tra le velocitàpermutatamente prese (proporzione inversa delle velocità).


TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6

Se due mobili si muovono di motoequabilela proporzione tra le loro velocità risulteràcomposta della proporzione tra gli spazi percorsi e della proporzionetra i tempi permutatamente presi (proporzione inversa dei tempi).


Salv. Questo che abbiamo vedutoè quanto il nostroAutore ha scritto del moto equabile. Passeremo dunque a piùsottile e nuova contemplazione intorno al moto naturalmenteacceleratoquale è quello che generalmente èesercitato da i mobili gravi descendenti: ed ecco il titolo el'introduzione.


DELMOTO NATURALMENTE ACCELERATO


Le proprietà del motoequabile sono state considerate nel libro precedente: ora dobbiamotrattare del moto accelerato.

E in primo luogo convieneinvestigare e spiegare la definizione che corrisponde esattamente almoto accelerato di cui si serve la natura. Infattisebbene sialecito immaginare arbitrariamente qualche forma di moto e contemplarele proprietà che ne conseguono (cosìinfatticoloroche si immaginarono linee spirali o concoidioriginate da certimovimentine hanno lodevolmente dimostrate le proprietàargomentando ex suppositioneanche se di tali movimenti nonusi la natura)tuttaviadal momento che la natura si serve di unacerta forma di accelerazione nei gravi discendentiabbiamo stabilitodi studiarne le proprietàposto che la definizione che daremodel nostro moto accelerato abbia a corrispondere con l'essenza delmoto naturalmente accelerato. Questa coincidenza crediamo di averlaraggiunta finalmentedopo lunghe riflessioni; soprattutto per ilfatto che le proprietàda noi successivamente dimostrate(dalla nostra definizione)sembrano esattamente corrisponderee coincidere con ciò che gli esperimenti naturali presentanoai sensi. Infine a studiare il moto naturalmente accelerato siamostati condotti quasi per mano dall'osservazione della consuetudine edella regola seguite dalla natura medesima in tutte le altre sueoperenella cui attuazione suole far uso dei mezzi piùimmediatipiù semplicipiù facili. Ritengo infattiche non vi sia nessunoil quale creda che si possa praticare ilnuoto o il volo in una maniera più semplice e piùfacile di quella usataper istinto naturaledai pesci e dagliuccelli.

Quandodunqueosservo che unapietrache discende dall'alto a partire dalla quieteacquista viavia nuovi incrementi di velocitàperché non dovreicredere che tali aumenti avvengano secondo la più semplice epiù ovvia proporzione? Orase consideriamo attentamente lacosanon troveremo nessun aumento o incremento più semplicedi quello che aumenta sempre nel medesimo modo. Il che facilmenteintenderemo considerando la stretta connessione tra tempo e moto:come infatti la equabilità e uniformità del moto sidefinisce e si concepisce sulla base della eguaglianza dei tempi edegli spazi (infatti chiamiamo equabile il motoallorché intempi eguali vengono percorsi spazi eguali)cosìmedianteuna medesima suddivisione uniforme del tempopossiamo concepire chegli incrementi di velocità avvengano con semplicità; in quanto stabiliamo in astratto cherisulti uniformemente enel medesimo modocontinuamente acceleratoquel moto che in tempi egualicomunque presiacquista egualiaumenti di velocità. Cosicchéconsiderando un numeroqualsiasi di frazioni di tempo eguali a partire dal primo istante incui il mobile abbandona la quiete e comincia a scendereil grado divelocità acquistato nella prima e seconda frazione di tempoprese insiemeè doppio rispetto al grado di velocitàacquistato dal mobile nella prima frazione; e il grado che si ottienein tre frazioni di tempoè triplo; quello acquistato inquattroquadruplo del medesimo grado del primo tempo: sì che(per maggiore chiarezza)se il mobile continuasse il suo motosecondo il grado o momento di velocità acquistato nella primafrazione di tempo e lo proseguisse uniformemente con tale gradoquesto moto sarebbe due volte più lento di quello che otterrebbe secondo il grado di velocità acquistato indue frazioni di tempo. E così ci sembra di non discordareaffatto dalla retta ragione se ammettiamo che l'intensitàdella velocità cresca secondo l'estensione del tempo (lavelocità sia proporzionale al tempo).

Possiamo quindi ammettere laseguente definizione del moto di cui tratteremo: Moto equabilmenteossia uniformemente acceleratodico quello chea partire dallaquietein tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.


Sagr. Iosì come fuor di ragione mi opporrei a questao ad altra definizione che da qualsivoglia autore fusse assegnataessendo tutte arbitrariecosì ben posso senza offesa dubitarese tal definizioneconcepita ed ammessa in astrattosi adatticonvenga e si verifichi in quella sorte di moto accelerato che igravi naturalmente descendenti vanno esercitando. E perchépare che l'Autore ci prometta che talequale egli ha definitosiail moto naturale de i gravivolentieri mi sentirei rimuover certiscrupoli che mi perturbano la menteacciò poi con maggiorattenzione potessi applicarmi alle proposizionie lor dimostrazioniche si attendono.

Salv. È bene che V. S. ed il Sig. Simplicio vadanoproponendo le difficoltà; le quali mi vo immaginando che sianoper essere quelle stesse che a me ancora sovvenneroquandoprimieramente veddi questo trattatoe che o dall'Autor medesimoragionandone secomi furon sopiteo tal una ancora da me stessoco'l pensarvirimosse.

Sagr. Mentre io mi vo figurandoun mobile grave descendentepartirsi dalla quietecioè dalla privazione di ogni velocitàed entrare nel motoed in quello andarsi velocitando secondo laproporzione che cresce 'l tempo dal primo instante del motoadaverev. g.in otto battute di polso acquistato otto gradi divelocitàdella quale nella quarta battuta ne aveva guadagnatiquattronella seconda duenella prima unoessendo il temposubdivisibile in infinitone séguita chediminuendosi semprecon tal ragione l'antecedente velocitàgrado alcuno non siadi velocità così piccoloo vogliamo dir di tarditàcosì grandenel quale non si sia trovato costituito l'istessomobile dopo la partita dall'infinita tarditàcioèdalla quiete: tal chese quel grado di velocità ch'egli ebbealle quattro battute di tempoera tale chemantenendola equabilearebbe corso due miglia in un'orae co 'l grado di velocitàch'ebbe nella seconda battuta arebbe fatto un miglio per oraconviendire che ne gl'instanti del tempo più e più vicini alprimo della sua mossa dalla quiete si trovasse così tardochenon arebbe (seguitando di muoversi con tal tardità) passato unmiglio in un'orané in un giornoné in un annonéin millené passato anco un sol palmo in tempo maggiore;accidente al quale pare che assai mal agevolmente s'accomodil'immaginazionementre che il senso ci mostraun grave cadentevenir subito con gran velocità.

Salv. Questa è una delle difficoltà che a meancora su 'l principio dette che pensarema non molto dopo larimossi; ed il rimuoverla fu effetto della medesima esperienza che dipresente a voi la suscita. Voi diteparervi che l'esperienza mostriche a pena partitosi il grave dalla quieteentri in una moltonotabile velocità; ed io dico che questa medesima esperienzaci chiariscei primi impeti del cadentebenché gravissimoesser lentissimi e tardissimi. Posate un grave sopra una materiacedentelasciandovelo sin che prema quanto egli può con lasua semplice gravità: è manifesto chealzandolo unbraccio o duelasciandolo poi cadere sopra la medesima materiafaràcon la percossa nuova pressionee maggiore che la fatta prima co 'lsolo peso; e l'effetto sarà cagionato dal mobile cadentecongiunto con la velocità guadagnata nella cadutail qualeeffetto sarà più e più grandesecondo che damaggior altezza verrà la percossacioè secondo che lavelocità del percuziente sarà maggiore. Quanta dunquesia la velocità d'un grave cadentelo potremo noi senzaerrore conietturare dalla qualità e quantità dellapercossa. Ma ditemiSignori: quel mazzo che lasciato cadere sopra unpalo dall'altezza di quattro braccia lo ficca in terrav. g.quattro ditavenendo dall'altezza di duo braccia lo cacceràassai mancoe meno dall'altezza di unoe manco da un palmo; efinalmentesollevandolo un ditoche farà di più chesesenza percossavi fusse posto sopra? certo pochissimo: edoperazione del tutto impercettibile sarebbese si elevasse quanto ègrosso un foglio. E perché l'effetto della percossa si regoladalla velocità del medesimo percuzientechi vorràdubitare che lentissimo sia 'l moto e più che minima lavelocitàdove l'operazione sua sia impercettibile? Vegganoora quanta sia la forza della veritàmentre l'istessaesperienza che pareva nel primo aspetto mostrare una cosameglioconsiderata ci assicura del contrario. Ma senza ridursi a taleesperienza (che senza dubbio è concludentissima)mi pare chenon sia difficile co 'l semplice discorso penetrare una tal verità.Noi abbiamo un sasso gravesostenuto nell'aria in quiete; si liberadal sostegno e si pone in libertàecome più gravedell'ariavien descendendo al bassoe non con moto equabilemalento nel principioe continuamente dopo accelerato: ed essendo chela velocità è augumentabile e menomabile in infinitoqual ragione mi persuaderà che tal mobilepartendosi da unatardità infinita (ché tal è la quiete)entriimmediatamente in dieci gradi di velocità più che inuna di quattroo in questa prima che in una di duedi unodi unmezodi un centesimo? ed in somma in tutte le minori in infinito?Sentitein grazia. Io non credo che voi fuste renitenti a concedermiche l'acquisto de i gradi di velocità del sasso cadente dallostato di quiete possa farsi co 'l medesimo ordine che la diminuzionee perdita de i medesimi gradimentre da virtù impellentefusse ricacciato in su alla medesima altezza; ma quando ciòsianon veggo che si possa dubitare che nel diminuirsi la velocitàdel sasso ascendenteconsumandola tuttapossa pervenire allo statodi quiete prima che passar per tutti i gradi di tardità.

Simp. Ma se i gradi di tardità maggiore e maggiore sonoinfinitigià mai non si consumeranno tutti; onde tal graveascendente non si condurrà mai alla quietema infinitamentesi moveràritardandosi sempre: cosa che non si vede accadere.

Salv. Accaderebbe cotestoSig. Simplicioquando il mobileandasse per qualche tempo trattenendosi in ciaschedun grado; ma eglivi passa solamentesenza dimorarvi oltre a un instante; e perchéin ogni tempo quantoancor che piccolissimosono infiniti instantiperò son bastanti a rispondere a gl'infiniti gradi di velocitàdiminuita. Che poi tal grave ascendente non persista per verun tempoquanto in alcun medesimo grado di velocitàsi fa manifestocosì: perché seassegnato qualche tempo quantonelprimo instante di tal tempo ed anco nell'ultimo il mobile si trovasseaver il medesimo grado di velocitàpotrebbe da questo secondogrado esser parimente sospinto in su per altrettanto spaziosìcome dal primo fu portato al secondoe per l'istessa ragionepasserebbe dal secondo al terzoe finalmente continuerebbe il suomoto uniforme in infinito.

Sagr. Da questo discorso mi par che si potrebbe cavare unaassai congrua ragione della quistione agitata tra i filosofiqualsia la causa dell'accelerazione del moto naturale de i gravi. Imperòchementre io consideronel grave cacciato in su andarsicontinuamente diminuendo quella virtù impressagli dalproiciente; la qualesin che fu superiore all'altra contraria dellagravitàlo sospinse in alto; giunte che siano questa e quellaall'equilibrioresta il mobile di più salire e passa per lostato della quietenel quale l'impeto impresso non èaltramente annichilitoma solo consumatosi quell'eccesso che purdianzi aveva sopra la gravità del mobileper lo qualeprevalendoglilo spingeva in su; continuandosi poi la diminuzione diquesto impeto stranieroed in consequenza cominciando il vantaggioad esser dalla parte della gravitàcomincia altresì lascesama lenta per il contrasto della virtù impressabuonaparte della quale rimane ancora nel mobile; ma perché ella purva continuamente diminuendosivenendo sempre con maggior proporzionesuperata dalla gravitàquindi nasce la continua accelerazionedel moto.

Simp. Il pensiero è argutoma più sottile chesaldo: imperò chequando pur sia concludentenon sodisfàse non a quei moti naturali a i quali sia preceduto un moto violentonel quale resti ancora vivace parte della virtù esterna; madove non sia tal residuoma si parta il mobile da una antiquataquietecessa la forza di tutto il discorso.

Sagr. Credo che voi siate in erroree che questa distinzionedi casiche fatesia superfluaoper dir meglionulla. Peròditemise nel proietto può esser tal volta impressa dalproiciente molta e tal ora poca virtùsì che possaessere scagliato in alto cento bracciaed anco ventio quattroouno?

Simp. Non è dubbio che sì.

Sagr. E non meno potrà cotal virtù impressa dicosì poco superar la resistenza della gravitàche nonl'alzi più d'un dito; e finalmente può la virtùdel proiciente esser solamente tantache pareggi per l'appunto laresistenza della gravitàsì che il mobile sia noncacciato in altoma solamente sostenuto. Quando dunque voi reggetein mano una pietrache altro gli fate voi che l'imprimerli tantavirtù impellente all'in suquanta è la facoltàdella sua gravitàtraente in giù? e questa vostravirtù non continuate voi di conservargliela impressa per tuttoil tempo che voi la sostenete in mano? si diminuisce ella forse perla lunga dimora che voi la reggete? e questo sostentamento che vietala scesa al sassoche importa che sia fatto più dalla vostramanoche da una tavolao da una corda dalla quale ei sia sospeso?Certo niente. Concludete pertantoSig. Simplicioche il precederealla caduta del sasso una quiete lunga o breve o momentaneanon fadifferenza alcunasì che il sasso non parta sempre affetto datanta virtù contraria alla sua gravitàquanta appuntobastava a tenerlo in quiete.

Salv. Non mi par tempo opportuno d'entrare al presentenell'investigazione della causa dell'accelerazione del moto naturaleintorno alla quale da varii filosofi varie sentenzie sono stateprodotteriducendola alcuni all'avvicinamento al centroaltri alrestar successivamente manco parti del mezo da fendersialtri acerta estrusione del mezo ambienteil qualenel ricongiugnersi atergo del mobilelo va premendo e continuatamente scacciando; lequali fantasiecon altre appressoconverrebbe andare esaminando econ poco guadagno risolvendo. Per ora basta al nostro Autore che noiintendiamo che egli ci vuole investigare e dimostrare alcune passionidi un moto accelerato (qualunque si sia la causa della suaaccelerazione) talmenteche i momenti della sua velocitàvadano accrescendosidopo la sua partita dalla quietecon quellasemplicissima proporzione con la quale cresce la continuazion deltempoche è quanto dire che in tempi eguali si faccianoeguali additamenti di velocità; e se s'incontrerà chegli accidenti che poi saranno dimostrati si verifichino nel moto de igravi naturalmente descendenti ed acceleratipotremo reputare chel'assunta definizione comprenda cotal moto de i gravie che vero siache l'accelerazione loro vadia crescendo secondo che cresce il tempoe la durazione del moto.

Sagr. Per quanto per ora mi si rappresenta all'intellettomipare che con chiarezza forse maggiore si fusse potuto definiresenzavariare il concetto: Moto uniformemente accelerato esser quellonelqual la velocità andasse crescendo secondo che cresce lospazio che si va passando; sì cheper esempioil grado divelocità acquistato dal mobile nella scesa di quattro bracciafusse doppio di quello ch'egli ebbe sceso che e' fu lo spazio di duee questo doppio del conseguito nello spazio del primo braccio. Perchénon mi par che sia da dubitareche quel grave che viene dall'altezzadi sei braccianon abbia e perquota con impeto doppio di quello cheebbesceso che fu tre bracciae triplo di quello che ebbe alle duee sescuplo dell'auto nello spazio di uno.

Salv. Io mi consolo assai d'aver auto un tanto compagnonell'errore; e più vi dirò che il vostro discorso hatanto del verisimile e del probabileche il nostro medesimo Autorenon mi negòquando io glielo proposid'esser egli ancorastato per qualche tempo nella medesima fallacia. Ma quello di che iopoi sommamente mi maravigliaifu il vedere scoprir con quattrosemplicissime parolenon pur falsema impossibilidue proposizioniche hanno del verisimile tantoche avendole io proposte a moltinonho trovato chi liberamente non me l'ammettesse.

Simp. Veramente io sarei del numero de i conceditori: e che ilgrave descendente vires acquirat eundocrescendo la velocitàa ragion dello spazioe che 'l momento dell'istesso percuziente siadoppio venendo da doppia altezzami paiono proposizioni daconcedersi senza repugnanza o controversia.

Salv. E pur son tanto false e impossibiliquanto che il motosi faccia in un instante: ed eccovene chiarissima dimostrazione.Quando le velocità hanno la medesima proporzione che glispazii passati o da passarsitali spazii vengon passati in tempieguali; se dunque le velocità con le quali il cadente passòlo spazio di quattro bracciafuron doppie delle velocità conle quali passò le due prime braccia (sì come lo spazioè doppio dello spazio)adunque i tempi di tali passaggi sonoeguali: ma passare il medesimo mobile le quattro braccia e le duenell'istesso temponon può aver luogo fuor che nel motoinstantaneo: ma noi veggiamo che il grave cadente fa suo moto intempoed in minore passa le due braccia che le quattro; adunque èfalso che la velocità sua cresca come lo spazio. L'altraproposizione si dimostra falsa con la medesima chiarezza. Imperòcheessendo quello che perquote il medesimonon puòdeterminarsi la differenza e momento delle percosse se non dalladifferenza della velocità: quando dunque il percuzientevenendo da doppia altezzafacesse percossa di doppio momentobisognerebbe che percotesse con doppia velocità: ma la doppiavelocità passa il doppio spazio nell'istesso tempoe noiveggiamo il tempo della scesa dalla maggior altezza esser piùlungo.

Sagr. Troppa evidenzatroppa agevolezzaè questa conla quale manifestate conclusioni ascoste: questa somma facilitàle rende di minor pregio che non erano mentre stavano sotto contrariosembiante. Poco penso io che prezzerebbe l'universale notizieacquistate con sì poca faticain comparazione di quelleintorno alle quali si fanno lunghe ed inesplicabili altercazioni.

Salv.A quelli i quali con gran brevità e chiarezza mostrano lefallacie di proposizioni state comunemente tenute per veredall'universaledanno assai comportabile sarebbe il riportarnesolamente disprezzoin luogo di aggradimento; ma bene spiacevole emolesto riesce cert'altro affetto che suol tal volta destarsi inalcunichepretendendo ne i medesimi studii almeno la paritàcon chiunque si siasi veggono aver trapassate per vere conclusioniche poi da un altro con breve e facile discorso vengono scoperte edichiarate false. Io non chiamerò tale affetto invidiasolitaa convertirsi poi in odio ed ira contro agli scopritori di talifallaciema lo dirò uno stimolo e una brama di voler piùpresto mantener gli errori inveteratiche permetter che si ricevanole verità nuovamente scoperte; la qual brama tal voltagl'induce a scrivere in contradizione a quelle veritàpurtroppo internamente conosciute anco da loro medesimisolo per tenerbassa nel concetto del numeroso e poco intelligente vulgo l'altruireputazione. Di simili conclusioni falsericevute per vere e diagevolissima confutazionenon piccol numero ne ho io sentite dalnostro Academicodi parte delle quali ho anco tenuto registro.

Sagr. E V. S. non dovrà privarcenema a suo tempofarcene partequando ben anco bisognasse in grazia loro fare unaparticolar sessione. Per oracontinuando il nostro filoparmi chesin qui abbiamo fermata la definizione del moto uniformementeacceleratodel quale si tratta ne i discorsi che seguono; ed è:


Moto equabilmenteossiauniformemente acceleratodiciamo quello chea partire dalla quietein tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.


Salv. Fermata cotal definizioneun solo principio domanda esuppone per vero l'Autorecioè:


Assumo che i gradi di velocitàacquistati da un medesimo mobile su piani diversamente inclinatisiano eguali allorché sono eguali le elevazioni di quei pianimedesimi.


Chiama la elevazione di un piano inclinato la perpendicolare che daltermine sublime di esso piano casca sopra la linea orizontaleprodotta per l'infimo termine di esso piano inclinato;

comeper intelligenzaessendo la linea AB parallelaall'orizontesopra 'l quale siano inclinati li due piani CACDla perpendicolare CBcadente sopra l'orizontaleBAchiama l'Autore la elevazione de i piani CACD;e suppone che i gradi di velocità del medesimo mobilescendente per li piani inclinati CACDacquistati nei termini ADsiano egualiper esser la loroelevazione l'istessa CB: e tanto anco si deve intendere ilgrado di velocità che il medesimo cadente dal punto Carebbe nel termine B.

Sagr. Veramente mi par che tal supposto abbia tanto delprobabileche meriti di esser senza controversia concedutointendendo sempre che si rimuovano tutti gl'impedimenti accidentariied esternie che i piani siano ben solidi e tersi ed il mobile difigura perfettissimamente rotondasì che ed il piano ed ilmobile non abbiano scabrosità. Rimossi tutti i contrasti edimpedimentiil lume naturale mi detta senza difficoltàcheuna palla grave e perfettamente rotondascendendo per le linee CACDCBgiugnerebbe ne i termini ADBcon impeti eguali.

Salv. Voi molto probabilmente discorrete; maoltre alverisimilevoglio con una esperienza accrescer tanto la probabilitàche poco gli manchi all'agguagliarsi ad una ben necessariadimostrazione.

Figurateviquesto foglio essere una parete eretta all'orizontee da un chiodofitto in essa pendere una palla di piombo d'un'oncia o duesospesadal sottil filo ABlungo due o tre bracciaperpendicolareall'orizontee nella parete segnate una linea orizontale DCsegante a squadra il perpendicolo ABil quale sia lontanodalla parete due dita in circa; trasferendo poi il filo AB conla palla in AClasciate essa palla in libertà: laquale primieramente vedrete scendere descrivendo l'arco CBDedi tanto trapassare il termine Bchescorrendo per l'arcoBDsormonterà sino quasi alla segnata parallela CDrestando di pervenirvi per piccolissimo intervallotoltogli ilprecisamente arrivarvi dall'impedimento dell'aria e del filo; dal chepossiamo veracemente concludereche l'impeto acquistato nel punto Bdalla pallanello scendere per l'arco CBfu tantoche bastòa risospingersi per un simile arco BD alla medesima altezza.Fatta e più volte reiterata cotale esperienzavoglio cheficchiamo nella pareterasente al perpendicolo ABun chiodocome in E o vero in Fche sporga in fuori cinque o seiditae questo acciò che il filo ACtornandocomeprimaa riportar la palla C per l'arco CBgiunta cheella sia in Bintoppando il filo nel chiodo Esiacostretta a camminare per la circonferenza BGdescrittaintorno al centro E; dal che vedremo quello che potràfar quel medesimo impeto chedianziconcepito nel medesimo termineBsospinse l'istesso mobile per l'arco BD all'altezzadella orizontale CD. OraSignorivoi vedrete con gustocondursi la palla all'orizontale nel punto Ge l'istessoaccadere se l'intoppo si mettesse più bassocome in Fdove la palla descriverebbe l'arco BIterminando sempre lasua salita precisamente nella linea CD; e quando l'intoppo delchiodo fusse tanto basso che l'avanzo del filo sotto di lui nonarrivasse all'altezza di CD (il che accaderebbe quando fussepiù vicino al punto B che al segamento dell'ABcon l'orizontale CD)allora il filo cavalcherebbe il chiodo ese gli avvolgerebbe intorno. Questa esperienza non lascia luogo didubitare della verità del supposto: imperò cheessendoli due archi CBDB eguali e similmente postil'acquisto di momento fatto per la scesa nell'arco CB èil medesimo che il fatto per la scesa dell'arco DB; ma ilmomento acquistato in B per l'arco CB è potentea risospingere in su il medesimo mobile per l'arco BD; adunqueanco il momento acquistato nella scesa DB è eguale aquello che sospigne l'istesso mobile per il medesimo arco da Bin D; sì cheuniversalmenteogni momento acquistatoper la scesa d'un arco è eguale a quello che può farrisalire l'istesso mobile per il medesimo arco: ma i momenti tuttiche fanno risalire per tutti gli archi BDBGBIsono egualipoiché son fatti dall'istesso medesimo momentoacquistato per la scesa CBcome mostra l'esperienza; adunquetutti i momenti che si acquistano per le scese ne gli archi DBGBIB sono eguali.

Sagr. Il discorso mi par concludentissimoe l'esperienzatanto accomodata per verificare il postulatoche molto ben sia degnod'esser conceduto come se fusse dimostrato.

Salv. Io non voglioSig. Sagredoche noi ci pigliamo piùdel doveree massimamente che di questo assunto ci abbiamo a servireprincipalmente ne i moti fatti sopra superficie rettee non sopracurvenelle quali l'accelerazione procede con gradi molto differentida quelli con i quali noi pigliamo ch'ella proceda ne' piani retti.Di modo chese ben l'esperienza addotta ci mostra che la scesa perl'arco CB conferisce al mobile momento taleche puòricondurlo alla medesima altezza per qualsivoglia arco BDBGBInoi non possiamo con simile evidenza mostrare chel'istesso accadesse quando una perfettissima palla dovesse scendereper piani rettiinclinati secondo le inclinazioni delle corde diquesti medesimi archi; anzi è credibile cheformandosi angolida essi piani retti nel termine Bla palla scesa perl'inclinato secondo la corda CBtrovando intoppo ne i pianiascendenti secondo le corde BDBGBInell'urtare in essi perderebbe del suo impetoné potrebbesalendocondursi all'altezza della linea CD: ma levatol'intoppoche progiudica all'esperienzami par bene chel'intelletto resti capaceche l'impeto (che in effetto piglia vigoredalla quantità della scesa) sarebbe potente a ricondurre ilmobile alla medesima altezza. Prendiamo dunque per ora questo comepostulatola verità assoluta del quale ci verrà poistabilita dal vedere altre conclusionifabbricate sopra taleipotesirispondere e puntualmente confrontarsi con l'esperienza.Supposto dall'Autore questo solo principiopassa alle proposizionidimostrativamente concludendole; delle quali la prima èquesta:


TEOREMA1. PROPOSIZIONE 1

Il tempo in cui uno spazio datoè percorso da un mobile con moto uniformemente accelerato apartire dalla quieteè eguale al tempo in cui quel medesimospazio sarebbe percorso dal medesimo mobile mosso di moto equabileil cui grado di velocità sia sudduplo (la metà)del grado di velocità ultimo e massimo nel precedente moto uniformemente accelerato.


TEOREMA 2. PROPOSIZIONE 2

Se un mobile scendea partiredalla quietecon moto uniformemente acceleratogli spazi percorsida esso in tempi qualsiasi stanno tra di loro in duplicataproporzione dei tempi (in un rapporto pari al rapporto dei tempimoltiplicato per se stesso)cioè stanno tra di loro comei quadrati dei tempi.


COROLLARIO 1

Di qui è manifesto chese dal primo istante o inizio del moto avremo preso successivamenteun numero qualsiasi di tempi egualicome ad esempio ADDEEFFGnei quali siano percorsi gli spazi HLLMMNNIquesti spazi staranno tra di lorocome i numeri impari ab unitatecioè come 1357:questa è infatti la proporzione tra gli eccessi dei quadratidelle linee che si eccedono egualmente e il cui eccesso èeguale alla minima di esseo vogliam dire tra i numeri quadraticonsecutivi ab unitate. Pertantomentre i gradi di velocitàaumentano in tempi eguali secondo la serie dei numeri sempliciglispazi percorsi nei medesimi tempi acquistano incrementi secondo laserie dei numeri impari ab unitate.


Sagr. Sospendetein graziaalquanto la letturamentre io voghiribizando intorno a certo concetto pur ora cascatomi in mente; perla spiegatura del qualeper mia e per vostra più chiaraintelligenzafo un poco di disegno.

Dovemi figuro per la linea AI la continuazione del tempo dopo ilprimo instante in A; applicando poi in Asecondoqualsivoglia angolola retta AFe congiugnendo i termini IFdiviso il tempo AI in mezo in Ctiro la CBparallela alla IF; considerando poi la CB come gradomassimo della velocità checominciando dalla quiete nel primoinstante del tempo Asi andò augumentando secondo ilcrescimento delle parallele alla BCprodotte nel triangoloABC (che è il medesimo che crescere secondo che cresceil tempo)ammetto senza controversiaper i discorsi fatti sin quiche lo spazio passato dal mobile cadente con la velocitàaccresciuta nel detto modo sarebbe eguale allo spazio che passerebbeil medesimo mobile quando si fusse nel medesimo tempo AC mossodi moto uniformeil cui grado di velocità fusse egualeall'ECmetà del BC. Passo ora più oltree figuratomiil mobile sceso con moto accelerato trovarsinell'instante C avere il grado di velocità BCèmanifestoche se egli continuasse di muoversi con l'istesso grado divelocità BC senza più accelerarsipasserebbenel seguente tempo CI spazio doppio di quello che ei passònell'egual tempo AC col grado di velocità uniforme ECmetà del grado BC; ma perché il mobile scendecon velocità accresciuta sempre uniformemente in tutti i tempiegualiaggiugnerà al grado CB nel seguente tempo CIquei momenti medesimi di velocità crescente secondo leparallele del triangolo BFGeguale al triangolo ABC:sì cheaggiunto al grado di velocità GI la metàdel grado FGmassimo degli acquistati nel moto accelerato eregolati dalle parallele del triangolo BFGaremo il grado divelocità INcol quale di moto uniforme si sarebbemosso nel tempo CI; il qual grado IN essendo triplo delgrado ECconvincelo spazio passato nel secondo tempo CIdovere esser triplo del passato nel primo tempo CA. E se noiintenderemoesser aggiunta all'AI un'altra ugual parte ditempo IOed accresciuto il triangolo sino in APOèmanifestoche quando si continuasse il moto per tutto 'l tempo IOcol grado di velocità IFacquistato nel motoaccelerato nel tempo AIessendo tal grado IF quadruplodell'EClo spazio passato nel tempo IO sarebbequadruplo del passato nell'egual primo tempo AC; macontinuando l'accrescimento dell'uniforme accelerazione nel triangoloFPQ simile a quello del triangolo ABCche ridotto amoto equabile aggiugne il grado eguale all'ECaggiunto il QReguale all'ECaremo tutta la velocità equabileesercitata nel tempo IO quintupla dell'equabile del primotempo ACe però lo spazio passato quintuplo delpassato nel primo tempo AC. Vedesi dunque anco in questosemplice calcologli spazii passati in tempi uguali dal mobile chepartendosi dalla quieteva acquistando velocità conformeall'accrescimento del tempoesser tra di loro come i numeri impariab unitate 135econgiuntamente presi gli spaziipassatiil passato nel doppio tempo esser quadruplo del passato nelsudduploil passato nel tempo triplo esser nonuploed in somma glispazii passati essere in duplicata proporzione de i tempicioècome i quadrati di essi tempi.

Simp. Io veramente ho preso più gusto in questosemplice e chiaro discorso del Sig. Sagredoche nella per me piùoscura dimostrazione dell'Autore; sì che io resto assai bencapace che il negozio deva succeder cosìposta e ricevuta ladefinizione del moto uniformemente accelerato. Ma se tale sia poil'accelerazione della quale si serve la natura nel moto de i suoigravi descendentiio per ancora ne resto dubbioso; e peròper intelligenza mia e di altri simili a meparmi che sarebbe statoopportuno in questo luogo arrecar qualche esperienza di quelle che siè detto esservene molteche in diversi casi s'accordano conle conclusioni dimostrate.

Salv. Voida vero scienziatofate una ben ragionevoldomanda; e così si costuma e conviene nelle scienze le qualialle conclusioni naturali applicano le dimostrazioni matematichecome si vede ne i perspettivinegli astronomine i mecanicine imusici ed altrili quali con sensate esperienze confermano iprincipii loroche sono i fondamenti di tutta la seguente struttura:e però non voglio che ci paia superfluo se con troppalunghezza aremo discorso sopra questo primo e massimo fondamentosopra 'l quale s'appoggia l'immensa machina d'infinite conclusionidelle quali solamente una piccola parte ne abbiamo in questo libroposte dall'Autoreil quale arà fatto assai ad aprirl'ingresso e la porta stata sin or serrata agl'ingegni specolativi.Circa dunque all'esperienzenon ha tralasciato l'Autor di farne; eper assicurarsi che l'accelerazione de i gravi naturalmentedescendenti segua nella proporzione sopradettamolte volte mi sonritrovato io a farne la prova nel seguente modoin sua compagnia.

In un regoloo vogliàn dir correntedi legnolungo circa 12bracciae largo per un verso mezo bracio e per l'altro 3 ditasiera in questa minor larghezza incavato un canalettopoco piùlargo d'un dito; tiratolo drittissimoeper averlo ben pulito eliscioincollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata alpossibilesi faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimoben rotondata e pulita; costituito che si era il detto regolopendenteelevando sopra il piano orizontale una delle sue estremitàun braccio o due ad arbitriosi lasciava (come dico) scendere per ildetto canale la pallanotandonel modo che appresso diròiltempo che consumava nello scorrerlo tuttoreplicando il medesimoatto molte volte per assicurarsi bene della quantità deltemponel quale non si trovava mai differenza né anco delladecima parte d'una battuta di polso. Fatta e stabilita precisamentetale operazionefacemmo scender la medesima palla solamente per laquarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempodella sua scesasi trovava sempre puntualissimamente esser la metàdell'altro: e facendo poi l'esperienze di altre partiesaminando orail tempo di tutta la lunghezza col tempo della metào conquello delli duo terzi o de i 3/4o in conclusione con qualunquealtra divisioneper esperienze ben cento volte replicate sempres'incontravagli spazii passati esser tra di loro come i quadrati ei tempie questo in tutte le inclinazioni del pianocioè delcanale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancorai tempi delle scese per diverse inclinazioni mantener esquisitamentetra di loro quella proporzione che più a basso troveremoessergli assegnata e dimostrata dall'Autore. Quanto poi alla misuradel temposi teneva una gran secchia piena d'acquaattaccata inaltola quale per un sottil cannellinosaldatogli nel fondoversava un sottil filo d'acquache s'andava ricevendo con un piccolbicchiero per tutto 'l tempo che la palla scendeva nel canale e nellesue parti: le particelle poi dell'acquain tal guisa raccoltes'andavano di volta in volta con esattissima bilancia pesandodandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze eproporzioni de i tempi; e questo con tal giustezzachecome hodettotali operazionimolte e molte volte replicategià mainon differivano d'un notabil momento.

Simp. Gran sodisfazione arei ricevuta nel trovarmi presente atali esperienze: ma sendo certo della vostra diligenza nel farle efedeltà nel referirlemi quietoe le ammetto per sicurissimee vere.

Salv. Potremo dunque ripigliar la nostra letturae seguitareavanti.


COROLLARIO2

In secondo luogo si ricava chese si prendonoa partire dall'inizio del motodue spazi qualsiasipercorsi in tempi qualsiasii rispettivi tempi staranno tra di lorocome uno dei due spazi sta al medio proporzionale tra i due spazidati.


SCOLIO

Oraquanto si èdimostrato riguardo ai moti verticalisi intenda verificarsisimilmente anche nei moti sopra piani comunque inclinati: si èinfatti assunto chein questi ultimiil grado di accelerazioneaumenti sempre secondo la medesima proporzioneossia secondol'incremento del tempoo vogliam dire secondo la prima seriesemplice dei numeri.


Salv.Qui vorreiSig. Sagredoche a me ancora fosse permessose benforsi con troppo tedio del Sig. Simplicioil differir per un poco lapresente letturafin ch'io possa esplicare quanto dal detto edimostrato fin orae congiuntamente dalla notizia d'alcuneconclusioni mecaniche apprese già dal nostro Academicosovviemmi adesso di poter soggiugnere per maggior confermazione dellaverità del principio che sopra con probabili discorsi edesperienze fu da noi esaminatoanziquello più importapergeometricamente concluderlodimostrando prima un sol lemmaelementare nella contemplazione de gl'impeti.

Sagr. Mentre tale deva esser l'acquisto quale V. S. cipromettenon vi è tempo che da me volentierissimo non sispendessetrattandosi di confermare e interamente stabilire questescienze del moto: e quanto a menon solo vi concedo il potersatisfarvi in questo particolarema di più pregovi adappagare quanto prima la curiosità che mi avete in essosvegliata; e credo che il Sig. Simplicio abbia ancora il medesimosentimento.

Simp. Non posso dire altrimenti.

Salv. Già che dunque me ne date licenzaconsiderisi inprimo luogocome effetto notissimoche i momenti o le velocitàd'un istesso mobile son diverse sopra diverse inclinazioni di pianie che la massima è per la linea perpendicolarmente sopral'orizonte elevatae che per l'altre inclinate si diminuisce talvelocitàsecondo che quelle più dal perpendicolo sidiscostanocioè più obliquamente s'inclinano; ondel'impetoil talentol'energiao vogliamo dire il momentodeldescendere vien diminuito nel mobile dal piano soggettosopra ilquale esso mobile s'appoggia e descende.

E per meglio dichiararmiintendasi la linea ABperpendicolarmente eretta sopra l'orizonte AC; pongasi poi lamedesima in diverse inclinazioni verso l'orizonte piegatacome inADAEAFetc.: dicol'impeto massimo etotale del grave per descendere esser per la perpendicolare BAminor di questo per la DAe minore ancora per la EAesuccessivamente andarsi diminuendo per la più inclinata FAe finalmente esser del tutto estinto nella orizontale CAdoveil mobile si trova indifferente al moto e alla quietee non ha perse stesso inclinazione di muoversi verso alcuna partené menoalcuna resistenza all'esser mosso; poichésì come èimpossibile che un grave o un composto di essi si muova naturalmenteall'in sudiscostandosi dal comun centro verso dove conspirano tuttele cose gravicosì è impossibile che eglispontaneamente si muovase con tal moto il suo proprio centro digravità non acquista avvicinamento al sudetto centro comune:onde sopra l'orizontaleche qui s'intende per una superficieegualmente lontana dal medesimo centroe perciò affatto privad'inclinazionenullo sarà l'impeto o momento di detto mobile.

Appresa questa mutazione d'impetomi fa qui mestier esplicare quelloche in un antico trattato di mecanichescritto già in Padovadal nostro Academico sol per uso de' suoi discepolifu diffusamentee concludentemente dimostratoin occasione di considerare l'originee natura del maraviglioso strumento della vita; ed è con qualproporzione si faccia tal mutazione d'impeto per diverse inclinazionidi piani: comeper esempiodel piano inclinato AF tirando lasua elevazione sopra l'orizontecioè la linea FCperla quale l'impeto d'un grave ed il momento del descendere è ilmassimocercasi qual proporzione abbia questo momento al momentodell'istesso mobile per l'inclinata FA; qual proporzione dicoesser reciproca delle dette lunghezze: e questo sia il lemma dapremettersi al teoremache dopo io spero di poter dimostrare. Qui èmanifestotanto essere l'impeto del descendere d'un gravequanta èla resistenza o forza minima che basta per proibirlo e fermarlo: pertal forza e resistenzae sua misurami voglio servire della gravitàd'un altro mobile. Intendasi orasopra il piano FA posare ilmobile Glegato con un filo checavalcando sopra l'Fabbia attaccato un peso H; e consideriamo che lo spazio dellascesa o salita a perpendicolo di esso è ben sempre eguale atutta la salita o scesa dell'altro mobile G per l'inclinataAFma non già alla salita o scesa a perpendicolonella qual sola esso mobile G (sì come ogn'altromobile) esercita la sua resistenza. Il che è manifesto.Imperoché considerandonel triangolo AFC il moto delmobile Gper esempio all'in su da A in Fessercomposto del trasversale orizontale AC e del perpendicolareCF; ed essendo che quanto all'orizontalenessunacome s'èdettoè la resistenza del medesimo all'esser mosso (nonfacendo con tal moto perdita alcunané meno acquistoinriguardo della propria distanza dal comun centro delle cose graviche nell'orizonte si conserva sempre l'istessa); restala resistenzaesser solamente rispetto al dover salire la perpendicolare CF.Mentre che dunque il grave Gmovendosi da A in Fresiste solonel salirelo spazio perpendicolare CFma chel'altro grave H scende a perpendicolo necessariamente quantotutto lo spazio FAe che tal proporzione di salita e scesa simantien sempre l'istessapoco o molto che sia il moto de i dettimobili (per esser collegati insieme); possiamo assertivamenteaffermareche quando debba seguire l'equilibriocioè laquiete tra essi mobilii momentile velocitào le lorpropensioni al motocioè gli spazii che da loro sipasserebbero nel medesimo tempodevon rispondere reciprocamente alleloro gravitàsecondo quello che in tutti i casi de' movimentimecanici si dimostra: sì che basteràper impedire lascesa del Gche lo H sia tanto men grave di quelloquanto a proporzione lo spazio CF è minore dello spazioFA. Sia fattodunquecome FA ad FCcosìil grave G al grave H; ché allora seguiràl'equilibriocioè i gravi HG averanno momentiegualie cesserà il moto de i detti mobili. E perchésiamo convenutiche di un mobile tanto sia l'impetol'energiailmomentoo la propensione al motoquanta è la forza oresistenza minima che basta a fermarloe s'è concluso che ilgrave H è bastante a proibire il moto al grave Gadunque il minor peso Hche nella perpendicolare FCesercita il suo momento totalesarà la precisa misura delmomento parziale che il maggior peso G esercita per il pianoinclinato FA; ma la misura del total momento del medesimograve G è egli stesso (poiché per impedire lascesa perpendicolare d'un grave si richiede il contrastod'altrettanto graveche pur sia in libertà di muoversiperpendicolarmente); adunque l'impeto o momento parziale del Gper l'inclinata FAall'impeto massimo e totale dell'istesso Gper la perpendicolare FCstarà come il peso Hal peso Gcioèper la costruzionecome essaperpendicolare FCelevazione dell'inclinataalla medesimainclinata FA: che è quello che per lemma si propose didimostraree che dal nostro Autorecome vedrannovien supposto pernoto nella seconda parte della sesta proposizione del presentetrattato.

Sagr. Da questo che V. S. ha concluso fin quiparmi chefacilmente si possa dedurreargumentando ex æquali conla proporzione perturbatache i momenti dell'istesso mobile perpiani diversamente inclinaticome FAFIche abbinol'istessa elevazioneson fra loro in reciproca proporzione de'medesimi piani.

Salv. Verissima conclusione. Fermato questopasseròadesso a dimostrare il teoremacioè che:

I gradi di velocità d'un mobile descendente con moto naturaledalla medesima sublimità per piani in qualsivoglia modoinclinatiall'arrivo all'orizonte son sempre egualirimossigl'impedimenti.

Qui devesi prima avvertireche stabilito che in qualsivoglinoinclinazioni il mobile dalla partita dalla quiete vada crescendo lavelocitào la quantità dell'impetocon la proporzionedel tempo (secondo la definizione data dall'Autore al motonaturalmente accelerato)ondecom'egli ha per l'antecedenteproposizione dimostratogli spazii passati sono in duplicataproporzione de' tempie conseguentemente de' gradi di velocità;quali furono gl'impeti nella prima mossatali proporzionalmentesaranno i gradi delle velocità guadagnati nell'istesso tempopoiché e questi e quelli crescono con la medesima proporzionenel medesimo tempo.

Ora siail piano inclinato ABla sua elevazione sopra l'orizonte laperpendicolare ACe l'orizontale CB; e perchécome poco fa si è conclusol'impeto d'un mobile per laperpendicolare ACall'impeto del medesimo per l'inclinata ABsta come AB ad ACprendasi nell'inclinata AB laADterza proporzionale delle ABAC: l'impetodunque per AC all'impeto per la ABcioè per laADsta come la AC all'AD; e perciò ilmobile nell'istesso tempo che passerebbe lo spazio perpendicolare ACpasserà ancora lo spazio AD nell'inclinata AB(essendo i momenti come gli spazii)ed il grado di velocitàin C al grado di velocità in D averà lamedesima proporzione della AC alla AD. Ma il grado divelocità in B al medesimo grado in D sta come iltempo per AB al tempo per ADper la definizione delmoto acceleratoed il tempo per AB al tempo per AD stacome la medesima ACmedia tra le BAADallaADper l'ultimo corollario della seconda proposizione;adunque i gradi in B ed in C al grado in D hannola medesima proporzione della AC alla ADe peròsono eguali: che è il teorema che intesi di dimostrare.

Da questo potremo più concludentemente provare la seguenteterza proposizione dell'Autorenella quale egli si vale delprincipio; ed è che il tempo per l'inclinata al tempo per laperpendicolare ha l'istessa proporzione di essa inclinata eperpendicolare. Imperoché diciamo: quando BA sia iltempo per ABil tempo per AD sarà la media traessecioè la ACper il secondo corollario dellaseconda proposizione; ma quando AC sia il tempo per ADsarà anco il tempo per ACper essere le ADACscorse in tempi eguali; e però quando BA sia il tempoper ABAC sarà il tempo per AC; adunquecome AB ad ACcosì il tempo per AB altempo per AC.

Col medesimo discorso si proveràche il tempo per ACal tempo per altra inclinata AE sta come la AC alla AE;adunqueex æqualiil tempo per l'inclinata ABal tempo dell'inclinata AE sta omologamente come la ABalla AEetc.

Potevasi ancora dall'istesso progresso del teoremacome vedràbenissimo il Sig. Sagredodimostrar immediatamente la sestaproposizione dell'Autore: ma basti per ora tal digressioneche forsigli è riuscita troppo tediosabenché veramente diprofitto in queste materie del moto.

Sagr. Anzi di mio grandissimo gustoe necessarissima allaperfetta intelligenza di quel principio.

Salv. Ripiglierò dunque la lettura del testo.



TEOREMA3. PROPOSIZIONE 3

Se un medesimo mobile si muovea partire dalla quietesu un piano inclinato e lungo unaperpendicolareche abbiano eguale altezzai tempi dei moti starannotra di loro come le lunghezze del piano e dellaperpendicolare.


Sagr. Parmi che assai chiaramente e con brevità sipoteva concludere il medesimoessendosi già concluso che lasomma del moto accelerato de i passaggi per ACAB èquanto il moto equabile il cui grado di velocità sia sudduploal grado massimo CB; essendo dunque passati li due spazii ACAB con l'istesso moto equabilegià è manifestoper la proposizione prima del primoche i tempi de' passaggi sarannocome gli spazii medesimi.


COROLLARIO

Di qui si ricava che i tempiimpiegati a scendere su piani diversamente inclinatipurchéperò abbiano la medesima elevazionestanno tra di loro comele rispettive lunghezze.


TEOREMA 4. PROPOSIZIONE 4

I tempi dei moti su piani dieguale lunghezzama di diversa inclinazionestanno tra di loro insudduplicata proporzione delle elevazioni dei medesimi pianipermutatamente prese (in un rapporto pari alla radice quadrata delrapporto inverso tra le elevazioni).


TEOREMA 5. PROPOSIZIONE 5

La proporzione tra i tempi dellediscese su piani di diversa inclinazione e lunghezza e di elevazionepure disegualeè composta dalla proporzione tra le rispettivelunghezze e della sudduplicata proporzione delle elevazionipermutatamente prese.



TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6

Se dal più alto o dal piùbasso punto di un cerchio eretto sull'orizzonte si conducono pianiinclinati qualsiasi fino alla circonferenzai tempi delle disceselungo tali piani saranno eguali.


COROLLARIO1

Di qui si ricava che i tempidelle discese lungo tutte le corde condotte dagli estremi C oDsono tra di loro eguali.


COROLLARIO2

Si ricava inoltre chese da unmedesimo punto partono una perpendicolare e un piano inclinato taliche i tempi di discesa lungo di essi siano egualiquellaperpendicolare e quel piano inclinato risultano in unsemicerchioil cui diametro è la perpendicolare medesima.



COROLLARIO3

Si ricava anche che i tempi deimoti sopra piani inclinati sono eguali allorché le elevazionidi tratti eguali di tali piani staranno tra di esse come le lunghezzedei piani medesimi: si è infatti mostratonella penultimafigurache i tempi delle discese per CA e DA sonoegualiquando l'elevazione del tratto ABeguale ad ADossia BEsta alla elevazione DF come CA sta aDA.


Sagr. Sospenda in grazia V. S. per un poco la lettura dellecose che seguonosin che io mi vo risolvendo sopra certacontemplazione che pur ora mi si rivolge per la mente; la qualequando non sia una fallacianon è lontana dall'essere unoscherzo graziosoquali sono tutti quelli della natura o dellanecessità.

Èmanifestoche se da un punto segnato in un piano orizontale sifaranno produr sopra 'l medesimo piano infinite linee rette per tuttii versisopra ciascuna delle quali s'intenda muoversi un punto conmoto equabilecominciandosi a muover tutti nell'istesso momento ditempo dal segnato puntoe che siano le velocità di tuttiegualisi verranno conseguentemente a figurar da essi punti mobilicirconferenze di cerchituttavia maggiori e maggioriconcentricitutti intorno al primo punto segnato; giusto in quella maniera chevediamo farsi dall'ondette dell'acqua stagnantedopo che da alto visia caduto un sassettola percossa del quale serve per dar principiodi moto verso tutte le partie resta come centro di tutti i cerchiche vengon disegnatisuccessivamente maggiori e maggiorida esseondette. Ma se noi intenderemo un piano eretto all'orizonteed inesso piano notato un punto sublimedal quale si portano infinitelinee inclinate secondo tutte le inclinazionisopra le quali cifiguriamo descender mobili graviciascheduno con moto naturalmenteacceleratocon quelle velocità che alle diverse inclinazioniconvengono; posto che tali mobili descendenti fusser continuamentevisibiliin che sorti di linee gli vedremmo noi continuamentedisposti? Qui nasce la mia maravigliamentre le precedentidimostrazioni mi assicurano che si vedranno sempre tutti nell'istessacirconferenza di cerchi successivamente crescentisecondo che imobili nello scendere si vanno più e piùsuccessivamente allontanando dal punto sublimedove fu il principiodella lor caduta.

E per meglio dichiararmisegnisi il punto subblime Adal quale descendano lineesecondo qualsivogliano inclinazioni AFAHe laperpendicolare ABnella quale presi i punti CDdescrivansi intorno ad essi cerchi che passino per il punto Asegando le linee inclinate ne i punti FHBEGI: è manifestoper le antecedentidimostrazioniche partendosi nell'istesso tempo dal termine Amobili descendenti per esse lineequando l'uno sarà in El'altro sarà in G e l'altro in I; e cosìcontinuando di scenderesi troveranno nell'istesso momento di tempoin FHB; e continuando di muoversi questi edaltri infiniti per le infinite diverse inclinazionisi troverannosempre successivamente nelle medesime circonferenzefatte maggiori emaggiori in infinito. Dalle due specie dunque di motidelle quali lanatura si servenasce con mirabil corrispondente diversità lagenerazione di cerchi infiniti: quella si ponecome in sua sede eprincipio originarionel centro d'infiniti cerchi concentrici;questa si costituisce nel contatto subblime delle infinitecirconferenze di cerchitutti tra loro eccentrici: quelli nascono damoti tutti eguali ed equabili; questida moti tutti sempreinequabili in se stessie diseguali l'uno dall'altro tuttichesopra le differenti infinite inclinazioni si esercitano. Ma piùaggiunghiamoche se da i due punti assegnati per le emanazioni noiintenderemo eccitarsi linee non per due superficie soleorizontaleed erettama per tutti i versisì come da quellecominciandosi da un sol puntosi passava alla produzzione di cerchidal minimo al massimocosìcominciandosi da un sol puntosiverranno producendo infinite sfereo vogliam dire una sfera che ininfinite grandezze si andrà ampliandoe questo in duemaniere: cioèo col por l'origine nel centroo vero nellacirconferenza di tali sfere.

Salv. La contemplazione è veramente bellissimaeproporzionata all'ingegno del Sig. Sagredo.

Simp. Iorestando al meno capace della contemplazione soprale due maniere del prodursicon li due diversi moti naturaliicerchi e le sferese bene della produzzione dependente dal motoaccelerato e della sua dimostrazione non son del tutto intelligentetuttavia quel potersi assegnare per luogo di tale emanazione tanto ilcentro infimo quanto l'altissima sferica superficiemi fa credereche possa essere che qualche gran misterio si contenga in queste vereed ammirande conclusioni; misteriodicoattenente alla creazionedell'universoil quale si stima essere di forma sfericaed allaresidenza della prima causa.

Salv. Io non ho repugnanza al creder l'istesso. Ma similiprofonde contemplazioni si aspettano a più alte dottrine chele nostre: ed a noi deve bastare d'esser quei men degni arteficichedalle fodine scuoprono e cavano i marmine i quali poi gli scultoriindustri fanno apparire maravigliose immaginiche sotto roza edinforme scorza stavano ascoste. Orse così vi piaceseguiremo avanti.


TEOREMA7. PROPOSIZIONE 7

Se le elevazioni di due pianiavranno tra di loro una proporzione doppia di quella posseduta dallelunghezze dei medesimi pianisu di questi i moti a partire dallaquiete si compiranno in tempi eguali.


TEOREMA8. PROPOSIZIONE 8

Tra i piani delimitati da unmedesimo cerchio eretto sull'orizzontesu quelliche terminanonell'estremo inferiore o superiore del diametro perpendicolareitempi delle discese sono eguali al tempo della caduta lungo ildiametro; invece sui piani che non raggiungono il diametroi tempisono più brevi; infinesui piani che tagliano il diametrosono più lunghi.

TEOREMA9. PROPOSIZIONE 9

Se a partire da un punto di unalinea parallela all'orizzonte si conducono due piani comunqueinclinatie questi sono tagliati da una lineache formi con essiangoli permutatamente (inversamente) eguali agli angoliracchiusi dai medesimi piani e dalla orizzontalei moti lungo itratti intersecati dalla suddetta linea si compiranno in tempieguali.


TEOREMA 10. PROPOSIZIONE 10

I tempi dei moti sopra piani didiversa inclinazione ma di elevazione egualestanno tra di loro comele lunghezze dei piani medesimisia che i moti si svolgano a partiredalla quietesia che li preceda un moto da una medesimaaltezza .


TEOREMA 11. PROPOSIZIONE 11

Se il pianosul quale si svolgeil moto a partire dalla quieteviene diviso in un modo qualsiasiiltempo del moto lungo il primo tratto sta al tempo del moto lungo iltratto successivocome quel medesimo primo tratto sta all'eccessochesu di essoha la media proporzionale tra l'intero piano e ilsuo primo tratto.


TEOREMA 12. PROPOSIZIONE 12

Se una perpendicolare e un pianocomunque inclinato si intersecano tra di loro tra due medesime linee orizzontalie se si prendono le medieproporzionali tra ciascuno di essi e la rispettiva parte compresa trail punto comune di intersezione e la linea orizzontale superioreiltempo del moto lungo la perpendicolare starà al tempo del moto lungo la parte superiore della perpendicolare e poilungo la parte inferiore del piano secantenella medesimaproporzione che l'intera lunghezza della perpendicolare ha alla lineacomposta della media proporzionale presa sulla perpendicolareedell'eccesso dell'intero piano inclinato sulla propria mediaproporzionale.


PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 13

Data una perpendicolarecondurre ad essa un piano inclinato talecheavendo esso elevazioneeguale a quella della perpendicolareil moto su di esso dopo lacaduta lungo la perpendicolare si compia in un tempo eguale a quellodella caduta lungo la perpendicolare data a partire dalla quiete.


PROBLEMA 2. PROPOSIZIONE 14

Data una perpendicolare e datoun piano ad essa inclinatodeterminare nella parte superiore dellaperpendicolare un tratto taleche il tempo impiegato a percorrerlo apartire dalla quiete risulti eguale al tempo impiegato a percorrereil piano inclinato con moto successivo alla caduta lungo il suddettotratto di perpendicolare.


PROBLEMA 3. PROPOSIZIONE 15

Dati una perpendicolare e unpiano ad essa inclinatodeterminare sul prolungamento inferioredella perpendicolare un tratto taleche il tempo impiegato apercorrerlo risulti eguale al tempo impiegato a percorrere il pianoinclinato con moto successivo alla caduta lungo la perpendicolaredata.



TEOREMA 13. PROPOSIZIONE 16

Se in un punto convergono itratti di un piano inclinato e di una perpendicolaretali cherisultino eguali i tempi dei moti lungo di essi a partire dallaquieteun mobile che cada da una qualsiasi altezza piùelevata percorrerà più presto il tratto del pianoinclinato che non quello della perpendicolare.


COROLLARIO

Da questa e dalla precedenteproposizione si ricava chedopo una caduta dall'altolo spaziocheviene percorso lungo la perpendicolare nel medesimo tempo impiegato apercorrere un dato piano inclinatoè minore dello spazio cheviene percorso in tempo eguale a quello impiegato a percorrere ilpiano inclinato senza una precedente caduta dall'alto; tuttavia èmaggiore del piano inclinato stesso.


PROBLEMA 4. PROPOSIZIONE 17

Dati una perpendicolare e unpiano ad essa inclinatosegnare su questo un tratto taleche unmobiledopo essere caduto lungo la perpendicolare datalo percorrain un tempo eguale a quello impiegato a percorrere la medesimaperpendicolare a partire dalla quiete.



PROBLEMA 5. PROPOSIZIONE 18

Preso sulla perpendicolaredall'inizio del motouno spazio qualsiasiil quale sia percorso inun dato tempoe dato un altro tempo minore qualsiasideterminaresulla medesima perpendicolareun altro spazio (eguale inlunghezza al precedente)il quale venga percorso nel tempominore dato.



PROBLEMA 6. PROPOSIZIONE 19

Dato su una perpendicolare unospazio qualsiasi percorso dall'inizio del motoe dato il tempo dellacadutatrovare il tempo in cui il medesimo mobile percorresuccessivamente un altro spazio egualepreso in una parte qualsiasidella medesima perpendicolare.


COROLLARIO

Di qui si ricava chese si poneche il tempoimpiegato a percorrere un qualche spazio a partiredalla quietesia eguale allo spazio stessoil tempo impiegato apercorrerlodopo che si sia già percorso un altro spaziosarà eguale all'eccesso del medio proporzionale tra la sommadello spazio aggiunto più lo spazio dato e il medesimo spaziodatosul medio proporzionale tra il primo spazio e lo spazioaggiunto: ad esempioposto che il tempo del moto per AB apartire dalla quiete in A sia ABqualora si aggiungalo spazio ASil tempo del moto per AB dopo il moto perSA sarà eguale all'eccesso del medio proporzionale traSB e BA sul medio proporzionale tra BA e AS.


PROBLEMA 7. PROPOSIZIONE 20

Dato uno spazio qualsiasi epreso su di esso un tratto a partire dall'inizio del motodeterminare un altro trattoalla fine che sia percorsonello stesso tempo del primo tratto dato.


TEOREMA 14. PROPOSIZIONE 21

Se ha luogo una caduta lungo laperpendicolare a partire dalla quietee se si prendedall'iniziodel motoun trattopercorso in un tempo qualsiasicui segua unmoto deviato su un piano comunque inclinatolo spazio chesu talepianoviene percorso in un tempo eguale a quello della cadutaprecedentemente svoltasi lungo la perpendicolaresarà piùdel doppioma meno del triplodello spazio già percorsolungo la perpendicolare.


PROBLEMA 8. PROPOSIZIONE 22

Dati due tempi disegualie datolo spazio che viene percorso lungo la perpendicolare a partire dallaquiete nel più breve dei due tempi daticondurre dall'estremosuperiore della perpendicolare fino all'orizzonte un piano inclinatosul quale il mobile scenda in un tempo eguale al più lungo deitempi dati.


PROBLEMA 9. PROPOSIZIONE 23

Preso sulla perpendicolare unospazio percorso in un tempo qualsiasi a partire dalla quietecondurre dall'estremo inferiore di questo spazio un piano inclinatosul qualedopo la caduta lungo la perpendicolarevenga percorso nelmedesimo tempo uno spazio eguale a uno spazio dato qualsiasipurchésuperiore al doppioma inferiore al triplodello spazio percorsolungo la perpendicolare.


SCOLIO

Se si considera attentamenteapparirà manifesto chequanto meno manca alla linea data IRper raggiungere il triplo della ACtanto maggiormente ilpiano inclinatosul quale deve svolgersi il secondo movimentocomead esempio COsi avvicina alla perpendicolaree finalmentelungo quest'ultimaviene percorso in un tempo eguale ad ACuno spazio che è tre volte AC. InfattiallorchéIR sarà prossima al triplo di ACIM saràquasi eguale ad MN; e poichéper costruzionecome IMsta ad MN così AC sta a CEne risultache la medesima CE si trova ad essere di poco maggiore dellaCAedi conseguenzail punto E si trova ad essereprossimo al punto Ae CO forma con CS un angolomolto acutocoincidendo quasi l'una con l'altra. Viceversase lalinea data IR sarà di pochissimo superiore al doppiodella medesima ACIM sarà una linea brevissima;ne verrà che anche la AC sarà minima rispettoalla CEla quale sarà lunghissima e quanto piùprossima alla parallela orizzontale passante per C. E di quipossiamo ricavare chese nella figura accanto dopo la discesa sulpiano inclinato AC il moto viene riflesso lungo la lineaorizzontalequale sarebbe CTlo spazio che il mobilesuccessivamente percorrerebbe in un tempo eguale al tempo delladiscesa per ACsarebbe esattamente doppio dello spazio AC.Sembra inoltre che qui sia anche adatto un consimile ragionamento:infattiè chiarodal fatto che OE sta ad EFcome FE ad ECche proprio la FC determina iltempo della discesa per CO. Se poi il tratto orizzontale TCdoppio di CAvien diviso a metà in Vprolungato verso X si estenderà all'infinito prima chepossa incontrare il prolungamento di AEe la proporzionedella linea infinita TX all'infinita VX non saràdiversa dalla proporzione dell'infinita VX all'infinita XC.

A questa stessa conclusionesaremmo potuti giungere seguendo un altro procedimentorifacendo unragionamento consimile a quello seguìto nella dimostrazionedella proposizione prima.

Riprendiamoinfattiil triangolo ABCche sulle parallele alla base BCci rappresenta i gradi di velocità continuamente aumentatisecondo il crescere del tempole quali essendoinfinitesiccome infiniti sono i punti nella linea AC e gliistanti in un tempo qualsiasidaranno origine alla superficie stessadel triangolo; se intendiamo che il moto continui per altrettantotempoma non più acceleratobensì equabilesecondoil massimo grado della velocità acquistatail quale grado èrappresentato dalla linea BC; tali gradi di velocitàformeranno un aggregato simile al parallelogramma ADBCche èdoppio del triangolo ABC: perciò lo spazio percorso nelmedesimo tempo con gradi di velocità consimili (tuttieguali a BC)sarà doppio dello spazio percorso coi gradidi velocità rappresentati dal triangolo ABC. Ma su unpiano orizzontale il moto è equabileallorché nonintervenga nessuna causa di accelerazione o di ritardamento; dunquesi conclude che lo spazio CD percorso in un tempo eguale altempo AC è doppio dello spazio AC: infattiquest'ultimo viene percorso con moto accelerato a partire dallaquietesecondo le parallele del triangolo; quelloinvecesecondole parallele del parallelogrammale qualiquando siano prese nellaloro infinitàrisultano doppie delle infinite parallele deltriangolo.

Inoltreè lecitoaspettarsi chequalunque grado di velocità si trovi in unmobilegli sia per sua natura indelebilmente impressopurchésiano tolte le cause esterne di accelerazione o di ritardamento; ilche accade soltanto nel piano orizzontale; infatti nei piani decliviè di già presente una causa di accelerazionementre inquelli acclivi <è già presente una causa> diritardamento: da ciò segue parimenti che il moto sul pianoorizzontale è anche eterno; infattise è equabilenonscema o diminuiscené tanto meno cessa. E per di piùpoiché esiste un grado di velocità acquistato dalmobile nella discesa naturalee poiché esso èper suanaturaindelebile ed eternobisogna considerare chese dopo ladiscesa per un piano declive il moto viene riflesso su un altro pianoacclivesu quest'ultimo interviene già una causa diritardamento: su tale pianoinfattiil medesimo mobile scendenaturalmente; perciò ne nasce una certa mescolanza diproprietà contrariecioè del grado di velocitàche è stato acquistato nella precedente discesail quale di per se stesso porterebbe il mobile amuoversi all'infinito di moto uniformee della naturale propensioneal moto deorsum secondo quella medesima proporzione diaccelerazione con la quale sempre si muove. Perciòinvestigando su che cosa accade allorché il mobiledopo ladiscesa per un piano decliveviene riflesso su un piano acclivesembrerà oltremodo ragionevole ammettere che il massimo gradodi velocità acquistato nella discesa per sé si conservisempre lo stesso sul piano ascendente; e che tuttavia nella ascesagli si aggiunga la naturale inclinazione deorsumcioèun moto accelerato a partire dalla quiete sempre secondo unaproporzione data. Se poi tali cose risulteranno troppo oscure daintenderesi faranno più chiare con l'aiuto di qualchedisegno.

Si intenda pertanto che ladiscesa si sia svolta sul piano declive ABe che in séguitoil moto continui riflesso su un altro piano acclive BC; einprimo luogoi piani siano eguali ed elevati sull'orizzonte GHcon angoli eguali: già sappiamo che ilmobileche discende per AB a partire dalla quiete in Aacquista gradi di velocità secondo il crescere del tempo;inoltre che il grado di velocità acquistato in Bè il massimoe per sua natura immutabilmente impressorimosse beninteso le cause di nuova accelerazione o di ritardamento:vogliam diredi accelerazionese procede ancora sulprolungamento del medesimo piano; di ritardamentoallorchéviene riflesso sul piano acclive BC: ma sul piano orizzontaleGH il moto continuerebbe equabile all'infinitocol grado divelocità acquistato in B nella discesa da A; ela velocità sarebbe taleche in un tempo eguale al tempodella discesa per AB percorrerebbe sull'orizzonteuno spazio doppio del medesimo AB. Immaginiamo ora che ilmedesimo mobile con il medesimo grado di velocità si muovaequabilmente sul piano BCsì cheanche su questoinun tempo eguale al tempo della discesa per ABpercorrerebbesul prolungamento di BC uno spazio doppio del medesimo spazioAB; intendiamo tuttavia chenon appena comincia a salirepersua medesima natura gli sopravviene ciò stesso che gli accadde da A sul piano ABcioè un motodi discesa a partire dalla quiete secondo medesimi gradi diaccelerazionein virtù dei qualicome già accadde sulpiano ABin uno stesso tempo scenderebbe sul piano riflessoper uno spazio eguale a quello percorso in discesa su AB: èmanifesto cheper tale mescolanza di moto ascendente equabile e dimoto discendente acceleratoil mobile verrà spinto sul pianoBC fino all'estremo C secondo i medesimi gradi divelocitàche risulteranno eguali. Presi infatti due puntiqualsiasi D ed Ead eguale distanza dall'angolo Bpotremo ricavare che la discesa per DB avverrà in untempo eguale al tempo del moto riflesso per BE. Tracciata laDFessa sarà parallela alla BC; è notoinfatti che il moto di discesa per AD viene riflesso lungo laDF: orase dopo D il mobile si muovessesull'orizzontale DEl'impeto in E sarebbe egualeall'impeto in D; dunqueda E salirebbe fino in C;dunqueil grado di velocità in D è eguale algrado in E.

Da ciòpertantopossiamo ragionevolmente asserire chese ha luogo la discesa su unqualche piano inclinato e dopo di essa ha luogo la riflessione su unpiano ascendenteil mobilein virtù dell'impeto acquistatosalirà fino alla medesima altezza o elevazione dall'orizzonte;ad esempio

sela discesa si svolge lungo ABil mobile si muoverà sulpiano riflesso BC fino all'orizzontale ACDnonsoltanto se i piani avranno eguale inclinazionema anche se sarannodi inclinazione disegualecome il piano BD: infattiabbiamoprima assunto che i gradi di velocitàche si acquistano supiani diversamente inclinatirisultano eguali a condizione che siaeguale la elevazione di quegli stessi piani sull'orizzonte. Seinfatti l'inclinazione dei piani EB e BD fosse lamedesimala discesa per EB sarebbe in grado di spingere ilmobile sul piano BD fino al punto D; ma tale spinta haluogo in virtù dell'impeto di velocità acquistato nelpunto Be in B l'impeto è lo stessosia che ilmobile scenda per ABsia che scenda per EB; ne risultaallora che il mobile sarà spinto sul piano BD dopo ladiscesa per AB allo stesso modo che dopo la discesa per EB.Accadrà però che il tempo della salita sul piano BDsarà più lungo del tempo della salita sul piano BCsiccome anche la discesa per EB avviene in un tempo piùlungo di quella per AB; del restoabbiamo giàdimostrato che la proporzione dei tempi è eguale a quelladelle lunghezze dei piani. Ci resta ora da investigare la proporzionetra gli spazi percorsi in tempi eguali su pianiche abbiano diverseinclinazionima eguale elevazionecioè che siano compresientro le medesime parallele orizzontali. Ciò avviene secondola seguente proporzione.


TEOREMA 15. PROPOSIZIONE 24

Siano dati entro le medesime parallele orizzontaliuna perpendicolaree un piano inclinato innalzato dall'estremo inferiore di essa: lospazioche il mobile dopo la caduta lungo la perpendicolare percorresul piano ascendente in un tempo eguale al tempo della cadutaèmaggiore della stessa perpendicolarema minore del doppio di essa.


TEOREMA 16. PROPOSIZIONE 25

Sedopo la caduta lungo unpiano inclinatoil moto prosegue sul piano dell'orizzonteil tempodella caduta lungo il piano inclinato starà al tempo del motolungo un qualsiasi tratto dell'orizzontecome il doppio dellalunghezza del piano inclinato sta al tratto orizzontale preso.


PROBLEMA 10. PROPOSIZIONE 26

Data una perpendicolare tra linee parallele orizzontalie dato uno spaziomaggiore della medesima perpendicolarema minore del doppio di essadall'estremo inferiore della perpendicolare innalzare tra quelle medesime paralleleun piano tale che il mobilese riflesso su questo piano dopo la discesa lungo la perpendicolarepercorra uno spazio eguale a quello datoe in un tempo eguale altempo della discesa lungo la perpendicolare.


TEOREMA 17. PROPOSIZIONE 27

Se un mobile scende su pianidisegualima aventi la medesima elevazionelo spazioche vienepercorso nella parte inferiore del piano più lungo in un tempoeguale a quello impiegato a percorrere l'intero piano piùbreveè eguale allo spazio composto dello stesso piano piùbreve e di quel tratto rispetto al quale il medesimo piano piùbreve ha una proporzione pari a quella che il piano più lungoha rispetto all'eccesso del più lungo sul più breve.


PROBLEMA 11. PROPOSIZIONE 28

La linea orizzontale AGsia tangente a un cerchioe dal punto di contatto si conduca ildiametro AB; si considerino inoltre due corde qualsiasi AEB:bisogna determinare la proporzione del tempo della caduta lungo ABal tempo della discesa lungo ambedue le corde AEB.


TEOREMA 18. PROPOSIZIONE 29

Sia dato uno spazio orizzontalequalsiasie dal suo estremo sia innalzata la perpendicolaresullaquale si prenda un tratto eguale alla metà dello spazioorizzontale dato; il mobileche scenda da tale altezza e sia deviatosul piano orizzontalepercorrerà lo spazio orizzontale e laperpendicolarepresi insiemein più breve tempo di un qualsiasi altro tratto dellaperpendicolare insieme al medesimo spazio orizzontale.


TEOREMA 19. PROPOSIZIONE 30

Se da un punto di una lineaorizzontale scende una perpendicolare e da un altro puntopresosulla medesima orizzontalesi deve condurre fino alla perpendicolareun piano inclinatosul quale il mobile impieghi il tempo piùbreve per scendere fino alla perpendicolare; tale piano saràquello che stacca dalla perpendicolare un tratto eguale alla distanzache intercorre tra il punto preso sull'orizzontale el'estremo della perpendicolare.


TEOREMA20. PROPOSIZIONE 31

Setracciata una linea rettacomunque inclinata sull'orizzontalesi conduce da un dato puntodell'orizzontale fino alla linea inclinata il pianosul quale ladiscesa si svolge nel tempo più brevetale piano saràquello che divide a metà l'angolo compreso tra le dueperpendicolari chedal punto datovengano condottel'una allalinea orizzontalel'altra alla linea inclinata.


LEMMA

Date due circonferenze tangentiinternamente l'una all'altrase una retta qualsiasi ètangente alla circonferenza interna e interseca la circonferenzaesternale tre linee condotte dal punto di contatto dellecirconferenze ai tre punti della linea retta tangente - cioèal punto di contatto di essa con la circonferenza interna e ai duepunti di intersezione di essa con la circonferenza esterna -formeranno angoli eguali il punto di contattodelle circonferenze.


TEOREMA21. PROPOSIZIONE 32

Se sull'orizzontale si prendonodue punti ea partire da uno di essisi traccia una qualsiasi lineainclinata verso la parte dell'altro puntoe se a partire daquest'ultimo si conduce una linea rettala quale incontri lapredetta inclinata determinando su di essa un tratto eguale alladistanza fra i due punti dati sull'orizzontalela caduta lungoquesta retta si compirà più presto che non lungoqualsiasi altra retta condotta da quel medesimo punto fino aincontrare la medesima inclinata. Prese poi due rette qualsiasicheformino con la retta data due angoli eguali da una parte edall'altrai tempi di caduta lungo di esse saranno eguali tra diloro.


PROBLEMA12. PROPOSIZIONE 33

Dati una perpendicolare e unpiano ad essa inclinatoche abbiano la medesima altezza e lo stessoestremo superioretrovare lungo la perpendicolareal di sopradell'estremo in comuneun punto taleche se da esso si lasciacadere un mobileil quale venga poi fatto deviare sul pianoinclinato percorra questo piano nello stesso tempo incui percorrerebbe la perpendicolare a partire dalla quiete.


PROBLEMA13. PROPOSIZIONE 34

Dati un piano inclinato e unaperpendicolareche abbiano il medesimo estremo superioretrovaresul prolungamento della perpendicolare un punto più altotale che un mobileil quale cada da esso esia deviato sul piano inclinatoli percorra entrambi in un tempoeguale a quello in cui percorrerebbe il solo piano inclinato dalla quiete nell'estremo superiore di questo.


PROBLEMA14. PROPOSIZIONE 35

Data una perpendicolare e datauna retta inclinata su di essadeterminare sull'inclinata un trattoil quale da solo a partire dalla quietesiapercorso in un tempo eguale a quello impiegato a percorrere lamedesima inclinata insieme alla perpendicolare.


TEOREMA 22. PROPOSIZIONE 36

Se in un cerchioerettosull'orizzontedal suo punto più basso si innalza un pianoinclinatoil quale sottenda un arco non maggiore di un quadranteese dagli estremi di tale piano si conducono due altri piani inclinatia un qualsiasi punto dell'arcola discesa lungo questi due ultimi piani inclinati si compirà in minor tempoche lungo il solo primo piano inclinatoo che lungo uno soltanto diquesti due ultimi pianie precisamente l'inferiore.


SCOLIO

Da quanto si è dimostratosembra si possa ricavare che il movimento più veloce daestremo ad estremo non avviene lungo la linea più brevecioèla rettama lungo un arco di cerchio. Infattinel quadrante BAECil cui lato BC sia eretto sull'orizzontesi divida l'arco ACin un numero qualsiasi di parti eguali ADDEEFFGGC; da C si conducano le corde ai punti ADEFGe si traccino pure le cordeADDEEFFGG C: èmanifesto che il movimento lungo le due corde ADCsi compie più presto che lungo la sola ACo lungo DCa partire dalla quiete in D. Ma a partire dalla quiete in ADC viene percorsa più presto di ADC: ma lungo ledue DEC a partire dalla quiete in Aèverisimile che la discesa si compia più presto che non lungola sola CD: dunquela discesa lungo le tre corde ADECsi compie più presto che non lungo le due ADC. Esimilmentedopo la discesa lungo ADEil movimento si svolgepiù presto lungo le due corde EFC che non lungo la solaEC; dunquelungo le quattro corde ADEFC il movimentosi svolge più presto che non lungo le tre ADEC. Einfinelungo le due corde FGCdopo la discesa lungo ADEFil movimento si compie più presto che non lungo la sola FC;dunquelungo le cinque corde ADEFGC la discesa si svolge inun tempo ancora più breve che non lungo le quattro ADEFC.Pertantoquanto piùcon poligoni inscritti (poligonaliiscritte) ci avviciniamo alla circonferenzatanto piùpresto si compie il moto tra i due segnati estremi A e C.

Ciò che si èmostrato in un quadranteaccade anche in un arco di circonferenzaminore di un quadrante; e identico è il ragionamento.


PROBLEMA 15. PROPOSIZIONE 37

Dati una perpendicolare e unpiano inclinatoche abbiano la medesima elevazionetrovare sulpiano inclinato un trattoil quale sia eguale alla perpendicolare evenga percorso nello stesso tempo di quest'ultima.


PROBLEMA 16. PROPOSIZIONE 38

Dati due piani orizzontaliintersecati da una perpendicolaretrovare su questain altounpunto taleche due mobilii quali cadano da quel punto e venganodeviati sui piani orizzontalipercorrano su di questicioèsul piano orizzontale superiore e su quello inferiorein tempieguali a quelli della loro cadutaspazi tali cheabbiano tra loro una proporzione eguale a una qualsiasi proporzionedata fra una minore e una maggiore.


Sagr. Parmi veramente che conceder si possa al nostroAccademicoche egli senza iattanza abbia nel principio di questo suotrattato potuto attribuirsi di arrecarci una nuova scienza intorno aun suggetto antichissimo. Ed il vedere con quanta facilità echiarezza da un solo semplicissimo principio ei deduca ledimostrazioni di tante proposizionimi fa non poco maravigliare cometal materia sia passata intatta da ArchimedeApollonioEuclide etanti altri matematici e filosofi illustrie massime che del moto sitrovano scritti volumi grandi e molti.

Salv. Si vede un poco di fragmento d'Euclide intorno al motoma non vi si scorge vestigio che egli s'incaminasseall'investigazione della proporzione dell'accelerazione e delle suediversità sopra le diverse inclinazioni. Tal che veramente sipuò direessersi non prima che ora aperta la porta ad unanuova contemplazionepiena di conclusioni infinite ed ammirandelequali ne i tempi avenire potranno esercitare altri ingegni.

Sagr. Io veramente credoche sì come quelle pochepassioni (dirò per esempio) del cerchiodimostrate nel terzode' suoi Elementi da Euclidesono l'ingresso ad innumerabili altrepiù reconditecosì le prodotte e dimostrate in questobreve trattatoquando passasse nelle mani di altri ingegnispecolativisarebbe strada ad altre ed altre piùmaravigliose; ed è credibile che così seguirebbemediante la nobiltà del soggetto sopra tutti gli altrinaturali.

Lunga ed assai laboriosa giornata è stata questa d'ogginellaquale ho gustato più delle semplici proposizioni che delleloro dimostrazionimolte delle quali credo cheper ben capirlemiporteranno via più d'un'ora per ciascheduna: studio che miriserbo a farlo con quietelasciandomi V. S. il libro nelle manidopo che avremo veduto questa parte che resta intorno al moto de iproietti; che saràse così gli piacenel seguentegiorno.

Salv. Non mancherò d'esser con lei.


Finisce la terza Giornata

 

GIORNATA QUARTA


Salv. Attempo arriva ancora il Sig. Simplicio; peròsenza interpor quietevenghiamo al moto: ed ecco il testo del nostroAutore.


DELMOTO DEI PROIETTI


Le proprietà che sipresentano nel moto equabilecome pure nel moto naturalmenteaccelerato su piani di qualsiasi inclinazionele abbiamo consideratesopra. Nella trattazioneche ora cominciocercherò dipresentaree di stabilire sulla base di salde dimostrazionialcunifenomeni notevoli e degni di essere conosciutiche sono propri di unmobilementre si muove con moto composto di un duplice movimentocioè di un movimento equabile e di uno naturalmenteaccelerato: tale appunto sembra essere quello che chiamiamo moto deiproietti; la generazione del quale così stabilisco.

Immagino di avere un mobilelanciato su un piano orizzontalerimosso ogni impedimento: giàsappiamoper quello che abbiamo detto più diffusamentealtroveche il suo moto si svolgerà equabile e perpetuo sulmedesimo pianoqualora questo si estenda all'infinito; se inveceintendiamo limitato e posto in altoil mobilecheimmagino dotato di gravitàgiunto all'estremo del piano econtinuando la sua corsaaggiungerà al precedente movimentoequabile e indelebile quella propensione all'ingiù dovuta allapropria gravità: ne nasce un moto composto di un motoorizzontale equabile e di un moto deorsum naturalmenteacceleratoil quale chiamo proiezione. Nedimostreremo parecchie proprietà: la prima delle quali sia .


TEOREMA1. PROPOSIZIONE 1

Un proiettomentre si muove dimoto composto di un moto orizzontale equabile e di un moto deorsumnaturalmente acceleratodescrive nel suo movimento una lineasemiparabolica.


Sagr. È forzaSig. Salviatiin grazia di meed ancocredo iodel Sig. Simpliciofar qui un poco di pausa; avvenga cheio non mi son tanto inoltrato nella geometriache io abbia fattostudio in Apolloniose non in quanto so ch'ei tratta di questeparabole e dell'altre sezzioni conichesenza la cognizione dellequali e delle lor passioni non credo che intendersi possano ledimostrazioni di altre proposizioni a quelle aderenti. E perchégià nella bella prima proposizione ci vien propostodall'Autoredoversi dimostrarela linea descritta dal proiettoesser parabolicami vo imaginando chenon dovendosi trattar d'altroche di tali lineesia assolutamente necessario avere una perfettaintelligenzase non di tutte le passioni di tali figure dimostrateda Apollonioalmeno di quelle che per la presente scienza sonnecessarie.

Salv. V. S. si umilia moltovolendosi far nuovo di quellecognizioni le quali non è gran tempo che ammesse come bensaputealloradicoche nel trattato delle resistenze avemmobisogno della notizia di certa proposizione d'Apolloniosopra laquale ella non mosse difficoltà.

Sagr. Può essere o che io la sapessi per ventura o cheio la supponessi per una volta tanto che ella mi bisognò intutto quel trattato: ma quidove mi imagino d'avere a sentir tuttele dimostrazioni circa tali lineenon bisognacome si dicebevergrossobuttando via il tempo e la fatica.

Simp. E poirispetto a mequando benecome credoil Sig.Sagredo fusse ben corredato di tutti i suoi bisognia me comincianogià a giugner come nuovi gli stessi primi termini; perchése bene i nostri filosofi hanno trattata questa materia del moto de'proiettinon mi sovvien che si siano ristretti a definire qualisiano le linee da quelli descrittesalvo che assai generalmente siansempre linee curveeccetto che nelle proiezzioni perpendicolarisursum. Peròquando quel poco di geometria che io hoappreso da Euclideda quel tempo in qua che noi avemmo altridiscorsinon sia bastante per rendermi capace delle cognizioninecessarie per l'intelligenza delle seguenti dimostrazionimiconverrà contentarmi delle sole proposizioni credutema nonsapute.

Salv. Anzi voglio io che le sappiate mercé dell'istessoAutor dell'operail qualequando già mi concesse di vederquesta sua faticaperché io ancora in quella volta non avevain pronto i libri di Apollonios'ingegnò di dimostrarmi duepassioni principalissime di essa parabolasenza veruna altraprecognizionedelle quali sole siamo bisognosi nel presentetrattato: le quali son ben anco provate da Apollonioma dopo moltealtreche lungo sarebbe a vederle; ed io voglio che abbreviamo assaiil viaggiocavando la prima immediatamente dalla pura e semplicegenerazione di essa parabolae da questa poi pure immediatamente ladimostrazione della seconda. Venendo dunque alla prima:

Intendasi il cono rettola cui base sia il cerchio ibkcevertice il punto lnel qualesegato con un piano paralleloal lato lknasca la sezzione bacdetta parabola;la cui base bc seghi ad angoli retti il diametro ik delcerchio ibkce sia l'asse della parabola ad paralleloal lato lk; e preso qualsivoglia punto f nella lineabfatirisi la retta fe parallela alla bd: dicoche il quadrato della bd al quadrato della fe ha lamedesima proporzione che l'asse da alla parte ae. Peril punto e intendasi passare un piano parallelo al cerchioibkcil quale farà nel cono una sezzione circolareilcui diametro sia la linea geh: e perché sopra ildiametro ik del cerchio ibk la bd èperpendicolaresarà il quadrato della bd eguale alrettangolo fatto dalle parti iddk; e parimente nelcerchio superioreche s'intende passare per i punti gfhil quadrato della linea fe è eguale alrettangolo delle parti geh; adunque il quadrato della bdal quadrato della fe ha la medesima proporzione che ilrettangolo idk al rettangolo geh. E perché lalinea ed è parallela alla hksarà la eheguale alla dkche pur son parallele: e però ilrettangolo idk al rettangolo geh arà la medesimaproporzione che la id alla gecioè che la daalla ae: adunque il rettangolo idk al rettangolo gehcioè il quadrato bd al quadrato feha lamedesima proporzione che l'asse da alla parte ae: chebisognava dimostrare.

L'altra proposizionepur necessaria al presente trattatocosìfaremo manifesta.

Segniamo la paraboladella quale sia prolungato fuori l'asse cain de preso qualsivoglia punto bper esso intendasiprodotta la linea bcparallela alla base di essa parabola; eposta la da eguale alla parte dell'asse cadico che laretta tirata per i punti db non cade dentro allaparabolama fuorisì che solamente la tocca nell'istessopunto b. Imperò chese è possibilecaschidentrosegandola sopraoprolungatasegandola sottoed in essasia preso qualsivoglia punto gper il quale passi la rettafge. E perché il quadrato fe è maggioredel quadrato gemaggior proporzione avrà esso quadratofe al quadrato bc che 'l quadrato ge al medesimobc; e perchéper la precedenteil quadrato feal quadrato bc sta come la ea alla acadunquemaggior proporzione ha la ea alla ac che 'l quadrato geal quadrato bccioè che 'l quadrato ed alquadrato dc (essendo che nel triangolo dge come la gealla parallela bccosì sta ed a dc): mala linea ea alla accioè alla adha lamedesima proporzione che 4 rettangoli ead a 4 quadrati di adcioè al quadrato cd (che è eguale a 4 quadratidi ad): adunque 4 rettangoli ead al quadrato cdaranno maggior proporzione che il quadrato ed al quadrato dc:adunque 4 rettangoli ead saranno maggiori del quadrato ed:il che è falsoperché son minori; imperò che leparti eaad della linea ed non sono eguali.Adunque la linea db tocca la parabola in be non lasega: il che si doveva dimostrare.

Simp. Voi procedete nelle vostre dimostrazioni troppo allagrandeed andate sempreper quanto mi paresupponendo che tutte leproposizioni di Euclide mi siano così familiari e prontecomegli stessi primi assiomiil che non è. E pur ora l'uscirmiaddossoche 4 rettangoli ead son minori del quadrato deperché le parti eaad della linea ed nonsono equalinon mi quietama mi lascia sospeso.

Salv. Veramente tutti i matematici non vulgari suppongono cheil lettore abbia prontissimi al meno gli Elementi di Euclide: e quiper supplire al vostro bisognobasterà ricordarvi unaproposizione del secondonella quale si dimostrache quando unalinea è segata in parti eguali ed in disegualiil rettangolodelle parti diseguali è minore del rettangolo delle partieguali (cioè del quadrato della metà) quanto èil quadrato della linea compresa tra i segamenti; onde èmanifesto che il quadrato di tuttail quale contiene 4 quadratidella metàè maggiore di 4 rettangoli delle partidiseguali. Oradi queste due proposizioni dimostrateprese da glielementi coniciconviene che tenghiamo memoria per l'intelligenzadelle cose seguenti nel presente trattato: ché di queste solee non di piùsi serve l'Autore. Ora possiamo ripigliare iltestoper vedere in qual maniera ei vien dimostrando la sua primaproposizionedove egli intende di provarci la linea descritta dalmobile graveche mentre ci descende con moto composto dell'equabileorizontale e del naturale descendentesia una semiparabola.


Si intenda la linea orizzontaleossia il piano ab posto in altoe un mobile si muova su diesso da a in b di moto equabile; mancando ora ilsostegno del piano in bsopravvenga al medesimo mobileperla propria gravitàun moto naturale deorsum secondo laperpendicolare bn. Si intenda inoltre che la linea bela quale prosegue il piano ab per dirittorappresenti loscorrere del tempoossia la misurae su di essa sisegnino ad arbitrio un numero qualsiasi di porzioni di tempo egualibccdde; inoltre dai punti bcde si intendano condotte linee equidistanti dallaperpendicolare bn: sulla prima di esse si prenda una partequalsiasi ci; sulla successiva se ne prenda unaquattro volte maggioredf; una nove voltemaggioreeh; e così di séguito sulle altrelinee secondo la proporzione dei quadrati delle cbdbebo vogliam dire in duplicataproporzione delle medesime. Se poi intendiamo che al mobileil qualesi muove oltre b verso c con moto equabilesi aggiungaun movimento di discesa perpendicolare secondo la quantità cinel tempo bc si troverà situatonell'estremo i. Ma continuando a muoversinel tempo dbcioè doppio di bcsarà discesoper uno spazio quattro volte maggiore del primo spazio ci;abbiamo infatti dimostrato nel primo trattatoche gli spazi percorsida un gravecon moto naturalmente acceleratosono in duplicataproporzione dei tempi: e parimentiil successivo spazio ehpercorso nel tempo besarà nove : sì che risulterà manifesto che gli spaziehdfci stanno tra di loro come i quadratidelle linee ebdbcb. Si conducano ora daipunti ifh le rette iofghlequidistanti dalla medesima eb: le linee hlfgio saranno egualiad una ad unaalle linee ebdbcb; e così pure le linee bobgblsaranno eguali alle linee cidfeh; inoltre ilquadrato di hl starà al quadrato di fg come lalinea lb sta alla bge il quadrato di fg staràal quadrato di io come gb sta a bo; dunqueipunti ifh si trovano su un unica e medesimalinea parabolica. Similmente si dimostrerà chepreso unnumero qualsiasi di particole di tempo eguali di qualunque grandezzai puntiche il mobile mosso di un simile moto composto occuperàin quei tempisi troveranno su una medesima linea parabolica. Èdunque manifesto quello che ci eravamo proposti.


Salv. Questa conclusione si raccoglie dal converso della primadelle due proposizioni poste di sopra. Imperò chedescrittaper esempiola parabola per li punti bhse alcunodelli 2 fi non fusse nella descritta lineaparabolicasarebbe dentro o fuorieper conseguenzala linea fgsarebbe o minore o maggiore di quella che andasse a terminare nellalinea parabolica; onde il quadrato della hl non al quadratodella fgma ad altro maggiore o minorearebbe la medesimaproporzione che ha la linea lb alla bg: ma la ha alquadrato della fg: adunque il punto f è nellaparabolica: e così tutti gli altrietc.

Sagr. Non si può negare che il discorso sia nuovoingegnoso e concludenteargomentando ex suppositionesupponendo cioè che il moto traversale si mantenga sempreequabilee che il naturale deorsum parimente mantenga il suotenored'andarsi sempre accelerando secondo la proporzion duplicatade i tempie che tali moti e loro velocitànel mescolarsinon si alterino perturbino ed impedischinosì che finalmentela linea del proietto non vadianella continuazion del motoadegenerare in un'altra spezie: cosa che mi si rappresenta comeimpossibile. Imperò chestante che l'asse della parabolanostrasecondo 'l quale noi supponghiamo farsi il moto naturale de igraviessendo perpendicolare all'orizonteva a terminar nel centrodella terra; ed essendo che la linea parabolica si va sempreslargando dal suo asse; niun proietto andrebbe già mai aterminar nel centroose vi andrebbecome par necessariola lineadel proietto tralignerebbe in altradiversissima dalla parabolica.

Simp. Io a queste difficoltà ne aggiungo dell'altre:una delle quali èche noi supponghiamo che il pianoorizontaleil quale non sia né acclive né declivesiauna linea rettaquasi che una simil linea sia in tutte le sue partiegualmente distante dal centroil che non è vero; perchépartendosi dal suo mezova verso le estremità sempre piùe più allontanandosi dal centroe però ascendendosempre; il che si tira in conseguenzaessere impossibile che il motosi perpetuianzi che né pur per qualche spazio si mantengaequabilema ben sempre vadia languendo. In oltreèper miocredereimpossibile lo schivar l'impedimento del mezosì chenon levi l'equabilità del moto trasversale e la regoladell'accelerazione ne i gravi cadenti. Dalle quali tutte difficoltàsi rende molto improbabile che le cose dimostrate con talisupposizioni incostanti possano poi nelle praticate esperienzeverificarsi.

Salv.Tutte le promosse difficoltà e instanze son tanto ben fondateche stimo essere impossibile il rimuoverleed ioper mele ammettotuttecome anco credo che il nostro Autore esso ancora leammetterebbe; e concedo che le conclusioni così in astrattodimostrate si alterino in concretoe si falsifichino a segno taleche né il moto trasversale sia equabilenél'accelerazione del naturale sia con la proporzion suppostanéla linea del proietto sia parabolicaetc.: ma benall'incontrodomando che elle non contendano al nostro Autor medesimo quello chealtri grandissimi uomini hanno suppostoancor che falso. E la solaautorità d'Archimede può quietare ogn'unoil qualenelle sue Mecaniche e nella prima Quadratura della parabolapigliacome principio verol'ago della bilancia o stadera essere una linearetta in ogni suo punto equalmente distante dal centro commune de igravie le corde alle quali sono appesi i gravi esser tra di loroparallele: la qual licenza viene da alcuni scusataperchénelle nostre pratiche gli strumenti nostri e le distanze le qualivengono da noi adoperateson così piccole in comparazionedella nostra gran lontananza dal centro del globo terrestreche benpossiamo prendere un minuto di un grado del cerchio massimo come sefusse una linea rettae due perpendicoli che da i suoi estremipendesserocome se fussero paralleli. Che quando nelle operepraticali si avesse a tener conto di simili minuziebisognerebbecominciare a riprendere gli architettili quali col perpendicolosuppongono d'alzar le altissime torri tra linee equidistanti.Aggiungo quiche noi possiamo dire che Archimede e gli altrisupposero nelle loro contemplazioniesser costituiti per infinitalontananza remoti dal centronel qual caso i loro assunti non eranofalsie che però concludevano con assoluta dimostrazione.Quando poi noi vogliamo praticar in distanza terminata le conclusionidimostrate col suppor lontananza immensadoviamo diffalcar dal verodimostrato quello che importa il non esser la nostra lontananza dalcentro realmente infinitama ben tale che domandar si puòimmensa in comparazione della piccolezza de gli artificii praticatida noi: il maggior de i quali sarà il tiro de i proiettie diquesti quello solamente dell'artiglierieil qualeper grande chesianon passerà 4 miglia di quelle delle quali noi siamolontani dal centro quasi altrettante migliara; ed andando questi aterminar nella superficie del globo terrestreben potranno soloinsensibilmente alterar quella figura parabolicala quale si concedeche sommamente si trasformerebbe nell'andare a terminar nel centro.

Quanto poi al perturbamento procedente dall'impedimento del mezoquesto è più considerabileeper la sua tantomoltiplice varietàincapace di poter sotto regole ferme essercompreso e datone scienza; atteso chese noi metteremo inconsiderazione il solo impedimento che arreca l'aria a i moticonsiderati da noiquesto si troverà perturbargli tuttieperturbargli in modi infinitisecondo che in infiniti modi sivariano le figurele gravità e le velocità de imobili. Imperò chequanto alla velocitàsecondo chequesta sarà maggioremaggiore sarà il contrastofattogli dall'aria; la quale anco impedirà più i mobilisecondo che saranno men gravi: talchése bene il gravedescendente dovrebbe andare accelerandosi in duplicata proporzionedella durazion del suo mototuttaviaper gravissimo che fusse ilmobilenel venir da grandissime altezze sarà talel'impedimento dell'ariache gli torrà il poter crescere piùla sua velocitàe lo ridurrà ad un moto uniforme edequabile; e questa adequazione tanto più presto ed in minorialtezze si otterràquanto il mobile sarà men grave.Quel moto anco che nel piano orizontalerimossi tutti gli altriostacolidevrebbe essere equabile e perpetuoverràdall'impedimento dell'aria alteratoe finalmente fermato: e quiancora tanto più prestoquanto il mobile sarà piùleggiero. De i quali accidenti di gravitàdi velocitàed anco di figuracome variabili in modi infinitinon si puòdar ferma scienza: e peròper poter scientificamente trattarcotal materiabisogna astrar da essie ritrovate e dimostrate leconclusioni astratte da gl'impedimentiservircenenel praticarlecon quelle limitazioni che l'esperienza ci verrà insegnando. Enon però piccolo sarà l'utileperché le materiee lor figure saranno elette le men soggette a gl'impedimenti delmezoquali sono le gravissime e le rotondee gli spazii e levelocità per lo più non saranno sì grandichele loro esorbitanze non possano con facil tara esser ridotte a segno;anzi pure ne i proietti praticabili da noiche siano di materiegravi e di figura rotondaed anco di materie men gravi e di figuracilindricacome freccelanciati con frombe o archiinsensibilesarà del tutto lo svario del lor moto dall'esatta figuraparabolica. Anzi (e voglio pigliarmi alquanto più di licenza)che ne gli artifizii da noi praticabili la piccolezza loro rendapochissimo notabili gli esterni ed accidentarii impedimentitra iquali quello del mezo è il più considerabilevi possoio con due esperienze far manifesto. Io farò considerazionesopra i movimenti fatti per l'ariaché tali sonprincipalmente quelli de i quali noi parliamo; contro i quali essaaria in due maniere esercita la sua forza: l'una ècoll'impedir più i mobili men gravi che i gravissimi; l'altraè nel contrastar più alla velocità maggiore chealla minore dell'istesso mobile. Quanto al primoil mostrarcil'esperienza che due palle di grandezza egualima di peso l'una 10 o12 volte più grave dell'altraquali sarebberoper esempiouna di piombo e l'altra di roverescendendo dall'altezza di 150 o200 bracciacon pochissimo differente velocità arrivano interraci rende sicuri che l'impedimento e ritardamento dell'aria inamendue è poco: che se la palla di piombopartendosinell'istesso momento da alto con l'altra di legnopoco fusseritardatae questa moltoper assai notabile spazio devrebbe ilpiombonell'arrivare in terralasciarsi a dietro il legnomentre è10 volte più grave; il che tutta via non accadeanzi la suaanticipazione non sarà né anco la centesima parte ditutta l'altezza; e tra una palla di piombo ed una di pietrache diquella pesasse la terza parte o la metàappena sarebbeosservabile la differenza del tempo delle lor giunte in terra. Oraperché l'impeto che acquista una palla di piombo nel cadere daun'altezza di 200 braccia (il quale è tantoche continuandoloin moto equabile scorrerebbe braccia 400 in tanto tempo quanto fuquello della sua scesa) è assai considerabile rispetto allevelocità che noi con archi o altre machine conferiamo a inostri proietti (trattone gl'impeti dependenti dal fuoco)possiamosenza errore notabile concludere e reputar come assolutamente vere leproposizioni che si dimostreranno senza il riguardo dell'alteraziondel mezo. Circa poi all'altra parteche è di mostrarel'impedimento che l'istesso mobile riceve dall'ariamentre egli congran velocità si muovenon esser grandemente maggiore diquello che gli contrasta nel muoversi lentamenteferma certezza cene porge la seguente esperienza. Sospendansi da due fili egualmentelunghie di lunghezza di 4 o 5 bracciadue palle di piombo egualie attaccati i detti fili in altosi rimuovano amendue le palle dallostato perpendicolare; ma l'una si allontani per 80 o piùgradie l'altra non più che 4 o 5: sì chelasciate inlibertàl'una scenda etrapassando il perpendicolodescrivearchi grandissimi di 160150140 gradietc.diminuendogli a pocoa poco; ma l'altrascorrendo liberamentepassi archi piccoli di 1086 etc.diminuendogli essa ancora a poco a poco: qui primieramentedicoche in tanto tempo passerà la prima li suoi gradi 180160 etc.in quanto l'altra li suoi 108 etc. Dal che si famanifestoche la velocità della prima palla sarà 16 e18 volte maggiore della velocità della seconda; sì chequando la velocità maggiore più dovesse essere impeditadall'aria che la minorepiù rade devriano esser le vibrazionine gli archi grandissimi di 180 e 160 gradi etc.che ne ipiccolissimi di 1084ed anco di 2 e di 1: ma a questo repugnal'esperienza; imperò che se due compagni si metteranno anumerare le vibrazionil'uno le grandissime e l'altro lepiccolissimevedranno che ne numereranno non pur le decinema lecentinaia ancorasenza discordar d'una solaanzi d'un sol punto. Equesta osservazione ci assicura congiuntamente delle 2 proposizionicioè che le massime e le minime vibrazioni si fanno tutte auna a una sotto tempi egualie che l'impedimento e ritardamentodell'aria non opera più ne i moti velocissimi che ne itardissimi; contro a quello che pur dianzi pareva che noi ancoracomunemente giudicassimo.

Sagr. Anziperché non si può negare che l'ariaimpedisca questi e quellipoi che e questi e quelli vanno languendoe finalmente finisconoconvien dire che tali ritardamenti sifacciano con la medesima proporzione nell'una e nell'altraoperazione. Ma che? l'avere a far maggior resistenza una volta cheun'altrada che altro proced'egli fuor che dall'esser assalito unavolta con impeto e velocità maggioreed un'altra con minore?E se questo èla quantità medesima della velocitàdel mobile è cagione ed insieme misura della quantitàdella resistenza. Adunque tutti i motisiano tardi o velocisonritardati e impediti con l'istessa proporzione: notiziapar a menon disprezzabile.

Salv. Possiam per tanto anco in questo secondo casoconcludereche le fallacie nelle conclusioni le quali astraendo dagli accidenti esterni si dimostrerannosiano ne gli artifizii nostridi piccola considerazionerispetto a i moti di gran velocitàde i quali per lo più si trattaed alle distanzeche nonsono se non piccolissime in relazione alla grandezza del semidiametroe de i cerchi massimi del globo terrestre.

Simp. Io volentieri sentirei la cagione per la quale V. S.sequestra i proietti dall'impeto del fuococioècome credodalla forza della polvereda gli altri proietti con frombe archi obalestrecirca 'l non essere nell'istesso modo soggettiall'alterazione ed impedimento dell'aria.

Salv. Muovemi l'eccessiva eper via di direfuriasoprannaturale con la quale tali proietti vengono cacciati; chébene anco fuora d'iperbole mi par che la velocità con la qualevien cacciata la palla fuori d'un moschetto o d'una artiglieriasipossa chiamar sopranaturale. Imperò chescendendonaturalmente per l'aria da qualche altezza immensa una tal pallalavelocità suamercé del contrasto dell'arianon siandrà accrescendo perpetuamente: ma quello che ne i cadentipoco gravi si vede in non molto spazio accaderedico di ridursifinalmente a un moto equabileaccaderà ancoradopo la scesadi qualche migliara di bracciain una palla di ferro o di piombo; equesta terminata ed ultima velocità si può dire esserla massima che naturalmente può ottener tal grave per aria: laqual velocità io reputo assai minor di quella che allamedesima palla viene impressa dalla polvere accesa. Del che una assaiacconcia esperienza ci può render cauti. Sparisi da un'altezzadi cento o più braccia un archibuso con palla di piombo all'ingiù perpendicolarmente sopra un pavimento di pietrae colmedesimo si tiri contro una simil pietra in distanza d'un braccio o2e veggasi poi qual delle 2 palle si trovi esser piùammaccata: imperò chese la venuta da alto si troveràmeno schiacciata dell'altrasarà segno che l'aria gli avràimpedita e diminuita la velocità conferitagli dal fuoco nelprincipio del motoe cheper conseguenzauna tanta velocitànon gli permetterebbe l'aria che ella guadagnasse già maivenendo da quanto si voglia subblime altezza; ché quando lavelocità impressagli dal fuoco non eccedesse quella che per sestessanaturalmente scendendopotesse acquistarela bottaall'ingiù devrebbe più tosto esser più validache meno. Io non ho fatto tale esperienzama inclino a credere cheuna palla d'archibuso o d'artiglieriacadendo da un'altezza quantosi voglia grandenon farà quella percossa che ella fa in unamuraglia in lontananza di poche bracciacioè di cosìpocheche 'l breve sdrucitoo vogliam dire scissurada farsinell'aria non basti a levar l'eccesso della furia sopranaturaleimpressagli dal fuoco. Questo soverchio impeto di simili tirisforzati può cagionar qualche deformità nella linea delproiettofacendo 'l principio della parabola meno inclinato e curvodel fine; ma questopoco o niente può esser di progiudizio alnostro Autore nelle praticali operazioni: tra le quali principale èla composizione d'una tavola per i tiri che dicono di volatalaquale contenga le lontananze delle cadute delle palle tirate secondotutte le diverse elevazioni; e perché tali proiezzioni sifanno con mortarie con non molta caricain questi non essendosopranaturale l'impetoi tiri segnano le lor linee assaiesattamente.

Ma in tanto procediamo avanti nel trattatodove l'Autore ci vuoleintrodurre alla contemplazione ed investigazione dell'impeto delmobilementre si muove con moto composto di due; e primadelcomposto di due equabilil'uno orizontale e l'altro perpendicolare.


TEOREMA2. PROPOSIZIONE 2

Se un mobile si muove con motocomposto di due equabilil'uno orizzontale e l'altro perpendicolarel'impeto o momento del movimento composto da ambedue sarà inpotenza eguale ai due momenti dei primi moti.

Un mobileinfattisi muovaequabilmente con un movimento duplicee al movimento perpendicolarecorrisponda lo spazio abmentre al movimento orizzontalecompiuto in un egual tempo corrisponda lo spazio bc. Allorapoiché gli spazi ab e bc vengono percorsi nelmedesimo tempo con moti equabilii momenti di tali moti staranno tradi loro come le medesime ab e bc: ma il mobileche simuove secondo questi due movimentidescrive la diagonale ac;il momento della sua velocità sarà dunque ac. Ma ac è eguale in potenzaalle medesime ab e bc; dunqueil momento composto daidue momenti ab e bc saràsoltanto in potenzaeguale a questipresi insieme: che è quello che dovevamomostrare.


Simp. È necessario levarmi un poco di scrupolo che quimi nasceparendomi che questoche ora si concluderepugni adun'altra proposizione del trattato passatonella quale si affermaval'impeto del mobile venente dall'a in b essere egualeal venente dell'a in c; ed ora si concludel'impeto inc esser maggiore che in b.

Salv. Le proposizioniSig. Simpliciosono amendue veremamolto diverse tra di loro. Qui si parla d'un sol mobilemosso d'unsol motoma composto di dueamendue equabili; e là si parladi 2 mobilimossi di moti naturalmente acceleratiuno per laperpendicolare abe l'altro per l'inclinata ac. Inoltrei tempi quivi non si suppongono egualima il tempo perl'inclinata ac è maggiore del tempo per laperpendicolare ab; ma nel moto del quale si parla al presentei moti per le abbcac s'intendono equabili efatti nell'istesso tempo.

Simp. Mi scusinoe seguano avantiché restoacquietato.

Salv. Séguita l'Autore per incaminarci a intender quelche accaggia intorno all'impeto d'un mobile mosso pur d'un motocomposto di 2uno cioè orizontale ed equabilee l'altroperpendicolare ma naturalmente acceleratode i quali finalmente ècomposto il moto del proietto e si descrive la linea parabolicainciaschedun punto della quale si cerca di determinare quanto sial'impeto del proietto. Per la cui intelligenza ci dimostra l'Autoreil modoo vogliàn dir metododi regolare e misurar cotaleimpeto sopra l'istessa linea nella quale si fa il moto del gravedescendente con moto naturalmente acceleratopartendosi dallaquietedicendo:


TEOREMA3. PROPOSIZIONE 3

Il moto si svolga lungo la lineaab a partire dalla quiete in ae su tale linea siprenda un qualsiasi punto c; si ponga inoltre che la acsia il tempoossia la misura del tempodella stessa caduta lungo lospazio ace che essa sia anche la misura dell'impeto o delmomento acquistato nel punto c in virtù della discesaac. Si prenda orasulla medesima linea abunqualsiasi altro puntocome ad esempio b: bisogna determinarel'impetoacquistato in questo punto da un mobile che scenda per abin proporzione all'impeto che aveva raggiunto in ca misuradel quale si è posta la ac. Si ponga as mediaproporzionale tra ba e ac: dimostreremo che l'impeto inb sta all'impeto in c come la linea sa sta allaac. Si prendano le orizzontali cddoppia della ace bedoppia della ba: sappiamoper leantecedenti dimostrazioniche il mobileil quale cada lungo acsia deviato sull'orizzontale cd e si muova di moto equabilesecondo l'impeto acquistato in cpercorre lo spazio cdin un tempo eguale a quello impiegato a percorrere lo spazio acdi moto accelerato; e similmente che be vienepercorso nello stesso tempo di ab: ma il tempo della discesaab è as: dunquela orizzontale be vienepercorsa nel tempo as. Si faccia checome il tempo sasta al tempo accosì eb stia a bl;essendo il moto lungo be uniformelo spazio bl verràpercorso nel tempo ac secondo il momento di velocità in b: ma nel medesimo tempo ac vienepercorso lo spazio cd secondo il momento di velocità in c; inoltre i momenti di velocità stannotra di loro come gli spaziche siano percorsi in tempi eguali conquegli stessi momenti di velocità: dunqueil momento divelocità in c sta al momento di velocità in bcome dc sta a bl. Ma poichécome dc staa becosì la metà dell'una sta alla metàdell'altracioè ca ad ab; e poichécomeeb sta a blcosì ba sta ad as;dunqueex aequalicome dc sta a blcosìca sta ad as: cioècome il momento di velocitàin c sta al momento di velocità in bcosìca sta ad ascioèil tempo per ca staal tempo per ab.

<>È pertanto chiaro il mododi misurare l'impeto o momento di velocità sulla linea lungola quale si svolge il movimento di discesa; impeto checome appuntoabbiamo posto aumenta in proporzione al tempo.

Maquiprima di procedere oltrebisogna premettere il seguenteavvertimento: poiché il nostro discorso verterà intornoal moto composto di un moto orizzontale equabile e di un moto deorsumnaturalmente accelerato (da tale mescolanzainfattirisultacomposta e descritta la linea del proiettocioè la parabola)ci troviamo nella necessità di determinare una misura comunesecondo la quale si possa misurare la velocitàl'impetoossia il momento di ambedue i moti; poiché nel moto equabileinnumerevoli sono i gradi di velocitàma di essi uno soloenon uno qualsiasi a casodeve essere correlato e congiunto al gradodi velocità acquistato nel moto naturalmente acceleratononho potuto escogitare alcun altro modo più facile persceglierlo e determinarloche assumendone un altro del medesimogenere. Ma per spiegarmi più chiaramente

figuriamocila perpendicolare ac all'orizzontale cb; oraacè l'altezza e cb è l'ampiezza della semiparabolaab descritta dalla composizione di due movimentidei qualil'uno è quello del mobile che scende per ac con motonaturalmente accelerato a partire dalla quiete in al'altro èil moto trasversale equabile secondo l'orizzontale ad.L'impeto acquistato in c in virtù della discesa acè misurato dalla lunghezza della medesima altezza ac;infattiunico e sempre il medesimo è l'impeto del mobilecadente dalla medesima altezza: invece sull'orizzontale si possonoassegnare non un soloma innumerevoli gradi di velocità dimoti equabili. Per poter distinguere dagli altri e quasi mostrare adito quel grado di velocità che avrò scelto tra quellamoltitudineprolungherò l'altezza ca verso l'alto e suquesto prolungamento segneròa seconda di quanto sarànecessariola sublimità ae: se immagino un cadente da essa a partire dalla quiete in eè manifesto che l'impeto da esso acquistato nell'estremo asarà pari a quello col quale avrò immaginato muoversiil medesimo mobile deviato sull'orizzontale ad; e che il suogrado di velocità sarà quello col qualenel tempodella discesa per eapercorrerà sull'orizzontale unospazio doppio del medesimo ea. Questo <è l'avvertimentoche> mi è sembrato necessario premettere.

Si avvertainoltreche chiamo“ampiezza” della semiparabola ab l'orizzontale cb;

“altezza”cioèacl'asse della medesima parabola;

la linea eainvecedalla cui discesa viene determinato l'impeto orizzontalela chiamo“sublimità”.

Chiarite e definite queste cosemi volgo a quello che dobbiamo dimostrare.


Sagr. Fermatein graziaperché qui mi par checonvenga adornar questo pensiero dell'Autore con la conformitàdel concetto di Platone intorno al determinare le diverse velocitàde i moti equabili delle conversioni de i moti celesti. Il qualeavendo per avventura auto concettonon potere alcun mobile passaredalla quiete ad alcun determinato grado di velocitànel qualeei debba poi equabilmente perpetuarsise non col passare per tuttigli altri gradi di velocità minorio vogliam dire di tarditàmaggioriche tra l'assegnato grado e l'altissimo di tarditàcioè della quieteintercedonodisse che Iddiodopo avercreati i corpi mobili celestiper assegnar loro quelle velocitàcon le quali poi dovessero con moto circolare equabile perpetuamentemuoversigli fecepartendosi loro dalla quietemuover perdeterminati spazii di quel moto naturale e per linea retta secondo 'lquale noi sensatamente veggiamo i nostri mobili muoversi dallo statodi quiete accelerandosi successivamente; e soggiugne cheavendoglifatto guadagnar quel grado nel quale gli piacque che poi dovesseromantenersi perpetuamenteconvertì il moto loro retto incircolareil quale solo è atto a conservarsi equabilerigirandosi sempre senza allontanarsi o avvicinarsi a qualcheprefisso termine da essi desiderato. Il concetto è veramentedegno di Platone; ed è tanto più da stimarsiquanto ifondamenti taciuti da quello e scoperti dal nostro Autoreconlevargli la maschera o sembianza poeticalo scuoprono in aspetto diverace istoria. E mi pare assai credibileche avendo noi per ledottrine astronomiche assai competente notizia delle grandezze de gliorbi de i pianeti e delle distanze loro dal centro intorno al qualesi raggiranocome ancora delle loro velocitàpossa il nostroAutore (al quale il concetto Platonico non era ascosto) aver talvolta per sua curiosità auto pensiero d'andare investigando sesi potesse assegnare una determinata sublimitàdalla qualepartendosicome da stato di quietei corpi de i pianetie mossisiper certi spazii di moto retto e naturalmente acceleratoconvertendopoi la velocità acquistata in moti equabilisi trovasserocorrispondere alle grandezze de gli orbi loro e a i tempi delle lororevoluzioni.

Salv. Mi par sovvenire che egli già mi dicesseaveruna volta fatto il computoed anco trovatolo assai acconciamenterispondere alle osservazionima non averne voluto parlaregiudicando che le troppe novità da lui scoperteche lo sdegnodi molti gli hanno provocatonon accendessero nuove scintille. Ma sealcuno avrà simil desideriopotrà per se stessoconla dottrina del presente trattatosodisfare al suo gusto. Maseguitiamo la nostra materiache è di dimostrare:


PROBLEMA1. PROPOSIZIONE 4

Come si debba determinarel'impeto nei singoli punti di una data parabola descritta da unproietto.

Siala semiparabola becdella quale l'ampiezza sia cd el'altezza db; quest'ultimaprolungata verso l'altoincontriin a la tangente ca alla parabola; e per il vertice bsia la biparallela all'orizzonte e alla cd.Sepoil'ampiezza cd è eguale all'intera altezza dabi sarà eguale a ba e a bd; se poniamoche la stessa ab sia misura del tempo della caduta per abe del momento di velocità acquistato in b in virtùdella discesa ab a partire dalla quiete in aallora dc(che è doppia di bi) sarà lo spazio che nelmedesimo tempo percorrerà in virtùdell'impeto ab deviato sull'orizzontale: ma nel medesimo tempo percorre l'altezza bd cadendo lungo bd apartire dalla quiete in b: dunqueil mobile checadendolungo ab a partire dalla quiete in aviene deviatosull'orizzontale con l'impeto abpercorre su di questa unospazio eguale a dc. Ma sopravvenendo il movimento di cadutalungo bd percorre l'altezza bd e descrivela parabola bc: il suo impeto nell'estremo c risultacomposto del trasversale equabileil cui momentoè abe dell'altro momentoacquistato nell'estremo dossia in cin virtùdella discesa bd; i quali momenti sono eguali. Se dunqueintendiamo che ab sia misura di uno dei adesempio di quello trasversale equabilee che bieguale a bdsia misura dell'impeto acquistato in dossia in c; l'ipotenusa ia sarà la quantitàdel momento composto di ambedue i momenti suddetti: saràdunque la quantità o misura del momento totale con cui ilproiettoche abbia descritto la parabola bcfa impeto in c.Tenendo presenti tali considerazionisi prenda sulla parabola unqualsiasi punto enel quale si debba determinare l'impeto delproietto. Si conduca l'orizzontale efe si prenda bgmedia proporzionale tra bd e bf: poiché abbiamoposto che abossia bdsia misura del tempo e delmomento di velocità nella caduta bd apartire dalla quiete in bsarà bg il tempoossia la misura del tempo e dell'impeto in f del proveniente da b. Pertantose si pone bo eguale a bgtracciata la diagonale aoquesta sarà la quantitàdell'impeto nel punto e: infatti si è posta abcome determinatrice del tempo e dell'impeto in bil quale deviato sull'orizzontale si mantiene sempre lo stesso; boinvece determina l'impeto in fossia in ein virtù della discesa lungo l'altezza bf a partiredalla quiete in b; ma ao è eguale in potenza aquesti due ab e bo. È dunque manifesto quelloche si chiedeva.


Sagr. La contemplazione del componimento di questi impetidiversie della quantità di quell'impeto che da tal mistionene risultami giugne tanto nuovache mi lascia la mente in nonpiccola confusione: non dico della mistione di due movimentiequabilibenché tra di loro disegualifatti uno per la lineaorizontale e l'altro per la perpendicolareché di questiresto capacissimo farsi un moto in potenza eguale ad amendue icomponenti; ma mi nasce confusione nel mescolamento dell'orizontaleequabilee perpendicolare naturalmente accelerato. Peròvorrei che insieme digerissimo meglio questa materia.

Simp. Ed io tanto più ne son bisognosoquanto che nonsono ancor totalmente quietato di mentecome bisognanelleproposizioni che sono come primi fondamenti dell'altre che gliseguono appresso. Voglio inferire che anco nella mistione de i duemoti equabiliorizontale e perpendicolarevorrei meglio intenderequella potenza del lor composto. OraSig. SalviatiV. S. intende ilnostro bisogno e desiderio.

Salv. Il desiderio è molto ragionevolee tenteròse l'aver io più lungo tempo potuto pensarvi soprapuòagevolare la vostra intelligenza. Ma converrà comportarmi escusarmise nel discorrere andrò replicando buona parte dellecose sin qui poste dall'Autore.

Discorrer determinatamente circa i movimenti e lor velocità oimpetisiano quelli o equabili o naturalmente acceleratinonpossiamo noi senza prima determinar della misura che usar vogliamoper misurar tali velocitàcome anco della misura del tempo.Quanto alla misura del tempogià abbiamo la comunementericevuta per tuttodelle oreminuti primi e secondi etc.; e comeper misura del tempo ci è la detta comunericevuta da tutticosì bisogna assegnarne una per le velocitàcheappresso tutti sia comunemente intesa e ricevutacioè cheappresso tutti sia l'istessa. Atta per tale uso ha stimato l'Autorecome si è dichiaratoesser la velocità de i gravinaturalmente descendentide i quali le crescenti velocità intutte le parti del mondo serbano l'istesso tenore; sì che quelgrado di velocità che (per esempio) acquista una palla dipiombo d'una libra nell'esserpartendosi dalla quietescesaperpendicolarmente quanto è l'altezza di una piccaèsempre e in tutti i luoghi il medesimoe per ciòaccomodatissimo per esplicar la quantità dell'impeto derivantedalla scesa naturale. Resta poi il trovar modo di determinare anco laquantità dell'impeto in un moto equabile in guisa talechetutti coloro che circa di quello discorrinosi formino l'istessoconcetto della grandezza e velocità suasì che uno nonse lo figuri più veloce e un altro menoonde poi nelcongiugnere e mescolar questo da sé concepito equabile con lostatuito moto acceleratoda diversi uomini ne vengano formatidiversi concetti di diverse grandezze d'impeti. Per determinare erappresentare cotal impeto e velocità particolarenon hatrovato il nostro Autore altro mezo più accomodatoche 'lservirsi dell'impeto che va acquistando il mobile nel motonaturalmente accelerato del quale qualsivoglia momento acquistatoconvertito in moto equabileritien la sua velocità limitataprecisamentee tantache in altrettanto tempo quanto fu quellodella scesa passa doppio spazio dell'altezza dalla quale ècaduto. Ma perché questo è punto principale nellamateria che si trattaè bene con qualche esempio particolarefarsi perfettamente intendere.

Ripigliando dunque la velocità e l'impeto acquistato dal gravecadentecome dicemmodall'altezza d'una piccadella quale velocitàvogliamo servirci per misura di altre velocità ed impeti inaltre occasioni; e postoper esempioche il tempo di tal caduta sia4 minuti secondi d'ora; per ritrovar da questa tal misura quantofusse l'impeto del cadente da qualsivoglia altra altezza maggiore ominorenon doviamo dalla proporzione la quale quest'altra altezzaavesse con l'altezza d'una piccaargomentare e concludere laquantità dell'impeto acquistato in questa seconda altezzastimandoper esempioche il cadente da quadrupla altezza avesseacquistato quadrupla velocitàperché ciò èfalso: imperò che non cresce o cala la velocità nelmoto naturalmente accelerato secondo la proporzione degli spaziimaben secondo quella de i tempidella quale quella degli spazii èmaggiore in duplicata proporzionecome già fu dimostrato.Peròquando noi avessimo in una linea retta assegnatane unaparte per misura della velocitàed anco del tempo e dellospazio in tal tempo passato (ché per brevità tutte trequeste grandezze con un'istessa linea spesse volte vengonorappresentate)per trovar la quantità del tempo e 'l grado divelocità che il mobile medesimo in altra distanza arebbeacquistatociò otterremo noi non immediatamente da questaseconda distanzama dalla linea che tra le due distanze saràmedia proporzionale. Ma con un esempio meglio mi dichiaro.

Nellalinea acperpendicolare all'orizonteintendasi la parte abessere uno spazio passato da un grave naturalmente descendente dimoto accelerato; il tempo del qual passaggiopotendo iorappresentarlo con qualsivoglia lineavoglio per brevitàfigurarlo esser quanto la medesima linea ab; e parimente permisura dell'impeto e velocità acquistata per tal moto pongopur l'istessa linea ab: sì che di tutti gli spazii chenel progresso del discorso si hanno a considerarela misura sia laparte ab. Stabilite ad arbitrio nostro sotto una solagrandezza ab queste 3 misure di generi di quantitàdiversissimicioè di spaziidi tempi e di impetisiaciproposto di dover determinarenell'assegnato spazio e altezza acquanto sia per essere il tempo della scesa del cadente da l'ain ce quanto l'impeto che in esso termine c sitroverà avere acquistatoin relazione al tempo ed all'impetomisurati per la ab. L'uno e l'altro quesito si determineràpigliando delle due linee acab la media proporzionalead; affermandoil tempo della caduta per tutto lo spazio acesser quanto il tempo ad in relazione al tempo abposto da principio per la quantità del tempo nella scesa ab.Diremo parimentel'impeto o grado di velocità che otterrà'l cadente nel termine cin relazione all'impeto che ebbe inbesser quale è la medesima linea ad inrelazione alla abessendo che la velocità cresce conla medesima proporzione che cresce il tempo: la qual conclusione seben fu presa come postulatopur tuttavia volse l'Autore esplicarnel'applicazione di sopraalla Proposizion terza.

Ben compreso e stabilito questo puntovenghiamo alla considerazionedell'impeto derivante da 2 moti composti; uno de i quali sia compostodell'orizontale e sempre equabilee del perpendicolare all'orizontee esso ancora equabile; ma l'altro sia composto dell'orizontalepursempre equabilee del perpendicolare naturalmente accelerato. Seamendue saranno equabiligià s'è visto come l'impetoresultante dalla composizione di amendue è in potenza equalead amenduecome per chiara intelligenza esemplificheremo così.

Intendasiil mobile descendente per la perpendicolare ab averperesempio3 gradi d'impeto equabilematrasportato per la abverso cesser tal velocità ed impeto di 4 gradisìche nel tempo medesimo che scendendo passerebbe nella perpendicolarev. g.3 braccianella orizontale ne passerebbe 4: ma nel compostodi amendue le velocità vienenel medesimo tempodal punto anel termine ccaminando sempre per la diagonale aclaquale non è lunga 7quanto sarebbe la composta delle 2ab3 e bc 4ma è 5; la qual 5 è in potenza equalealle due 3 e 4. Imperò chefatti li quadrati del 3 e del 4che sono 9 e 16e questi congiunti insiemefanno 25 per il quadratodi acil quale alli due quadrati di ab e di bcè eguale; onde la ac sarà quanto è illatoo vogliam dir la radicedel quadrato 25che è 5. Perregola dunque ferma e sicuraquando si debba assegnare la quantitàdell'impeto resultante da 2 impeti datiuno orizontale e l'altroperpendicolare ed amendue equabilisi deve di amendue fare iquadratiecomponendogli insiemeestrar la radice del compostolaquale ci darà la quantità dell'impeto composto diamendue quelli. E così nell'esempio postoquel mobile che invirtù del moto perpendicolare arebbe percosso sopra l'orizontecon 3 gradi di forzae col moto solo orizontale arebbe percosso in ccon gradi 4percotendo con amendue gl'impeti congiuntiil colposarà come quello del percuziente mosso con gradi 5 di velocitàe di forza; e questa tal percossa sarebbe del medesimo valore intutti i punti della diagonale acper esser sempre gl'impeticomposti i medesiminon mai cresciuti o diminuiti.

Veggiamoora quello che accaschi nel comporre il moto orizontale equabile conun moto perpendicolare all'orizonteil qualecominciando dallaquietevadia naturalmente accelerandosi. Già èmanifesto che la diagonaleche è la linea del moto compostodi questi duenon è una linea rettama semiparabolicacomesi è dimostrato; nella quale l'impeto va sempre crescendomercé del continuo crescimento della velocità del motoperpendicolare. Là ondeper determinar qual sia l'impeto inun assegnato punto di essa diagonale parabolicaprima bisognaassegnar la quantità dell'impeto uniforme orizontalee poiinvestigar qual sia l'impeto del cadente nell'assegnato puntoil chenon si può determinare senza la considerazione del tempodecorso dal principio della composizione de i 2 motila qualconsiderazione di tempo non si richiede nella composizione de i motiequabilile velocità ed impeti de i quali son sempre imedesimi; ma quidove entra nella mistione un moto checominciandodalla somma tarditàva crescendo la velocità conformealla continuazion del tempoè necessario che la quantitàdel tempo ci manifesti la quantità del grado di velocitànell'assegnato punto: ché quanto al resto poil'impetocomposto di questi 2 è (come nei moti uniformi) eguale inpotenza ad amendue i componenti. Ma qui ancora meglio mi dichiaro conun esempio.

Sianella perpendicolare all'orizonte ac presa qualsivoglia parteabla quale figuro che serva per misura dello spazio del motonaturale fatto in essa perpendicolaree parimente sia misura deltempo ed anco del grado di velocitào vogliam dire degl'impeti: è primieramente manifestoche se l'impeto delcadente in b dalla quiete in a si convertiràsopra la bdparallela all'orizontein moto equabilelaquantità della sua velocità sarà tantache neltempo ab passerà uno spazio doppio dello spazio ab;e tanta sia la linea bd. Posta poi la bc eguale allabae tirata la parallela ce alla bde ad essaegualedescriveremo per i punti be la lineaparabolica bei. E perché nel tempo ab conl'impeto ab si passa l'orizontale bd o cedoppia della abe passasi ancora in altrettanto tempo laperpendicolare bc con acquisto d'impeto in c eguale almedesimo orizontale; adunque il mobilein tanto tempo quanto èabsi troverà dal b giunto in e per laparabola be con un impeto composto di dueciascheduno egualeall'impeto ab: e perché l'uno di essi èorizontale e l'altro perpendicolarel'impeto composto di essi saràin potenza eguale ad amenduecioè doppio di uno; ondepostala bf eguale alla ba e tirata la diagonale afl'impeto e la percossa in e sarà maggiore dellapercossa in b del cadente dall'altezza ao vero dellapercossa dell'impeto orizontale per la bdsecondo laproporzione di af ad ab. Ma quandoritenendo pursempre la ba per misura dello spazio della caduta dalla quietein a sino in b e per misura del tempo e dell'impeto delcadente acquistato in bl'altezza bo non fusse egualema maggiore della abpresa la bg media proporzionaletra esse abbosarebbe essa bg misura deltempo e dell'impeto in oper la caduta nell'altezza boacquistato in o; e lo spazio per l'orizontaleil qualepassato con l'impeto ab nel tempo ab sarebbe doppiodella absarà in tutta la durazion del tempo bgtanto maggiorequanto a proporzione la bg è maggioredella ba. Posta dunque la lb eguale alla bgetirata la diagonale alavremo da essa la quantitàcomposta delli 2 impeti orizontale e perpendicolareda i quali sidescrive la parabola; de i quali l'orizontale ed equabile èl'acquistato in b per la caduta abe l'altro èl'acquistato in oo vogliam dire in iper la cadutaboil cui tempo fu bgcome anco la quantitàdel suo momento. E con simil discorso investigheremo l'impeto neltermine estremo della parabolaquando l'altezza sua fusse minoredella sublimità abprendendo tra amendue la media; laquale posta nell'orizontale in luogo della bfe congiunta ladiagonalecome afaremo da questa la quantitàdell'impeto nell'estremo termine della parabola.

A quanto sin qui è considerato circa questi impeticolpi ovogliam dir percossedi tali proietticonvien aggiugnere un'altramolto necessaria considerazione: e questa èche non basta pormente alla sola velocità del proietto per ben determinaredella forza ed energia della percossama convien chiamare a parteancora lo stato e condizione di quello che riceve la percossanell'efficacia della quale esso per più rispetti ha granparticipazione e interesse. E primanon è chi non intenda chela cosa percossa intanto patisce violenza dalla velocità delpercuzientein quanto ella se gli opponee frena in tutto o inparte il moto di quello: ché se il colpo arriverà sopratale che ceda alla velocità del percuziente senza resistenzaalcunatal colpo sarà nullo; e colui che corre per ferir conlancia il suo nimicose nel sopraggiugnerlo accaderà chequello si muova fuggendo con pari velocitànon faràcolpoe l'azzione sarà un semplice toccare senza offendere.Ma se la percossa verrà ricevuta in un oggetto che non intutto ceda al percuzientema solamente in partela percossadanneggeràma non con tutto l'impetoma solo con l'eccessodella velocità di esso percuziente sopra la velocitàdella ritirata e cedenza del percosso: sì chesev. g.ilpercuziente arriverà con 10 gradi di velocità sopra 'lpercossoil qualecedendo in partesi ritiri con gradi 4l'impetoe percossa sarà come di gradi 6. E finalmenteintera emassima sarà la percossaper la parte del percuzientequandoil percosso nulla cedama interamente si oppongae fermi tutto 'lmoto del percuziente; se però questo può accadere. Edho detto per la parte del percuzienteperché quando ilpercosso si movesse con moto contrario verso 'l percuzienteil colpoe l'incontro si farebbe tanto più gagliardoquanto le 2velocità contrarie unite son maggiori che la sola delpercuziente. Di piùconviene anco avvertire che il ceder piùo meno può derivare non solamente dalla qualità dellamateria più o meno duracome se sia di ferrodi piombo o dilana etc.ma dalla positura del corpo che riceve la percossa: laqual positura se sarà tale che 'l moto del percuziente lavadia a investire ad angoli rettil'impeto del colpo sarà ilmassimo; ma se 'l moto verrà obbliquamente ecome diciamonoia scancìoil colpo sarà più debolee piùe più secondo la maggiore obbliquità; perché inoggetto in tal modo situatoancor che di materia sodissimanon sispegne e ferma tutto l'impeto e moto del percuzienteil qualesfuggendopassa oltrecontinuando almeno in qualche parte amuoversi sopra la superficie del resistente opposto. Quando dunque siè di sopra determinato della grandezza dell'impeto delproietto nell'estremità della linea parabolicasi deveintendere della percossa ricevuta sopra una linea ad angoli retti adessa parabolica o vero alla tangente la parabola nel detto punto;perchése ben quel moto è composto d'un orizontale ed'un perpendicolarel'impeto né sopra l'orizontale nésopra 'l piano eretto all'orizonte è il massimovenendo sopraamendue ricevuto obbliquamente.

Sagr. Il ricordar V. S. questi colpi e queste percosse mi harisvegliato nella mente un problema o vogliam dire questionemecanicadella quale non ho trovato appresso autore alcuno lasoluzionené cosa che mi scemi la maraviglia o al meno inparte mi quieti l'intelletto. E 'l dubbio e lo stupor mio consistenel non restar capace onde possa derivaree da qual principio possadependerel'energia e la forza immensa che si vede consistere nellapercossamentre col semplice colpo d'un martelloche non abbia pesomaggiore di 8 o 10 libreveggiamo superarsi resistenze talilequali non cederanno al peso d'un grave chesenza percossavi facciaimpetosolamente calcando e premendobenché la gravitàdi quello passi molte centinaia di libre. Io vorrei pur trovar mododi misurar la forza di questa percossa; la quale non penso peròche sia infinitaanzi stimo che ella abbia il suo termine da potersipareggiare e finalmente regolare con altre forze di gravitàprementio di leve o di viti o di altri strumenti mecanicide iquali io a sodisfazione resto capace della multiplicazione dellaforza loro.

Salv. V. S. non è solonella maraviglia dell'effetto enella oscurità della cagione di così stupendoaccidente. Io vi pensai per alcun tempo in vanoaccrescendo semprela confusionesin che finalmenteincontrandomi nel nostroAcademicoda esso ricevei doppia consolazione: primanel sentirecome egli ancora era stato lungo tempo nelle medesime tenebre; e poinel dirmi chedopo l'avervi in vita sua consumate molte migliara diore specolando e filosofandone aveva conseguite alcune cognizionilontane dai nostri primi concettie però nuove e per lanovità ammirande. E perché ormai so che la curiositàdi V. S. volentieri sentirebbe quei pensieri che si allontananodall'opinabilenon aspetterò la sua richiestama gli doparola chespedita che avremo la lettura di questo trattato de iproiettigli spiegherò tutte quelle fantasieo vogliàndire stravaganzeche de i discorsi dell'Accademico mi son rimastenella memoria. In tanto seguitiamo le proposizioni dell'Autore.


PROPOSIZIONE 5. PROBLEMA

Sul prolungamento dell'asse diuna parabola data determinare in alto un puntocadendo dal quale descriva quella parabola stessa.


COROLLARIO

Di qui risulta che la metàdella baseossia la metà dell'ampiezza di una semiparabola(che è poi la quarta parte dell'ampiezza della interaparabola) è media proporzionale tra la sua altezza e quellasublimitàcadendo dalla quale il mobile descrive lasemiparabola stessa.


PROPOSIZIONE6. PROBLEMA

Date la sublimità el'altezza di una semiparabolatrovare l'ampiezza.

Sia la perpendicolare acalla linea orizzontale dce su di essa siano date l'altezzacb e la sublimità ba: bisogna trovaresull'orizzontale cd l'ampiezza della semiparabola descritta dalla sublimità ba e con altezza bc. Siprenda la media proporzionale tra cb e ba e si ponga cddoppia di essa: dico che cd è l'ampiezza cercata. E ciòappare manifesto dal precedente .


TEOREMA.PROPOSIZIONE 7

Fra i proietti che descrivonosemiparabole di eguale ampiezzasi richiede minor impeto in quelloche descrive quella la cui ampiezza è doppia dellapropria altezzache non in qualsiasi altro proietto.


COROLLARIO

Da ciò è manifestocheper conversoin un proietto lanciato dall'estremo d sirichiede minor impeto per la semiparabola db cheper qualsiasi altra semiparabola con elevazione maggioreo minore dell'elevazione della semiparabola db secondo la tangente adche forma sopra l'orizzonte unangolo semiretto. Stando così le coserisulta chesedall'estremo d vengono lanciati proietti con un medesimoimpetoma secondo differenti elevazionila proiezione massimaossia la semiparabola o parabola intera di massima ampiezzasaràquella che verrà fatta con l'elevazione di mezzo angolo retto;invece tutte le altrefatte ad angoli maggiori o minorisarannominori.


Sagr. Piena di maraviglia e di diletto insieme è laforza delle dimostrazioni necessariequali sono le sole matematiche.Gia sapevo ioper fede prestata alle relazioni di piùbombardieriche di tutti i tiri di volata dell'artiglieriao delmortaroil massimocioè quello che in maggior lontananzacaccia la pallaera il fatto all'elevazione di mezo angolo rettoche essi dicono del sesto punto della squadra; ma l'intender lacagione onde ciò avvengasupera d'infinito intervallo lasemplice notizia auta dalle altrui attestazionied anco da moltereplicate esperienze.

Salv. V. S. molto veridicamente discorre: e la cognizione d'unsolo effetto acquistata per le sue cause ci apre l'intelletto a'ntendere ed assicurarci d'altri effetti senza bisogno di ricorrerealle esperienzecome appunto avviene nel presente caso; doveguadagnata per il discorso dimostrativo la certezza dell'essere ilmassimo di tutti i tiri di volata quello dell'elevazione dell'angolosemirettoci dimostra l'Autore quello che forse per l'esperienza nonè stato osservato: e questo èche de gli altri tiriquelli sono tra di loro egualile elevazioni de i quali superano omancano per angoli eguali dalla semiretta: sì che le palletirate dall'orizonteuna secondo l'elevazione di 7 punti e l'altradi 5andranno a ferir su l'orizonte in lontananze egualie cosìeguali saranno i tiri di 8 e di 4 puntidi 9 e di 3etc. Orsentiamone la dimostrazione.


TEOREMA. PROPOSIZIONE 8

Le ampiezze delle paraboledescritte da proiettilanciati con un medesimo impeto e secondoelevazioni che superano o mancano per angoli eguali dall'angolosemirettosono tra di loro eguali.


TEOREMA. PROPOSIZIONE 9

Eguali sono le ampiezze diquelle parabolele cui altezze e sublimità sono tra di loroinversamente proporzionali.


TEOREMA. PROPOSIZIONE 10

L'impeto o momento di unaqualsiasi semiparabola è eguale al momento di un mobilechecada naturalmente secondo una perpendicolare all'orizzontela qualesia lunga quanto la linea composta dalla sublimità edall'altezza della semiparabola.


COROLLARIO

Da ciò risulta che sonotra loro eguali gli impeti di tutte le semiparabolein ciascunadelle quali la somma dell'altezza con la sublimitàè sempre la medesima.


PROBLEMA.PROPOSIZIONE 11

Dati l'impeto e l'ampiezza diuna semiparabolatrovare l'altezza.


PROBLEMA.PROPOSIZIONE 12

Calcolare e ordinare in unatavola le ampiezze di tutte le semiparabole descritte da proiettilanciati col medesimo impeto.


Sagr. Mi mancaper l'intera intelligenza di questadimostrazioneil saper come sia vero che la terza proporzionaledelle bfbi sia (come dice l'Autore) necessariamentemaggiore della fa.

Salv. Tal conseguenza mi par che si possa dedurre in tal modo.Il quadrato della media di tre linee proporzionali è eguale alrettangolo dell'altre due; onde il quadrato della bio dellabd ad essa egualedeve esser eguale al rettangolo della primafb nella terza da ritrovarsi: la qual terza ènecessario che sia maggiore della faperché ilrettangolo della bf in fa è minore del quadratobded il mancamento è quanto il quadrato della dfcome dimostra Euclide in una del secondo. Devesi anco avvertire cheil punto fche divide la tangente eb in mezoaltremolte volte cadrà sopra 'l punto aed una volta anconell'istesso a; ne i quali casi è per sé notoche la terza proporzionale della metà della tangente e dellabi (che dà la subblimità) è tutta soprala a. Ma l'Autore ha preso il caso dove non era manifesto chela detta terza proporzionale fusse sempre maggiore della faeche peròaggiunta sopra 'l punto fpassasse oltrealla parallela ag. Or seguitiamo.


Ampiezzedelle semiparabole descritte dal medesimo impeto.


 

Gr.


 

Gr.

 

Gr.


 

Gr.

45

10000


69

6692

21

46

9994

44

70

6428

20

47

9976

43

71

6157

19







48

9945

42

72

5878

18

49

9902

41

73

5592

17

50

9848

40

74

5300

16







51

9782

39

75

5000

15

52

9704

38

76

4694

14

53

9612

37

77

4383

13







54

9511

36

78

4067

12

55

9396

35

79

3746

11

56

9272

34

80

3420

10







57

9136

33

81

3090

9

58

8989

32

82

2756

8

59

8829

31

83

2419

7







60

8659

30

84

2079

6

61

8481

29

85

1736

5

62

8290

28

86

1391

4







63

8090

27

87

1044

3

64

7880

26

88

698

2

65

7660

25

89

349

1







66

7431

24




67

7191

23




68

6944

22






Non sarà inutilemercél'ausilio della precedente tavolacomporne un'altra che unisca lealtezze delle medesime semiparabole descritte da proietti lanciaticon lo stesso impeto.


Altezze delle semiparabole ilcui impeto sia il medesimo.


 

Gr.


 

Gr.


 

Gr.


 

Gr.


1

3

46

5173

25

1786

70

8830

2

13

47

5346

26

1922

71

8940

3

28

48

5523

27

2061

72

9045









4

50

49

5698

28

2204

73

9144

5

76

50

5868

29

2351

74

9240

6

108

51

6038

30

2499

75

9330









7

150

52

6207

31

2653

76

9415

8

194

53

6379

32

2810

77

9493

9

245

54

6546

33

2967

78

9567









10

302

55

6710

34

3128

79

9636

11

365

56

6873

35

3289

80

9698

12

432

57

7033

36

3456

81

9755









13

506

58

7190

37

3621

82

9806

14

585

59

7348

38

3793

83

9851

15

670

60

7502

39

3962

84

9890









16

760

61

7649

40

4132

85

9924

17

855

62

7796

41

4302

86

9951

18

955

63

7939

42

4477

87

9972









19

1060

64

8078

43

4654

88

9987

20

1170

65

8214

44

4827

89

9998

21

1285

66

8346

45

5000

90

10000









22

1402

67

8474





23

1527

68

8597





24

1685

69

8715







Sagr. Questa vedrò io molto volentierimentre che peressa potrò venir in cognizione della differenza de gl'impeti edelle forze che si ricercano per cacciar il proietto nella medesimalontananza con tiri che chiamano di volata; la qual differenza credoche sia grandissima secondo le diverse elevazioni: sì cheperesempiose altri volesse alla elevazione di 3 o 4 gradio di 87 o88far cader la palla dove fu cacciata alla elevazione di 45 (dovesi è mostrato ricercarsi l'impeto minimo)credo siricercherebbe un eccesso immenso di forza.

Salv. V. S. stima benissimo; e vedrà che per eseguirel'opera intera in tutte l'elevazionibisogna andar a gran passoverso l'impeto infinito. Or veggiamo la costruzzione della tavola.


PROBLEMA.PROPOSIZIONE 13

Date le ampiezze dellesemiparaboleordinate nella tavola precedentesupponendo comunel'impeto con cui ciascuna viene descrittaricavarne le rispettivealtezze.

Non sarà inutilepresentare una terza tavolacontenente le altezze e le sublimitàdelle semiparabole aventi la medesima ampiezza.

Tavola contenente le altezzee le sublimità delle semiparabole aventi le medesime ampiezzecioè di 10.000 particalcolata per ogni singolo gradodi elevazione.


 

Gr.

 

Altit.

 

Subl.

 

Gr.

 

Altit.

 

Subl.

1

87

286533

46

5177

4828

2

175

142450

47

5363

4662

3

262

95802

48

5553

4502







4

349

71531

49

5752

4345

5

437

57142

50

5959

4196

6

525

47573

51

6174

4048







7

614

40716

52

6399

3906

8

702

35587

53

6635

3765

9

792

31565

54

6882

3632







10

881

28367

55

7141

3500

11

972

25720

56

7413

3372

12

1063

23518

57

7699

3247







13

1154

21701

58

8002

3123

14

1246

20056

59

8332

3004

15

1339

18663

60

8600

2887







16

1434

17405

61

9020

2771

17

1529

16355

62

9403

2658

18

1624

15389

63

9813

2547







19

1722

14522

64

10251

2438

20

1820

13736

65

10722

2331

21

1919

13024

66

11230

2226







22

2020

12376

67

11779

2122

23

2123

11778

68

12375

2020

24

2226

11230

69

13025

1919







25

2332

10722

70

13237

1819

26

2439

10253

71

14521

1721

27

2547

9814

72

15388

1624







28

2658

9404

73

16354

1528

29

2772

9020

74

17437

1433

30

2887

8659

75

18660

1339







31

3008

8336

76

20054

1246

32

3124

8001

77

21657

1154

33

3247

7699

78

23523

1062







34

3373

7413

79

25723

972

35

3501

7141

80

28356

881

36

3633

6882

81

31569

792







37

3768

6635

82

35577

702

38

3906

6395

83

40222

613

39

4049

6174

84

47572

525







40

4196

5959

85

57150

437

41

4346

5752

86

71503

349

42

4502

5553

87

95405

262







43

4662

5362

88

143181

174

44

4828

5177

89

286499

87

45

5000

5000

90

infinita



PROPOSIZIONE 14

Determinareper ogni grado dielevazionel'altezza e la sublimità delle semiparabole aventieguale ampiezza.

Le otterremo tutte per mezzo diun facile procedimentoinfattiposto che l'ampiezza dellasemiparabola sia sempre di 10.000 partila metà dellatangente daràdi un qualunque grado di elevazionelarispettiva altezza. Comead esempionella semiparabolala cuielevazione sia di 30 gradie la cui ampiezza sia - come si èposto - di 10.000 partil'altezza sarà 2887; tale èinfattiapprossimatamentela misura della metà dellatangente. Una volta trovata l'altezzaricaveremo la sublimitàin questo modo. Poiché si è dimostrato che la metàdell'ampiezza di una semiparabola è media proporzionale tral'altezza e la sublimitàessendosi già trovatal'altezza ed essendo la metà dell'ampiezza sempre la medesimacioè di 5000 partise divideremo il quadrato di quest'ultimaper l'altezza datane risulterà la sublimità cercata.Nell'esempio si era trovato che l'altezza è 2887; orailquadrato di 5000 parti è 25.000.000; chediviso per 2887dàapprossimatamenteper la sublimità cercata8659.


Salv. Or qui si vedeprimieramentecome è verissimoil concetto accennato di soprache nelle diverse elevazioniquantopiù si allontanano dalla mediao sia nelle più alte onelle più bassetanto si ricerca maggior impeto e violenzaper cacciar il proietto nella medesima lontananza. Imperò checonsistendo l'impeto nella mistione de i due motiorizontaleequabile e perpendicolare naturalmente acceleratodel qual impetovien ad esser misura l'aggregato dell'altezza e della sublimitàvedesi dalla proposta tavolatale aggregato esser minimonell'elevazione di gr. 45dove l'altezza e la sublimità sonoegualicioè 5000 ciaschedunae l'aggregato loro 10000: chese noi cercheremo ad altra maggiore altezzacomeper esempiodigr. 50troveremo l'altezza esser 5959e la sublimità 4196che giunti insieme sommano 10155; e tanto troveremo parimente esserl'impeto di gr. 40essendo questa e quella elevazione egualmentelontane dalla media. Dove doviamo secondariamente notareesser veroche eguali impeti si ricercano a due a due delle elevazioni distantiegualmente dalla mediacon questa bella alternazione di piùche l'altezze e le sublimità delle superiori elevazionicontrariamente rispondono alle sublimità ed altezze delleinferiori; sì che dovenell'esempio propostonell'elevazionedi 50 gr. l'altezza è 5959 e la sublimità 4196nell'elevazione di gr. 40 accade all'incontro l'altezza esser 4196 ela sublimità 5959: e l'istesso accade in tutte l'altre senzaveruna differenzase non in quantoper fuggir il tedio delcalcolarenon si è tenuto conto di alcune frazzionile qualiin somme così grandi non sono di momento né diprogiudizio alcuno.

Sagr. Io vo osservandocome delli due impeti orizontale eperpendicolarenelle proiezzioniquanto più sono sublimitanto meno vi si ricerca dell'orizontalee molto del perpendicolare;all'incontronelle poco elevate grande bisogna che sia la forzadell'impeto orizontaleche a poca altezza deve cacciar il proietto.Ma se ben io capisco benissimoche nella totale elevazione di gr.90per cacciar il proietto un sol dito lontano dal perpendicolononbasta tutta la forza del mondoma necessariamente deve egli ricaderenell'istesso luogo onde fu cacciato; non però con similsicurezza ardirei di affermareche anco nella nulla elevazionecioènella linea orizontalenon potesse da qualche forzaben che noninfinitaesser in alcuna lontananza spinto il proiettosìcheper esempioné anco una colubrina sia potente a spignereuna palla di ferro orizontalmentecome diconodi punto biancocioèdi punto niunoche è dove non si dà elevazione. Iodico che in questo caso resto con qualche ambiguità: e che ionon neghi resolutamente il fattomi ritiene un altro accidentechepar non meno stranoe pure ne ho la dimostrazione concludentenecessariamente. E l'accidente è l'esser impossibiledistendere una corda sìche resti tesa dirittamente eparallela all'orizonte; ma sempre fa sacca e si piegané vi èforza che basti a tenderla rettamente.

Salv. AdunqueSig. Sagredoin questo caso della corda cessain voi la maraviglia circa la stravaganza dell'effettoperchéne avete la dimostrazione; ma se noi ben considereremoforsetroveremo qualche corrispondenza tra l'accidente del proietto equesto della corda. La curvità della linea del proiettoorizontale par che derivi dalle due forzedelle quali una (che èquella del proiciente) lo caccia orizontalmentee l'altra (che èla propria gravità) lo tira in giù a piombo. Ma neltender la corda vi sono le forze di coloro che orizontalmente latiranoe vi è ancora il peso dell'istessa cordachenaturalmente inclina al basso. Son dunque queste due generazioniassai simili. E se voi date al peso della corda tanta possanza edenergia di poter contrastare e vincer qual si voglia immensa forzache la voglia distendere drittamenteperché vorrete negarlaal peso della palla? Ma più voglio dirvirecandovi insiememaraviglia e dilettoche la corda così tesae poco o moltotiratasi piega in lineele quali assai si avvicinano alleparaboliche: e la similitudine è tantache se voi segneretein una superficie piana ed eretta all'orizonte una linea parabolicae tenendola inversacioè col vertice in giù e con labase parallela all'orizontefacendo pendere una catenella sostenutanelle estremità della base della segnata parabolavedreteallentando più o meno la detta catenuzzaincurvarsi eadattarsi alla medesima parabolae tale adattamento tanto piùesser precisoquanto la segnata parabola sarà men curvacioèpiù distesa; sì che nelle parabole descritte conelevazioni sotto a i gr. 45la catenella camina quasi ad unguemsopra la parabola.

Sagr. Adunque con una tal catena sottilmente lavorata sipotrebbero in un subito punteggiar molte linee paraboliche sopra unapiana superficie.

Salv. Potrebbesied ancora con qualche utilità nonpiccolacome appresso vi dirò.

Simp. Ma prima che passar più avantivorrei pur ioancora restar assicurato almeno di quella proposizione della qualevoi dite essercene dimostrazione necessariamente concludente; dicodell'esser impossibileper qualunque immensa forzafare star tesauna corda drittamente ed equidistante all'orizonte.

Sagr. Vedrò se mi sovviene della dimostrazione; perintelligenza della quale bisognaSig. Simplicioche voisupponghiate per vero quello che in tutti gli strumenti mecanicinonsolo con l'esperienzama con la dimostrazione ancorasi verifica: equesto èche la velocità del moventeben che di forzadebolepuò superare la resistenzaben che grandissimadi unresistente che lentamente debba esser mossotutta volta che maggiorproporzione abbia la velocità del movente alla tarditàdel resistenteche non ha la resistenza di quel che deve esser mossoalla forza del movente.

Simp. Questo mi è notissimoe dimostrato da Aristotelenelle sue Quistioni Mecaniche; e manifestamente si vede nella leva enella staderadove il romanoche non pesi più di 4 libreleverà un peso di 400mentre che la lontananza di esso romanodal centrosopra 'l quale si volge la staderasia più dicento volte maggiore della distanza dal medesimo centro di quel puntodal quale pende il gran peso: e questo avvieneperchénelcalar che fa il romanopassa spazio più di cento voltemaggiore dello spazio per il quale nel medesimo tempo monta il granpeso; che è l'istesso che direche il piccolo romano si muovecon velocità più che cento volte maggiore dellavelocità del gran peso.

Sagr. Voi ottimamente discorretee non mettete dubbio alcunonel concedereche per piccola che sia la forza del moventesupereràqualsivoglia gran resistenzatutta volta che quello piùavanzi di velocitàch'ei non cede di vigore e gravità.Or venghiamo al caso della corda: e segnando un poco di figura

intendete per oraquesta linea abpassando sopra i due puntifissi e stabili abaver nelle estremità suependenticome vedetedue immensi pesi cdli qualitirandola con grandissima forzala facciano star veramente tesadirittamenteessendo essa una semplice lineasenza veruna gravità.Or qui vi soggiungo e dicoche se dal mezzo di quellache sia ilpunto evoi sospenderete qualsivoglia piccolo pesoquale siaquesto hla linea ab cederàed inclinandosiverso il punto fed in consequenza allungandosicostringerài due gravissimi pesi cd a salir in alto: il che intal guisa vi dimostro. Intorno a i due punti abcomecentridescrivo 2 quadrantieigelm; ed essendo cheli due semidiametri aibl sono eguali alli due aeebgli avanzi fifl saranno le quantitàde gli allungamenti delle parti affb sopra le aeebed in conseguenza determinano le salite de i pesi cdtutta volta però che il peso h avesse autofacoltà di calare in f: il che allora potrebbe seguirequando la linea efche è la quantità dellascesa di esso peso havesse maggior proporzione alla lineafiche determina la salita de i due pesi cdche non ha la gravità di amendue essi pesi alla gravitàdel peso h. Ma questo necessariamente avverràsia purquanto si voglia massima la gravità de i pesi cde minima quella dell'h: imperò che non è sìgrande l'eccesso de i pesi cd sopra 'l peso hche maggiore non possa essere a proporzione l'eccesso della tangenteef sopra la parte della segante fi. Il che proveremocosì. Sia il cerchioil cui diametro gai: e qualproporzione ha la gravità de i pesi cd allagravità di htale la abbia la linea bo adun'altrache sia cdella quale sia minore la dsìche maggior proporzione arà la bo alla d chealla c. Prendasi delle due obd la terzaproporzionale bee come oe ad ebcosìsi faccia il diametro gi (prolungandolo) all'ife daltermine f tirisi la tangente fn; e perché si èfattocome oe ad ebcosì gi ad ifsaràcomponendocome ob a becosì gfad fi: ma tra ob e be media la de tragffi media la nf: adunque nf alla fiha la medesima proporzione che la ob alla dla qualproporzione è maggiore di quella de i pesi cdal peso h. Avendo dunque maggior proporzione la scesa ovelocità del peso h alla salita o velocità deipesi cdche non ha la gravità di essi pesi cd alla gravità del peso h; resta manifesto cheil peso h descenderàcioè la linea abpartirà dalla rettitudine orizontale. E quel che avviene allaretta ab priva di gravitàmentre si attacchi in equalsivoglia minimo peso havviene all'istessa corda abintesa di materia pesantesenza l'aggiunta di alcun altro grave;poiché vi si sospende il peso istesso della materia componenteessa corda ab.

Simp. Io resto satisfatto a pieno: però potrà ilSig. Salviaticonforme alla promessaesplicarci qual sia l'utilitàche da simile catenella si può ritrarreedopo questoarrecarci quelle specolazioni che dal nostro Accademico sono statefatte intorno alla forza della percossa.

Salv. Assai per questo giorno ci siamo occupati nellecontemplazioni passate: l'orache non poco è tardanon cibasterebbe a gran segno per disbrigarci dalle nominate materie; peròdifferiremo il congresso ad altro tempo più opportuno.

Sagr. Concorro col parere di V. S.perché da diversiragionamenti auti con amici intrinseci del nostro Accademico horitrattoquesta materia della forza della percossa essereoscurissimané di quella sin ora esserneda chiunque ne hatrattatopenetrato i suoi ricettipieni di tenebre ed alieni intutto e per tutto dalle prime immaginazioni umane; e tra leconclusioni sentite profferire me ne resta in fantasia unastravagantissimacioè che la forza della percossa èinterminataper non dir infinita. Aspetteremo dunque la commoditàdel Sig. Salviati. Ma intanto dicami che materie sono questeche siveggono scritte dopo il trattato de i proietti.

Salv. Queste sono alcune proposizioni attenenti al centro digravità de i solidile quali in sua gioventù andòritrovando il nostro Accademicoparendogli che quello che in talmaniera aveva scritto Federigo Comandino non mancasse di qualcheimperfezzione. Credette dunque con queste proposizioniche quivedete scrittepoter supplire a quello che si desiderava nel librodel Comandino; ed applicossi a questa contemplazione ad instanzadell'Illustrissimo Sig. Marchese Guid'Ubaldo Dal Montegrandissimomatematico de' suoi tempicome le diverse sue opere publicate nemostranoed a quel Signore ne dette copiacon pensiero di andarseguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dalComandino; ma incontratosidopo alcun temponel libro del Sig. LucaValeriomassimo geometrae veduto come egli risolve tutta questamateria senza niente lasciar in dietronon seguitò piùavantiben che le aggressioni sue siano per strade molto diverse daquelle del Sig. Valerio.

Sagr. Sarà bene dunque che in questo tempo ches'intermette tra i nostri passati ed i futuri congressiV. S. milasci nelle mani il libroche io tra tanto anderò vedendo estudiando le proposizioni conseguentemente scrittevi.

Salv. Molto volentieri eseguisco la vostra domandae speroche V. S. prenderà gusto di tali proposizioni.

 

APPENDICE

CONTENENTE I TEOREMIE LERELATIVE DIMOSTRAZIONIINTORNO AL CENTRO DI GRAVITÀ DEISOLIDIQUALI FURONO SCRITTI UN TEMPO DAL MEDESIMO AUTORE>


POSTULATO

Dati dei pesi eguali similmente disposti in bilance diversepostuliamo chese il centro di gravità del composto degli unidivide la bilancia secondo una certa proporzioneanche ilcentro di gravità del composto degli altri divide la bilancia secondo la medesima proporzione.


LEMMA

La linea ab sia intersecata a metà in ce lametà ac sia divisa in e; sì chequal èla proporzione che be ha ad eatale sia quella che aeha ad ec. Dicoche la be è doppia della stessaea. Infattipoichécome be sta ad eacosì ea sta ad eccomponendo e permutandoavremo checome ba sta ad accosì aesta ad ec; ma come ae sta ad eccioècome ba ad accosì be sta ad ea:perciò be è doppia della stessa ea.

Ciò postosi dimostra che: Se un numero qualsiasi digrandezzeche si eccedono egualmente e i cui eccessi sono egualialla minima di essevengono disposte su una bilancia in modo chependano a distanze egualiil centro di gravità di tutte divide la bilancia in modo tale che la parte verso le minori è doppia dell'altra.

Pertantosulla bilancia aba distanze egualipendanoin numeroqualsiasile grandezze fghknle quali siano come si è detto; e la minima di esse sia n;inoltre siano acdebipunti di sospensionee sia x il centro di gravità ditutte le grandezze così disposte. Bisogna mostrare che laparte bx della bilanciaverso le grandezze minorièdoppia dell'altra xa.

Si divida la bilancia a metà nel punto dchenecessariamente cadrà o in qualcuno dei punti di sospensioneo nel punto di mezzo tra due sospensioni; orale altre distanze frale sospensioni comprese tra a e d siano tutte divise ametà nei punti m e i; le grandezzepoivengonotutte divise in parti eguali alla n; il numero delle partidella f sarà allora eguale al numero delle grandezzeche pendono dalla bilancia; le parti della ginvecesarannouna di menoe così per tutte le altre. Le parti della fsianopertantonorst;quelle della g nors;quelle della h nor; infinele parti della k siano n e o: tutte le parti(cioè la loro somma) segnate da n saranno egualialla f; tutte quelle segnate da osaranno eguali allag; quelle segnate da rsaranno eguali alla h;quelle segnate da slo saranno alla k; infine lagrandezza t è eguale alla n. Poichédunquetutte le grandezze segnate da n sono tra di loroegualiil punto del loro equilibrio sarà in dchedivide a metà la bilancia ab; per la medesima ragionedi tutte le grandezze segnate da o il punto di equilibrio èin i; di quelle segnate da r è in c; equelle segnate da shanno il loro punto di equilibrio in m;infine t è appesa in a. Pertantosulla bilanciaaba distanze eguali dicmasono appese grandezze che si eccedono egualmente e il cuieccesso è eguale alla minima: ma la massimache risultacomposta di tutte le npende da d; la minimainvececioè tpende da a; e tutte le altre sonodisposte ordinatamente. V'èinoltreun'altra bilancia absulla quale sono disposte nel medesimo ordine altre grandezzeegualialle predette in numero e in grandezza: perciò le bilance abe ad verranno divise dai centri di gravità delcomposto di tutte le grandezze secondo la medesima proporzione. Ma ilcentro di gravità delle suddette grandezze è x;perciò x divide le bilance ba e adsecondo la medesima proporzionein modo checome bx sta a xacosì xa stia a xd; perciò bx èdoppia di xaper il lemma posto sopra. Il che è quelloche si doveva provare.

Se in un conoide parabolico viene inscritta una figura e se necircoscrive un'altra da cilindri aventi eguale altezzae si divide l'asse del detto conoide in modo che la parte verso ilvertice sia doppia della parte verso la base; il centro di gravitàdella figura inscritta sarà più vicino del detto puntodi divisione alla base della porzione ; il centrodi gravità della figura circoscrittainvecesarà piùlontano del medesimo punto dalla base del conoide; e la distanza diciascuno dei due centri da tale punto sarà eguale alla lineache sia la sesta parte dell'altezza di uno dei cilindri da cui sonocostituite le figure.

Sianopertantounconoide parabolico e figure taliquali si sono dette: l'una siainscrittal'altra circoscritta; l'asse del conoideil quale sia aevenga diviso nel punto n in modo che an sia doppia dine. Bisogna mostrare che il centro di gravità dellafigura inscritta si trova sulla linea nementre il centro diquella circoscritta si trova sulla an. Le figure cosìdisposte vengano intersecate da un piano per l'assee lasezione della parabola (ossia del conoide parabolico) sia bac:l'intersezione del piano secante con la base del conoide sia la lineabc; le sezioni dei cilindri siano figure rettangolari: comerisulta nel disegno. Orail primo dei cilindri inscrittiil cuiasse è derispetto al cilindroil cui asse èdyha la medesima proporzione che il quadrato id alquadrato sycioè che da da ad ay;inoltreil cilindroil cui asse è dysta al cilindroyzcome il quadrato di sy sta al quadrato di rzcioè come ya sta ad az; eper la stessaragioneil cilindroil cui asse è zysta a quelloil cui asse è zucome za sta ad au.Dunquei suddetti cilindri stanno tra di loro come le linee daayzaau: ma queste linee sono tra loroegualmente eccedenti e il loro eccesso è eguale alla minimain modo che az risulta doppia di aumentre ayne risulta triplae da quadrupla. I suddetti cilindri sonodunquegrandezze egualmente eccedentisi l'una l'altrai cui eccessisono eguali alla minima di esse; inoltre la linea xm èquellasulla quale esse sono appese a distanze eguali (infatticiascun cilindro ha il centro di gravità nel mezzo del proprioasse): perciòper le cose sopra dimostrateil centro digravità della grandezza composta da tutte dividerà la linea xm in modo che la parte verso xsia doppia dell'altra. Si facciadunquela divisionee xasia doppia di am:dunquea èil centro di gravità della figura inscritta. Si divida la aua metà in e;ex saràdoppia della me: ma xaè doppia della amperciò eeè tripla della ea.Ma ae è tripla della en: risultadunqueche enè maggiore della eae perciò ache è il centro di gravità della figura inscrittaèpiù vicino di n alla base del conoide. Poichécome ae sta ad encosì la parte tolta eesta alla parte tolta easi avrà che anche la parte rimanente starà all'altraparte rimanentecioè aead nacome ae sta ad en. Dunqueanè la terza parte di aee la sesta parte di au. Nel medesimo modo si dimostra poi chei cilindri della figura circoscritta si eccedono egualmenteche glieccessi sono eguali al cilindro minimoe che i loro centri digravità si trovano sulla linea ema distanze eguali. Sepertantosi divide emin pin modoche ep siadoppia della rimanente pmp saràil centro di gravità dell'intera grandezza circoscritta:inoltrepoiché epè doppia di pmmentre aeè minore del doppio di em (poiché le èeguale)l'intera ae risulterà minore del triplo dellaep;perciò epsarà maggiore della en. Inoltreessendo la emtripla della mped essendo me col doppio di eaparimenti tripla della meallora l'intera aeinsiemecon la aesarà tripla della ep.Ma ae è tripla della en; perciò larimanente aesarà tripla della rimanente pn.Pertanto npè la sesta parte della au. Questo è appuntoquanto si doveva dimostrare.

Da ciò è manifesto che in un conoide parabolico èpossibile inscrivere una figura e circoscriverne un'altrain modoche i loro centri di gravità distino dal punto n menodi qualunque linea data. Seinfattidata una lineane prendiamoun'altra sei volte maggioree se facciamo gli assi dei cilindridaiquali sono costituite le figureminori della linea cosìpresa; allora le linee che si trovano fra il centro di gravitàdi ciascuna di queste figure e il punto n sarannominori della linea data.


ALTRADIMOSTRAZIONE DELLO STESSO


L'asse di un conoideche sia cdvenga diviso in o inmodo che co sia doppia di od. Bisogna mostrare che ilcentro di gravità della figura inscritta si trova sulla lineaodmentre il centro di quella circoscritta si trova sulla co.Le figure siano intersecate da un piano per l'asse e perccome si è detto. Ordunquepoiché i cilindrisntmvixe stanno tra loro come iquadrati delle linee sdtnvmxi; d'altra parte questi stanno tra di lorocome le linee nccmcice; inoltre queste si eccedono egualmente e gli eccessi sonoeguali alla minimacioè alla ce; e ilcilindro tm è eguale al cilindro qnmentre ilcilindro vi è eguale al cilindro pne ilcilindro xe è eguale al cilindro ln; dunqueicilindri snqnpnln si eccedonoegualmente e gli eccessi sono eguali al minimo di essicioèal cilindro ln. Ma l'eccesso del cilindro sn sulcilindro qn è un anellola cui altezza è qtcioè nde la cui larghezza è sq;l'eccesso del cilindro qn sul cilindro pn è unanellola cui larghezza è qp; infine l'eccesso delcilindro pn sul cilindro ln è un anellola cuilarghezza è pl. Perciò i suddetti anelli sqqppl sono eguali tra di loro e alcilindro ln. L'anello st è pertanto eguale alcilindro xe; l'anello qvdoppio dell'anello stè eguale al cilindro viil quale è similmentedoppio del cilindro xe; e per la stessa ragionel'anello pxsarà eguale al cilindro tme il cilindro le alcilindro sn. Pertantosulla bilancia kfla qualeunisce i punti medi delle rette ei e dn ed èintersecata in parti eguali nei punti h e gsi trovanodelle grandezzecioè i cilindri sntmvixe; e il centro di gravità del primo cilindro èkquello del secondo è hquello del terzo ège quello del quarto è f. Ma abbiamo ancheun'altra bilancia mkche è la metà della fke che è divisa da altrettanti punti in parti egualicioèmhhnnk; su di essa si trovano altregrandezzele quali sono eguali in numero e grandezza a quelle che sitrovano sulla bilancia fke hanno i centri digravità nei punti mhnkesono disposte nel medesimo ordine. Il cilindro le ha infattiil centro di gravità in med è eguale alcilindro snche ha il centro di gravità in k;l'anello px ha il centro di gravità in hed èeguale al cilindro tmil cui centro di gravità èh; l'anello qvavente il centro di gravità innè eguale al cilindro viil cui centro èg; infine l'anello stavente il centro di gravitàin kè eguale al cilindro xeil cui centro èf. Pertantoil centro di gravità delle suddettegrandezze divide la bilancia secondo la medesima proporzione: ma illoro centro è unicoe perciò è un qualche puntocomune ad entrambe le bilanceil quale sia y.Pertanto fy starà a yk come ky a ym;dunquefy è doppia della yk; e divisa la cea metà in zzf sarà doppia di kde di conseguenza zd sarà tripla della dy. Madella retta do è tripla la cd: dunquela rettado è maggiore della dy; e perciò ilcentro di gravità y della figura inscritta è piùvicino del punto o alla base. E poichécome cdsta a docosì la parte tolta zd sta alla partetolta dyallora anche la parte rimanente cz staràalla parte rimanente yo come cd sta a do: cioèyo sarà la terza parte della czcioè lasesta parte della ce. Con identico procedimento mostreremod'altra parteche i cilindri della figura circoscritta si eccedonoegualmenteche gli eccessi sono eguali al cilindro minimoe che iloro centri di gravità sono situati sulla bilancia kz adistanze eguali; inoltre parimenti che anelli egualiai medesimi cilindri sono similmente disposti sull'altra bilancia kgche è la metà della bilancia kz; e cheperciòil centro di gravità della figura circoscrittail quale siardivide le bilance in modo che zr stia ad rkcome kr sta ad rg. Dunquezr sarà doppiadella rk; ma cz sarà eguale alla retta kde non doppia: l'intera cd sarà allora minore del triplodella dr; perciò la retta dr è maggioredella do: ovverossiail centro di gravità della figuracircoscritta è più distante del punto o dallabase. E poiché zk è tripla della kre kd col doppio di zc è tripla dikdl'intera cdinsieme con czsaràtripla della dr. Ma cd è tripla della do:perciò la parte rimanente cz sarà tripladell'altra parte rimanente ro: cioè or èla sesta parte della ec. Che è quello che ci eravamoproposti.

Fatte queste dimostrazioni inizialisi dimostra ora che il centro digravità di un conoide parabolico divide l'asse in modo taleche la parte verso il vertice è doppia della rimanente parteverso la base.

Siaun conoide parabolicoil cui asse ab venga diviso in nin modo che an sia doppia di nb. Bisogna mostrare cheil centro di gravità del conoide è il punto n.Infattise non è nsi troverà o sotto o sopradi esso. In primo luogo si trovi sottoe sia essox: si ponga a parte la linea loeguale alla nxe la si divida a caso in s; e qual è la proporzione che ambedue le bx e os ha rispetto a ostale sia anche la proporzione che il conoide ha rispetto al solido r:si inscriva nel conoide una figura da cilindri aventieguale altezzain modo che la linea compresa tra il centro digravità di essa e il punto n sia minore dellalinea lse l'eccessoper il quale vienesuperata dal conoidesia minore del solido r. Che poi ciòsia possibileè manifesto. Sia pertanto inscritta il cui centro di gravità sia i: saràallora ix maggiore di so; poiché abbiamo checome xb con so sta ad socosìil conoide sta ad r (ma r è maggioredell'eccesso per il quale il conoide supera la figura inscritta)laproporzione del conoide al suddetto eccesso sarà maggioredella proporzione che ambedue le bx e osha rispetto ad so: scomponendola figura inscritta avràrispetto al suddetto eccessouna proporzione maggiore dellaproporzione di bx ad so. Ma la proporzione di bxa xi è ancora minore di quella che bx)ha ad so: la figura inscritta avràpertantorispettoalle rimanenti porzioniuna proporzione molto maggiore di quella chebx ha ad xi. Pertantoquale è la proporzioneche la figura inscritta ha rispetto alle rimanenti porzionitalesarà anche la proporzione di un'altra linea qualsiasi a xi; che risulterà necessariamente maggiore di bx.Sia essapertantomx. Abbiamo così in x ilcentro di gravità del conoidee in i quello dellafigura inscritta: dunqueil centro di gravità delle rimanentiporzioniper le quali il conoide eccede la figura inscrittasitroverà sulla linea xme precisamente in quel puntoche determinerebbe su di essa una linea taleche il rapporto diquest'ultima a xi sia eguale alla proporzione che la figurainscritta ha rispetto all'eccessoper il quale è superata dalconoide. Ma si è mostrato che tale proporzione èappunto quella che mx ha a xi: sarà dunque mil centro di gravità delle porzioniper le quali il conoideeccede la figura inscritta. Il che non è certamente possibile:infattise per m si conduce un piano equidistante dalla basedel conoidetutte le porzioni suddette si troveranno da una stessapartee non saranno divise da esso. Pertantoil centro di gravitàdel conoide non si trova al di sotto del punto n. Ma nemmeno sopra. Infattiqualora sia possibileesso sia h; edi nuovocome soprasi ponga a parte la linealo eguale alla hne la si divida a caso in s; equale è la proporzione che entrambe le bned so ha ad sltale sia anche la proporzione che ilconoide ha ad r; si circoscriva al conoide una figura da cilindri nel modo che si è dettola quale siaeccedente per una quantità minore delsolido r; e la linea tra il centro di gravitàdella figura circoscritta e il punto n sia minore di so:la restante uh sarà maggiore di ls; e poichéabbiamo checome entrambe le bn e os staad slcosì il conoide sta ad r (ma r èmaggiore dell'eccessoper il quale il conoide è superatodalla figura circoscritta)dunque bn e osavrà rispetto ad sl una proporzione minore di quellache il conoide ha rispetto al suddetto eccesso. Ma bu èminore di bn e os; uhinveceèmaggiore di sl: pertanto il conoide avrà rispetto allesuddette porzioni una proporzione molto maggiore di quella che buha ad uh. Pertantoquale è la proporzione che ilconoide ha rispetto a quelle medesime porzionitale sarà purela proporzione che una linea maggiore della bu avràrispetto alla uh. L'abbiadunquee sia essa mu;poiché il centro di gravità della figura circoscritta èue il centro di gravità del conoide è he poiché abbiamo inoltre checome il conoide sta alleporzioni rimanenticosì mu sta a uhsaràallora m il centro di gravità di quelle porzionirimanenti: il che è similmente impossibile. Il centro digravità del conoide non si trova dunque al di sopra del punton: ma si è dimostrato che non si trova neppure al disotto: resta dunque che esso debba necessariamente trovarsi proprioin n. E col medesimo procedimento ciò si dimostreràdi un conoide intersecato da un piano non perpendicolare all'asse. Inaltre parolema è la stessa cosacome risulta nel seguenteil centro di gravità di un conoide parabolico va acadere tra il centro della figura circoscritta e il centro di quellainscritta.

Siaun conoide avente asse ab: il centro della figura circoscrittasia ce quello della figura inscritta sia o. Dicocheil centro del conoide si trova tra i punti c e o.Infattise ciò non fossedovrà trovarsi o al disoprao al di sottoo in uno di essi. Sia al di sottoad esempioin r: poiché r è il centro di gravitàdell'intero conoide e o il centro di gravità dellafigura inscrittadunque il centro di gravità di tutte lealtre porzioniper le quali la figura inscritta è superatadal conoidesi troverà sul prolungamento della linea ordalla parte di re precisamente in quel punto che delimita in modo chequale è la proporzionedelle dette porzioni alla figura inscrittatale sia anche laproporzione che la linea or ha rispetto alla linea compresatra r e quel punto. Questa proporzione sia quella che orha ad rx. Pertanto x andrà a cadere o al difuori del conoideo al di dentrooppure sulla base stessa. Sia che esso cada al di fuorisia che esso cadasulla baserisultano già manifestamente assurde. vada a cadere all'interno: poiché xr sta ad rocome la figura inscritta sta all'eccessoper il quale essa èsuperata dal conoideponiamo chequale è la proporzione dibr ad rotale sia anche quella che la figura inscrittaha rispetto al solido kil quale dovrà esserenecessariamente minore del suddetto eccesso; si inscriva poi un'altrafigurala quale sia superata dal conoide per un eccesso minore di k:il suo centro di gravità cadrà tra o e c.Sia esso u: poiché la prima figura sta a k comebr sta ad roe poichéd'altra partelaseconda figurail cui centro é uè maggioredella prima ed è superata dal conoide per un eccesso minore diksi avrà allora chequale è la proporzioneche la seconda figura ha rispetto all'eccessoper il quale essa èsuperata dal conoidetale è anche la proporzione che unalinea maggiore della br ha rispetto alla linea ru. Mail centro di gravità del conoide è rmentrequello della figura inscritta è u: dunqueil centro digravità delle rimanenti porzioni si troverà al di fuoridel conoideal di sotto di b; il che è impossibile. Ecol medesimo procedimento si dimostrerà che il centro digravità del medesimo conoide non si trova sulla linea ca.Che poi esso non sia né l'uno né l'altro dei due puntic e ociò è manifesto. Infattiqualorasupponessimo ciòdescritte altre figuretali chequella inscritta sia maggiore della figura il cui centro è oe quella circoscritta sia minore della figura il cui centro ècil centro di gravità del conoide andrebbe a caderefuori del centro di gravità di tali figure: il che èimpossibilecome abbiamo testé concluso. Ne conseguedunqueche esso si trova compreso tra il centro della figura circoscritta equello della figura inscritta. Se è cosìdovràtrovarsi necessariamente in quel punto che divide l'asse in modo chela parte verso il vertice sia doppia della rimanente. Infattipoichési possono inscrivere e circoscrivere figure taliche le lineecomprese tra il loro centro di gravità e il punto suddettosiano minori di qualunque linea datachi affermasse cosa diversaverrebbe condotto a questo assurdo: checioèil centro delconoide non si trovi tra i centri della figura inscritta e di quellacircoscritta.

Se vi sono tre linee proporzionalie si prende un'altra lineaqualsiasitale che la proporzione che essa ha rispetto ai due terzidell'eccessoper il quale la massima supera la mediasia egualealla proporzione che la minima ha rispetto all'eccessoper il qualela massima supera la minima; se inoltre si prende ancora un'altralinea taleche la proporzione che essa ha rispetto all'eccessoperil quale la massima supera la mediasia eguale alla proporzione chela lineacomposta dalla massima e dal doppio della mediaharispetto alla linea composta dal triplo della massima e della media; ambedue le linee prese insieme sarà la terza parte della massima tra le linee proporzionali.

Sianotre linee proporzionali abbcbf: e quale èla proporzione che bf ha ad aftale sia anche quellache ms ha rispetto ai due terzi della ca; inoltrequale è la proporzione che la linea composta da ab edal doppio di bc ha rispetto alla linea composta dal triplo diambedue le ab e bctale sia anche la proporzione cheun'altra lineacioè snha ad ac. Bisognadimostrare che mn è la terza parte della ab.Pertantopoiché abbcbf sonoproporzionalianche ac e cf si troveranno nel medesimorapporto: perciòcome ab sta a bccosìac sta cf; e come il triplo di ab al triplo dibccosì ac a cf. Pertantoquale èla proporzione che triplo di ab col triplo dibc ha rispetto al triplo di cbtale sarà anchela proporzione che ac ha a una linea minore della cf.Sia essa co. Perciòcomponendo e per conversione dellaproporzione (invertendo)oa avrà ad acla medesima proporzione che triplo di ab colsestuplo di bc ha rispetto al triplo di abcol triplo di bc: ma ac ha ad sn la medesimaproporzione che triplo di ab col triplo di bcha rispetto al ab col doppio di bc: exaequalidunqueoa avrà ad ns la medesimaproporzione che triplo di ab col sestuplo di bcha rispetto al ab col doppio di bc. Ora triplo di ab col sestuplo di bc èeguale a tre volte ab col doppio di bc:dunqueao è tripla di sn.

Inoltrepoiché oc sta a ca come il triplo di cbsta alla somma del triplo di ab col triplo di cb; epoiché come ca sta a cfcosì il triplodi ab al triplo di bc; dunqueex aequaliinproporzione perturbatasi avrà checome oc sta a cfcosì il triplo di ab sta alla somma del triplo di abcol triplo di bceper conversione della proporzionecomeof sta ad fccosì il triplo di bc staalla somma del triplo di ab col triplo di bc. Ma comecf sta ad fbcosì ac sta a cbeil triplo di ac al triplo di bc; ex aequalidunquein proporzione perturbatasi avrà checome ofsta ad fbcosì il triplo di ac sta al triplo diambedue le ab e bc insieme. Pertanto (componendo)l'intera ob starà alla bf come il sestuplo di absta al triplo di ambedue le ab e bc; e poiché fce ca stanno tra di loro nella medesima proporzione che cbe basi avrà checome fc sta a cacosìbc sta a baecomponendocome fa sta ad accosì ambedue le ba e bc sta a bae così il triplo sta al triplo: dunquecome fa sta adaccosì la linea composta dal triplo di ba edal triplo di bc sta al triplo di ab; perciòcome fa sta ai due terzi della accosì la lineacomposta dal triplo di ba e dal triplo di bc sta ai dueterzi del triplo di bacioè al doppio di ba. Macome fa sta ai due terzi della accosì fbsta ad ms; dunquecome fb sta ad mscosìla linea composta dal triplo di ba e dal triplo di bcsta al doppio di ba. Ma come ob sta ad fbcosìil sestuplo di ab stava al triplo di ambedue le ab ebc: dunqueex aequaliob avrà ad msla medesima proporzione che il sestuplo di ab al doppio di ba;perciò ms sarà la terza parte della ob.Si è anche dimostrato che sn è la terza parte diao: risulta dunque che mn èsimilmentelaterza parte di ab. E ciò è quello che si dovevadimostrare.

Il centro di gravità di un qualsiasi frusto staccatoda un conoide parabolico si trova sulla linea retta che èl'asse del frusto; diviso tale asse in tre parti egualiil centro digravità si trova nella parte di mezzo e la divide in modo chela parte verso la base minore avrà rispetto alla parte versola base maggiorela medesima proporzione che la base maggiore harispetto alla base minore.

Dalconoideil cui asse è rbsia staccato il solidoilcui asse è bee il piano secante sia equidistante dalla base; si facciainoltre una sezione per mezzo di un altro piano passante per l'asseperpendicolare alla base: tale sezione della parabola (sezione delconoide la quale genera una parabola) sia urc;inoltre le intersezioni di quest'ultimo piano col piano secante e conla base siano le linee rette lm ed uc:rb sarà il diametro di proporzioneo saràequidistante dal diametro; lm e uc sarannoordinatamente applicate ad esso. Si dividapertantoeb intre parti egualitra le quali la parte media sia qy; oraquest'ultima sia divisa dal punto i in modo chequale èla proporzione della baseil cui diametro è ucallabaseil cui diametro è lmcioè del quadrato diuc al quadrato di lmtale sia anche la proporzione diqi a iy. Bisogna dimostrare che i è ilcentro di gravità del frusto lmc. Si ponga a parte lalinea ns eguale alla bre sx sia eguale ad er;inoltre si prenda sg terza proporzionale delle linee nsed sx; infinequale è la proporzione che ng haa gstale sia anche quella che la linea bq ha rispettoa io. Non importa che il punto o si trovi sopra o sottola lm. Poiché nella sezione urc le linee lme uc sono ordinatamente applicatesi avrà checome ilquadrato di uc sta al quadrato di lmcosì lalinea br sta alla linea re: ma come il quadrato ucsta al quadrato lmcosì qi sta a iyecome br sta ad recosì ns ad sx;dunqueqi sta a iy come ns ad sx.Perciòcome qy sta a yicosì ambedue le ns ed sx starà ad sxecome eb sta a yicosì la linea composta daltriplo di ns e dal triplo di sx starà ad sx:ma come eb sta a bycosì la linea composta daltriplo di ambedue le ns ed sx insieme sta alla lineacomposta da ns ed sx: dunquecome eb sta a bicosì la linea composta dal triplo di ns e dal triplo disx sta alla linea composta da ns e dal doppio di sx.Le tre linee nssxgs sono dunqueproporzionali; e quale è la proporzione che sg ha a gntale è anche la proporzione che la linea presa oi harispetto ai due terzi della ebcioè della nx;inoltrequale è la proporzione che la linea composta da nse dal doppio di sxha rispetto alla linea composta dal triplodi ns e dal triplo di sxtale è anche laproporzione che l'altra linea presa ib ha rispetto a becioè rispetto a nx. Pertantoper le cose che si sonosopra dimostratequeste lineeprese insiemesaranno la terza partedella nscioè della rb; rb èdunque tripla della bo: perciò o sarà ilcentro di gravità del conoide urc. Sia poi a ilcentro di gravità del conoide lrm; dunqueil centro digravità del frusto ulmc si trova sulla linea obe precisamente in quel punto che la delimita in modo chequale èla proporzione che il frusto ulmc ha rispetto alla porzionelrmtale sia anche la proporzione che la linea ao harispetto alla linea compresa tra o e il punto suddetto. Epoiché ro è due terzi della rbed rai due terzi della re; la rimanente ao sarà i dueterzi della rimanente eb. E poiché abbiamo checome ilfrusto ulmc sta alla porzione lrmcosì ngsta a gs; e checome ng sta a gscosì idue terzi di eb stanno a oi; e poichéd'altraparteai due terzi di eb è eguale la linea ao;si avrà allora checome il frusto ulmc sta allaporzione lrmcosì ao sta a oi. Risultadunqueche il centro di gravità del frusto ulmc èil punto ie che esso divide l'asse in modo che la parteverso la base minore sta alla parte verso la base maggiore come doppio della base maggiore con la base minore sta al doppio della minore con la maggiore. Il che è ciòche ci eravamo propostispiegato più elegantemente.

Se un numero qualsiasi di grandezze sono disposte tra loro che la seconda sia superiore alla prima del doppiodella primala terza sia superiore alla seconda del triplo dellaprimala quarta sia superiore alla terza del quadruplo della primae così ciascuna delle grandezze che si susseguono siasuperiore a quella immediatamente precedente di una grandezzamultipla della prima secondo il numero che essa stessa occupa nell'ordine; se - dico - questegrandezze vengono ordinatamente appese ad eguali distanze su unabilanciail centro di equilibrio del composto di tutte dividerà la bilancia in modo che la parte verso legrandezze minori sarà tripla dell'altra .

Sia la bilancia LT; ad essa siano appese delle grandezzetaliquali abbiamo dettoe siano AFGHKla prima delle quali sia Aappesa in T. Dicoche il centro di equilibrio interseca la bilancia TL in modoche la parte verso T è tripla dell'altra. Sia TLtripla di LISL tripla di LPQL lo siadi LNed LP di LO: IPPNNOOL risulteranno eguali. Si prenda in F una grandezzadoppia di Ain G se ne prenda un'altra tripla dellamedesimain H una quadruplae così via; le grandezzeche abbiamo presesiano quelle segnate da a. E si faccia lostesso con le grandezze FGHK:infattipoiché in F la grandezza rimanentecioèbè eguale ad Ain G se ne prenda unadoppiain H una triplaecc.; e queste grandezze prese sianoquelle segnate da b; e allo stesso modo si prendano legrandezze segnate da ce quelle segnate da d e da e.Tutte le grandezze segnate da a (ossia la loro somma)saranno allora eguali a K; la grandezza composta da tutte le bsarà eguale ad H; quella composta dalle csaràeguale a G; quella composta da tutte le dsaràeguale ad F; ed e sarà eguale ad A.Poiché TI è doppia di ILI saràil punto dell'equilibrio della grandezza composta da tutte le a;esimilmenteessendo SP doppia di PLP saràil punto dell'equilibrio di quella composta da tutte le b; eper la stessa ragioneN sarà il punto dell'equilibriodella grandezza composta da tutte le c; O lo saràdi quella composta dalle d; ed L della e. Abbiamo dunque una bilancia TLalla quale sono appese ad eguali distanze alcune grandezze KHGFA; einoltreabbiamo un'altrabilancia LIsulla qualea distanze similmente egualisonoappese un altrettanto numero di grandezzeeguali alle predette edisposte nel medesimo ordine: infattila grandezza composta da tuttele ala quale è appesa in Iè egualealla grandezza K appesa in L; quella composta da tuttele bla quale è appesa in Pè egualealla H appesa in P; esimilmentela grandezzacomposta dalle cla quale è appesa in Nèeguale alla G; quella composta dalle dla quale èappesa in Oè eguale alla F; e infine la eappesa in Lè eguale alla A. Perciò ilcentro del composto delle grandezze dividerà le bilancesecondo la medesima proporzione: ma uno solo è il centro dellagrandezza composta dalle grandezze predette: esso sarà dunqueun punto comune alla retta TL e alla retta LI; sia essoX. Pertantocome TX sta a XLcosì LXstarà a XIe l'intera TL starà ad LI:ma TL è tripla della LI: perciò anche TXsarà tripla della XL.

Se si prendono un numero qualsiasi di grandezze in modo che laseconda sia superiore alla prima del triplo della primala terza siasuperiore alla seconda del quintuplo della primala quarta siasuperiore alla terza di sette volte la primae così diseguito l'aumento di ciascuna rispetto allaimmediatamente precedente sia multiplo della prima grandezza secondoi numeri impari successivi si succedanocome i quadrati di linee egualmente eccedentisi l'una l'altra e ilcui eccesso sia eguale alla minima; e se vengonoappese a distanze eguali su una bilancia: il centro dell'equilibriodel composto di tutte dividerà la bilancia inmodo che la parte verso le grandezze minori risulterà maggioredel triplo dell'altra ma minore del triplo della medesimaqualora si tolga una distanza.

Sullabilancia BE siano delle grandezzetali quali si èdetto; dalle quali ne vengano tolte alcunelequali stiano tra di loro nella medesima proporzione in cui eranodisposte le grandezze del precedente; e siano quellecomposte da tutte le a; le altresegnate da csarannodistribuite nel medesimo ordinema saranno prive della grandezzamassima. ED sia tripla di DBe GF tripla di FB;D sarà il centro dell'equilibrio della grandezzacomposta da tutte le a; Fquello della grandezzacomposta da tutte le c: perciò il centro dellagrandezza composta da tutte le a e le c andrà acadere tra D ed F. Sia esso O. È pertantomanifesto che EO è più del triplo della OBmentre GO è meno del triplo della OB. Che èquello che si doveva dimostrare.

Se in un cono qualsiasio in una porzione di conosi inscrive unafigura da cilindri aventi eguale altezzae se necircoscrive un'altrae seinoltrel'asse del cono viene diviso inmodo che la parte compresa tra il punto di divisione e il vertice siatripla dell'altra; il centro di gravità della figura inscrittasarà più vicino del suddetto punto di divisione allabase del conomentre il centro di gravità della figuracircoscritta sarà più vicino al vertice del medesimopunto.

Sia dunque un conoilcui asse nm sia diviso in s in modo che ns siatripla della rimanente sm. Dicoche il centro di gravitàdi qualsiasi figurainscritta al cono nel modo che si èdettosi trova sull'asse nm ed è più vicino delpunto s alla base del cono; mentre il centro di gravitàdella figura circoscritta si trova similmente sull'asse nmede piu vicino di s al vertice. Si intendapertantola figurainscritta da cilindrii cui assi mccbbeea siano eguali. Ordunqueil primo cilindroilcui asse è mcrispetto al cilindroil cui asse ècbha la medesima proporzione che la sua base ha rispettoalla base dell'altro (infattile loro altezze sono eguali); maquesta proporzione è eguale a quella che il quadrato cnha al quadrato nb. E similmente si mostrerà che ilcilindroil cui asse è cbrispetto al cilindroilcui asse è beha la medesima proporzione che ilquadrato bn ha rispetto al quadrato ne; mentre ilcilindroil cui asse è berispetto al cilindro intorno all'asse eaha la medesima proporzione che ilquadrato en ha rispetto al quadrato na. Orale lineencnbenna si eccedono egualmente tradi loroe i loro eccessi sono eguali alla minimacioè allana. Vi sono pertanto alcune grandezzecioè i cilindriinscrittitali che stanno tra di loro successivamente nella medesimaproporzione in cui si trovano i quadrati di linee che si eccedonoegualmente e i cui eccessi siano eguali alla minima: e sono disposti sulla bilancia ti in modo che i lorosingoli centri di gravità si trovino su di essa ad egualidistanze. Per le cose che si sono sopra dimostraterisulta pertantoche il centro di gravità del composto di tutti i cilindridivide la bilancia ti in modo che la parte verso t siapiù del triplo dell'altra. Sia o questo centro; todunqueè più che tripla della oi. Ma tnè tripla della im; dunquel'intera mo saràminore della quarta parte dell'intera mndella quale si èposta quarta parte la ms. Ne risulta dunque che il punto oè più vicino di s alla base del cono. D'altrapartesia poi circoscritta una figura costituita da cilindrii cuiassi mccbbeeaan sonoeguali tra loro. Similmentecome per i cilindri inscrittisimostrerà che essi stanno tra loro comei quadrati delle linee mnncbnneanle quali si eccedono egualmente e il cui eccesso èeguale alla minima an; perciòper la precedenteil centro di gravità del composto di tutti icilindri così dispostiil quale sia udividela bilancia ri in modo che la parte verso rcioèruè più che tripla dell'altra ui;tuinveceè minore del triplo della medesima. Ma ntè tripla della im; dunquel'intera um èmaggiore della quarta parte dell'intera mndella quale si èposta quarta parte la ms. Pertanto il punto u èpiù vicino del punto s al vertice. Che è quelloche si doveva mostrare.

Dato un conoè possibile circoscrivere ad esso una figura einscrivergliene un'altra da cilindri aventi egualealtezzain modo che la linea compresa tra il centro di gravitàdella figura circoscritta e il centro di gravità di quellainscrittasia minore di qualsiasi linea assegnata.

Siadato un conoil cui asse sia ab; sia inoltre assegnata laretta k. Dico: si ponga a parte il cilindro leguale aquello che sia inscrivibile nel cono e abbia per altezza la metàdell'asse ab; si divida poi ab in cin modo cheac sia tripla della cbe quale è la proporzioneche ac ha rispetto a ktale sia anche la proporzioneche il cilindro l ha rispetto al solido x: sicircoscriva poi al cono una figura da cilindri aventieguale altezzae gli se ne inscriva un'altrain modo che la figuracircoscritta ecceda quella inscritta per una quantità minoredel solido x; il centro di gravità della figuracircoscritta sia eil quale cadrà al di sopra di c;il centro della figura inscritta siainvecesche cadràal di sotto di c. Dico allora che la linea es èminore della k. Infattiqualora non lo fossesi ponga eoeguale alla ca: pertantopoiché oe ha rispettoa k la medesima proporzione che l ha ad xpoiché inoltre la figura inscritta non è minore delcilindro lmentre l'eccessoper il quale tale figura èsuperata da quella circoscrittaè minore del solido x:la figura inscritta avrà pertanto rispetto al suddetto eccessouna proporzione maggiore di quella che oe ha rispetto a k.Ma la proporzione di oe a k non è minore diquella di oe ad espoiché es non si poneminore di k: pertanto la figura inscritta rispettoall'eccessoper il quale è superata dalla figuracircoscrittaha una proporzione maggiore di quella di oe ades. Quale è dunque la proporzione della figurainscritta al suddetto eccessotale sarà la proporzione cheuna linea maggiore della eo ha rispetto alla linea es.Sia essa er; orail centro di gravità della figurainscritta è smentre quello della figura circoscrittaè e: risultadunqueche il centro di gravitàdelle porzioni rimanentiper le quali la figura circoscritta superaquella inscrittasi trova sulla linea ree proprio in quelpuntoche la delimita in modo chequale è la proporzione chela figura inscritta ha rispetto alle dette porzionitale sia anchela proporzione che la lineacompresa tra e e quel puntoharispetto alla linea es. Ma questa è la proporzione chere ha ad es; dunqueil centro di gravità dellerimanenti porzioniper le quali la figura circoscritta supera quellainscrittasarà r: ciò che è impossibile;infatti il piano condotto per r ed equidistante dalla base delcono non interseca le suddette porzioni. È pertanto falso chela linea es non sia minore della k; sarà dunqueminore. Si dimostrerà poiin modo analogoche ciò èpossibile anche per una piramide.

Da ciò è manifesto che a un cono dato èpossibile circoscrivere una figura e inscriverne un'altra da cilindri aventi eguale altezzain modo che le lineele quali sono comprese tra i loro centri di gravità e il puntoche divide l'asse del cono in modo che la parte verso il vertice ètripla dell'altrasiano minori di una qualunque linea data. Infattipoichécome si è dimostratoil detto puntochedivide l'asse nel modo che si è dettosi trova sempre tra icentri di gravità della figura circoscritta e di quellainscritta; e poiché la lineache è intermedia tra queimedesimi centri di gravitàpuò essere fatta minore diuna qualsiasi linea assegnata; sarebbe molto minore della medesimalinea assegnata quella linea che è compresa tra uno dei duecentri e il suddetto punto che divide l'asse.


In qualsiasi cono o piramide il centro di gravità dividel'asse in modo che la parte verso il vertice è tripla dellarimanente verso la base.

Siaun conoil cui asse ab sia diviso in c in modo che acsia tripla della rimanente cb: bisogna mostrare che c èil centro di gravità del cono. Infattise non lo èilcentro del cono sarà o al di sopra o al di sotto del punto c.In primo luogo sia al di sottoe sia e; siponga a parte la linea lp eguale a cee la si divida acaso in n; e quale è la proporzione che ambedue le be e pn insieme ha rispetto a pntale sia la proporzione che il cono ha al solido x; siinscriva poi al cono una figura solida da cilindriaventi eguale altezza il cui centro di gravità sitrovi a una distanza dal punto c più breve della linealn; e l'eccessoper il quale essa è superata dal conosia minore del solido x. Che ciò sia possibile èinfattimanifesto per le cose dimostrate. Sia allora inscrittanelmodo richiestola figurail cui centro di gravità sia i.Pertantola linea ie sarà maggiore della npessendo lp eguale a ce; e ic sarà minoredi ln: e poiché ambedue le be ednp sta ad np come il cono sta a xmentrel'eccessoper il quale il cono supera la figura inscrittaèminore del solido xdunque il cono avrà rispetto alsuddetto eccesso una proporzione maggiore di quella che ambedue le be ed np ha ad np; escomponendolafigura inscritta avrà rispetto all'eccessoper il quale essaè superata dal conouna proporzione maggiore di quella che(be) ha ad np. Ma be ha ad ei unaproporzione ancora minore di quella che be ha ad npessendo ie maggiore di np; dunquela figura inscrittaavrà rispetto all'eccessoper il quale è superata dalconouna proporzione molto maggiore di quella che be ha adei. Pertantoquale è la proporzione che la figurainscritta ha rispetto al suddetto eccessotale sarà laproporzione che rispetto ad ei avrà una linea maggioredella be. Sia essa me: poichédunquemesta ad ei come la figura inscritta sta all'eccessoper ilquale è superata dal conoe poiché e èil centro di gravità del conomentre i è ilcentro di gravità della figura inscrittasarà allora mil centro di gravità delle porzioni rimanentiper le quali ilcono eccede la figura che gli è inscritta; ciò che èimpossibile. Pertanto il centro di gravità del cono non sitrova al di sotto del punto c. Ma neppure sopra. Infattise è possibilesia esso r; e inoltresi prenda la linea lpdivisa a caso in n; e quale èla proporzione che ambedue le bc ed np haad nltale sia la proporzione che il cono ha ad x; esimilmente si circoscriva al cono una figuradalla quale esso siasuperato per una quantità minore del solido x; infinela lineacompresa tra il centro di gravità di quella e csia minore della np. Siadunqueoil centro di gravità della figura circoscritta: la rimanenteor sarà maggiore della nl. E poichécome ambedue le bc e pn sta ad nlcosìil cono sta a xmentre l'eccessoper il quale il cono èsuperato dalla figura circoscrittaè minore di xepoiché la bo è minore di ambeduele bc e pnmentre la or è maggiore dellaln; il conodunquerispetto alle rimanenti porzioniper lequali è superato dalla figura circoscrittaavrà unaproporzione molto maggiore di quella che bo ha ad or.Tale sia la proporzione di mo a or: mo saràmaggiore di bc; ed m sarà il centro di gravitàdelle porzioniper le quali il cono è superato dalla figuracircoscritta; il che è sconveniente. Il centro di gravitàdel cono non si trovadunqueal di sopra del punto c: macome si è mostratoneppure si trova al di sotto: dunqueessosarà lo stesso c. La stessa cosae con identicoprocedimentosi dimostrerà per una piramide qualsiasi.


Se si hanno quattro linee in proporzione continua; e sequale èla proporzione che la minima di esse ha rispetto all'eccessoper ilquale la massima supera la minimatale sia anche la proporzione cheuna linea presa ha rispetto ai ¾dell'eccessoper il quale la massima supera la seconda; seinoltrequale è la proporzione che la linea eguale alla massimacol doppio della seconda e col triplo della terzaharispetto alla linea eguale al quadruplo della massimacol quadruplo della seconda e col quadruplo della terzatale sia laproporzione che un'altra linea presa ha rispettoall'eccessoper il quale la massima supera la seconda: queste due lineeprese insieme (ossia la loro somma)sarannola quarta parte della massima delle proporzionali.

Siano infatti quattro linee proporzionaliabbcbdbe; e quale è la proporzione che be ha ad eatale sia anche quella che fg ha rispetto ai ¾ della ac;inoltrequale è la proporzione che la lineaeguale alla abcol doppio di bc e col triplo di bdha rispetto alla lineaeguale al quadruplo delle abbcbdtale sia la proporzione che hg ha ad ac.Bisogna mostrare che hf è la quarta parte della ab.Pertantopoiché le abbcbdbesono proporzionalinella medesima proporzione si troveranno anche leaccdde; e come il quadruplo delle abbcbd sta alla abcol doppio di bc e col triplo di bdcosì ilquadruplo delle accddecioèil quadruplo della aesta alla ac coldoppio di cd e col triplo di de; e così pure acsta ad hg: dunquecome il triplo della ae sta alla ac col doppio di cd e col triplo di decosì i ¾ della ac stanno ad hg. Ma comeil triplo di ae sta al triplo di ebcosì i ¾della ac stanno a gf: dunqueper la reciproca dellaventiquattresima del quintocome il triplo della ae sta alla ac col doppio di cd e col triplo di dbcosì i ¾ della ac stanno ad hf; e come ilquadruplo della ae sta alla ac col doppio dicd e col triplo di dbcioè alla abcon cb e bdcosì ac sta ad hf; epermutandocome il quadruplo di ae sta ad accosìla ab con cb e bd sta ad hf;ma come ac sta ad aecosì ab sta alla ab con cb e bd: dunqueexaequaliin proporzione perturbatacome il quadruplo di aesta ad aecosì ab sta ad hf. Risultaperciò che hf è la quarta parte della ab.


In un qualsiasi frusto di piramideo di conointersecato da unpiano equidistante dalla baseil centro di gravità si trovasull'assee lo si divide in modo che la parte verso la base minoresta alla rimanente come triplo della basemaggiore col doppio dello spazio che è medio tra la base maggiore e la minoresta al triplo dellabase minore col doppio del medesimo spazio medio econ la base maggiore.

Dal cono o dalla piramideil cui asse è adper mezzodi un piano secante equidistante dalla basesia staccato un frustoil cui asse è ud; e quale è la proporzione che triplo della base maggiore col doppio della media e con la baseminoreha rispetto al triplo della base minore coldoppio della media e con la massimatale sia la proporzione che uoha ad od. Bisogna mostrare che o è il centro digravità del frusto. Sia um quarta parte della ud.Si ponga a parte la linea hx eguale alla ade sia kxeguale ad au; inoltre delle hx e kx sia terzaproporzionale xle quarta proporzionale xs: e quale èla proporzione che hs ha ad sxtale sia quella che mdha rispetto a una linea presa a partire da o verso ala quale sia on. E poiché la base maggiore sta aquellache è media proporzionale tra la maggiore e la minorecome da sta ad aucioè come hx sta a xkmentre la detta media sta alla minore come kx sta a xl;la base maggiorela media e la minore staranno tra di loro nellamedesima proporzione anche le linee hxxkxl. Perciòcome triplo della basemaggiore col doppio della media e con la minoresta al triplo della minima col doppio della media e con la massimacioè come uo sta a odcosì triplo di hx col doppio di xk e con xlstaal triplo di xl col doppio di xk e conxh; ecomponendo e permutandood starà a ducome la hx col doppio di xk e col triplo dixl sta al quadruplo delle hxxkxl. Si hanno dunque quattro linee proporzionalihxxkxlxs; e quale è la proporzione chexs ha ad shtale è quella che una linea presa no ha rispetto ai ¾ della ducioè a dmcioè ai ¾ della hk;inoltrequale è la proporzione che la hxcol doppio di xk e col triplo di xl ha rispetto alquadruplo delle hxxkxltale èanche la proporzione che un'altra linea presa odha rispetto a ducioè ad hk: dunque (per lecose che si sono dimostrate) dn sarà la quarta partedella hxcioè della ad; perciò il punton sarà il centro di gravità del conoo dellapiramideil cui asse è ad. Sia i il centro digravità del conoo della piramideil cui asse è au.Risultadunqueche il centro di gravità del frusto si trovasul prolungamento della linea in dalla parte di neproprio in quel punto che col punto n delimita una linea taleche rispetto ad essa in abbia la medesima proporzione che ilfrusto staccato ha rispetto alla piramide o al conoil cui asse èau. Resta pertanto da mostrare che in ha ad nola medesima proporzione che il frusto ha rispetto al conoil cuiasse è au. Ma come il conoil cui asse è dasta al conoil cui asse è aucosì il cubo dasta al cubo aucioè il cubo hx al cubo xk:ma questa medesima proporzione è quella che hx ha adxs: perciòscomponendocome hs sta ad sxcosì il frustoil cui asse è dustaràal conoo alla piramideil cui asse è ua. Ma come hssta ad sxcosì pure md sta a on; perciòil frusto sta alla piramideil cui asse è aucome mdsta ad no. E poiché an è ¾ dellaadmentre ai è ¾ della au; larimanente in sarà 3/4 della rimanente ud; perciòin sarà eguale alla md. Si è poidimostrato che md sta ad no come il frusto sta al conoau: risulta dunque che questa medesima proporzione èanche quella che in ha ad no. È perciòmanifesto quello che ci eravamo proposti.