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GalileoGalilei



LEOPERAZIONI DEL COMPASSO

GEOMETRICOE MILITARE



 

ALSER.MO D. COSIMO MEDICI

PRINCIPEDI TOSCANAETC.

 

Seio volessiSerenissimo Principespiegare in questo luogo il numerodelle lodi che alla grandezza de i proprii meriti dell'A. V. e dellaSua Serenissima Casa si devonocosì lungo discorso far miconverrebbeche il proemio di lunga mano il resto del ragionamentoavanzerebbe; onde io mi asterrò di tentare quell'impresaalmezo della qualenon che al finecondurmi diffiderei. Oltre chenon per accrescere splendore alla Serenità Vostrache giàcome nascente Sole per tutto l'occidente risplendeho io abbracciatal'occasione di dedicarli la presente faticamaall'incontroacciòche il fregio e l'ornamento del nome vostroche in frontecom'ionell'animaporterà sempre scrittoall'oscure sue tenebregrazia e splendore aqquisti. Né io come oratore per esaltarela gloria di V. A. S. gli vengo avantima come devotissimo servo edumilissimo vassallo li porgo un debito tributo; il che prima avreifattose la tenerezza della sua età non mi avesse persuaso adaspettar questi anni a simili studii più accomodati. Che poiquesto picciol dono deva esser con lieta fronte ricevuto dall'A. V.non devo io mettere in dubio; sì perché l'infinita suaumanità nativa me lo persuadee la proporzioneche ha questalettura con li altri tanti suoi esercizii regiime l'afferma; sìancoraoltre a ciòperché l'esperienza stessa mel'accertaessendosi ellaper gran parte dell'estate passatadegnata di ascoltar con tanto benigna udienza dalla mia viva vocel'esplicazione di molti usi di questo Strumento. Gradiràdunque l'A. V. S. questo miodirò quasischerzo matematico ai suoi primi giovenili studii nobilmente conforme; ed avanzandosi conl'età in questeveramente regiedisciplineaspetti di tempoin tempo dal mio basso ingegno tutti quei più maturi fruttiche dalla Divina grazia m'è stato e sarà conceduto diraccorre. E qui con ogni umiltà inchinandomili bacioreverentemente la vesta; e dal S. Dio li prego somma felicità.

DiPadovali X di Luglio 1606.

DiV. A. Serenissima

Umiliss.ed Obligatiss. Servo

GALILEOGALILEI.





AI DISCRETI LETTORI

Laoccasione di pratticar con tanti e tanti Signori grandi in questonobilissimo Studio di Padovaper instituirgli nelle scienzematematichemi ha con lunga esperienza fatto conoscerecome non fudel tutto indecente la richiesta di quel gran discepoloche daArchimedesuo maestro nella geometriaricercò strada piùfacile ed apertache all'aqquisto di quella lo conducesse: imperòche anco in questa età pochissimi sono a i quali gli erti espinosi sentieriper i quali passar bisogna prima che all'aqquistode i preziosi frutti di queste scienze pervenir si possanonrincreschinoo che spaventati dalla lunga asprezzae più dalnon vedereo potersi imaginarecome queste oscure e sconosciutestrade al desiderato termine condur gli possinoa men che mezo ilcammino non si atterrinoed abbandonino l'impresa. E ciò hoio tanto più frequentemente veduto accaderequanto con piùgran personaggi mi sono incontrato; come quelli cheessendo in tantialtri maneggi occupati e distrattinon possono in questi esercitarquell'assidua pazienzache vi saria necessaria. Io dunquescusandogli insieme col giovine Re di Siracusae desiderando che nonrestino per la difficoltà e lunghezza delle communi stradeprivi di cognizioni tanto a nobili Signori necessariemi rivolsi atentare di aprir questa via veramente regiala quale con l'aiuto diquesto mio Compasso in pochissimi giorni insegna tutto quellochedalla geometria e dall'aritmeticaper l'uso civile e militarenonsenza lunghissimi studii per le vie ordinarie si riceve. Quello cheio abbia con questa mia opera conseguitonol dirò ioma lolascierò giudicare a quelli che da me sin qui l'hanno appresao per l'avvenire l'apprenderannoed in particolare da chi avràveduti gli Strumenti da gli altri in simili propositi ritrovati: benche la più gran parte dell'invenzionie le maggioriche nelmio Strumento si contengonoda altri sin qui non sono state nétentate né immaginate; tra le quali è molto principalequestadel poter qual si voglia persona risolvere in un istante lepiù difficili operazioni di aritmetica; delle quali peròne descrivo quelle sole che alle civili e militari occorrenze piùfrequentemente accaggiono. Duolmi solamentebenigno lettorechequantunque io mi sia ingegnato di spiegare le seguenti cose con ognichiarezza e facilità possibiletuttavia a chi le dovràdalla scrittura cavareresteranno in qualche oscuritàinvolteperdendo appresso molta di quella graziache nel vederleattualmente operaree nell'apprenderle dalla viva vocele rendemeravigliose: ma questa è una di quelle materieche nonpatiscono di essere con chiarezza e facilità descrittenéintesese prima dalla viva voce non si ascoltanoe nell'atto stessoesercitar non si veggono. E questa saria stata potente cagionechemi arrebbe fatto astener dall'imprimer quest'operase non mi fossegiunto all'orecchieche altrialle mani di cuinon so in qualguisaè pervenuto uno de i miei Strumenti con la suadichiarazionesi apparecchiava per appropriarselo; il che mi hamesso in necessità di assicurarcol testimonio delle stampenon meno le fatiche mieche la riputazione di chi se l'avesse voluteattribuire; perché quanto al far cauto menon mancano letestimonianze di Principi ed altri gran Signorii quali da 8 anni inqua hanno questo Strumento vedutoe da me appresone l'uso; de iquali quattro soli mi basterà ora nominare. Uno ful'Illustrissimo ed Eccellentissimo Sig. Gio. Friderico Principe diHolsaziaetc. e Conte di Oldemburgetc.che l'anno 1598 apprese dame l'uso di questo Strumentoma non ancora a perfezione ridotto. Epoco doppo fui dell'istesso favore onorato dal Serenissimo ArciducaD. Ferdinando d'Austria. L'Illustrissimo ed Eccellentissimo Sig.Filippo Landgravio di Assia e Conte di Niddaetc. l'anno 1601 inteseil medesimo uso qui in Padova. Ed il Serenissimo di Mantova due annisono volse da me sentirne l'esplicazione.

Aggiugnesiche il tacere io la fabrica dello Strumentola quale per la lunga elaboriosa sua descrizione e per altri rispetti al presentepretermettorenderà questo trattato del tutto inutile a chisenza lo Strumento ei pervenisse nelle mani. E per tal causa ne ho iofatte stampare appresso di me 60 copie soleper presentarne insiemecon lo Strumentocon la somma diligenza che si ricerca fabricato edivisoprima al Serenissimo Principe di Toscana mio Signoree poiad altri Signorida i quali so questa mia fatica esser desiderata.Finalmenteessendo mia intenzione di esplicare al presenteoperazioni per lo più attenenti al soldatoho giudicato esserbene scrivere in favella toscanaacciò chevenendo talora illibro in mano di persone più intendenti della milizia chedella lingua latinapossa da loro esser comodamente inteso.

Vivetefelici.





DIVISIONEDELLA LINEA

 OperazioneI.

Venendoalla dichiarazione particolare delle operazioni di questo nuovoCompasso Geometrico e Militareprimamente faremo principio da quellafaccia di esso nella quale sono notate quattro coppie di linee conloro divisioni e numeri; e tra esse parleremo prima delle piùinterioridenominate Linee Aritmetiche per esser le loro divisionifatte in proporzione aritmeticacioè con eguali eccessicheprocedono sino al numero 250dalle quali trarremo diversi usi. Eprimamente:

Colmezo di queste linee potremo dividere una linea retta propostaci inquante parti eguali ne piaceràoperando in alcuno delliinfrascritti modi.

Quandola proposta linea sia di mediocre grandezzasì che non eccedal'apertura dello Strumentopiglieremo con un compasso ordinariol'intera quantità di quellae questo spazio applicheremotraversalmenteaprendo lo Strumentoa qualunque numero di esseLinee Aritmetichepur che sia taleche sopra le medesime linee vene sia un minoree da quello contenuto tante volte quante sono leparti in che si ha da dividere la linea proposta; ed aggiustato intal guisa lo Strumentoe preso lo spazio traversale tra i punti diquesto minor numeroquesto senz'alcun dubbio dividerà laproposta linea nelle parti ordinateci. Comeper essempio:

Dovendonoi dividere la linea data in cinque parti egualipigliamo duenumeri de' quali il maggiore sia quintuplo dell'altrocome sariano100 e 20ed aperto lo Strumento aggiustiamolo in manierache ladistanza già presa col compasso si adatti traversalmente allipunti segnati 100.100e non movendo più lo Strumentoprendasi la distanza pur traversale tra li punti delle medesime lineesegnati 20.20; perché indubitatamente questa sarà laquinta parte della linea proposta. E con simile ordine troveremoogn'altra divisione: avvertendo di prendere numeri grandipur chenon si passi 250perchécosì facendol'operazioneriuscirà più facile ed esatta.

L'istessopotremo conseguire operando in un altro modo; e l'ordine saràtale. Volendo dividereper essempiola sottoposta linea ABv. g.in 11 partiprenderò un numero multiplice dell'altroundici voltecome saria 110 e 10e presa col compasso tutta lalinea ABl'accomoderò traversalmenteaprendo loStrumentoalli punti 110; dipoinon si potendo sopra le medesimelinee prendere la distanza tra li punti 10li quali vengono occupatidalla grandezza della nocellain vece di questa si piglieràl'intervallo tra li punti 100.100stringendo un poco il compasso;del quale fermata poi un'asta nel punto Bnoterò conl'altra il segno Conde la rimanente linea AC saràla undecima parte di tutta l'AB; e similmentefermata l'astadel compasso in Asegnerò verso l'altra estremitàil punto Elasciando la EB eguale alla CA.Dipoistringendo ancora un poco il compassoprenderòl'intervallo traversale tra li punti 90.90 e questo trasporteròda B in De da l'A in Fed averòdue linee CDFEundecime parti ancor'esse dellaintera. E col medesimo ordine trasferendo di qua e di là ledistanze prese tra li punti 80.8070.70etc.troveremo le altredivisioni; come nella sottoposta linea distintamente si vede.

Maquando ci fusse proposta una piccolissima linea da dividersi in molteparticome sarebbeper essempiola seguente linea ABper dividerlav. g.in 13 partipotremo secondo quest'altra regolaprocedere.

Prolunghisioccultamente essa linea AB sino in C; e misurate inessa altre lineequante ci piacerannoeguali alla ABesiano nel presente essempio altre seisì che AC siasettupla di essa ABè manifesto che di quelle partidelle quali la AB contiene tredicitutta la AC neconterrà 91; ondepresa con un compasso tutta la ACl'applicheremo traversalmenteaprendo lo Strumento alli punti 91.91estringendo poi il compasso a un punto menocioè a li punti90.90trasporteremo questa distanza dal punto C verso A;perchénotando il termine verso Asi lasceràla novantunesima parte di tutta la CAche è latredicesima della BAfuoripur verso il termine A. Ecosìse ci piaceràverremo stringendo di punto inpunto il compasso all'898887etc.e trasporteremo questiintervalli dal termine C verso Ae si verranno digrado in grado ritrovando e notando le altre particelle della lineaproposta AB.

Mase finalmente la linea da dividersi fusse lunghissimasì cheeccedesse di molto la maggiore apertura dello Strumentopotremo inogni modo prendere di essa la parte assegnatacila quale siaperessempiola settima. Ora per trovarlaavendoci prima immaginati duenumeril'uno settuplo dell'altroquali sienov. g.140 e 20costituiscasi lo Strumento in qual si voglia aperturae da essopresa con un compasso la distanza traversale tra li punti 140.140veggasi quante volte questa è compresa nella gran lineaproposta; e quante volte vi è contenutatante voltel'intervallo traversale tra li punti 20.20 si replichi sopra la granlineae si averà la sua settima partequando peròl'intervalloche si prese tra li punti 140avesse misuratoprecisamente la data linea. Ma se non l'avesse misurata a puntobisogneria prendere dell'avanzo la settima partesecondo il modo disopra dichiaratoe questa aggiugnere a quell'intervallo che fu soprala gran linea più volte replicato; e si averà lasettima parte a capellosecondo che si desiderava.

 

 

COMEDI UNA LINEA PROPOSTA POSSIAMO PRENDERE QUALUNQUE PARTI CI VERRANNOORDINATE

OperazioneII.

Lapresente operazione è tanto più utile e necessariaquanto che senza l'aiuto del nostro Strumento saria difficilissimotrovar tali divisioni; le quali però con lo Strumento in unoinstante si conseguiranno. Quando dunque ci bisognasse d'una lineaproposta prendere qualunque parti ci venissero ordinatecomeperessempiodelle 197 parti doviamo prendere le 113piglisi senz'altrocon un compasso la lunghezza della data lineaed aperto lo Strumentosin che tale lunghezza si accomodi traversalmente alli punti segnati197e più non lo movendoprendasi con l'istesso compasso ladistanza tra li punti 113.113; ché tanta senz'alcun dubio saràla porzione della linea propostache alli centotredicicentonovantasettesimi si agguaglia.

 

 

COMELE MEDESIME LINEE CI PRESTANO DUEANZI INFINITESCALE PERTRASPORTAR UNA PIANTA IN UN'ALTRA MAGGIORE O MINORESECONDO ILNOSTRO ARBITRIO

OperazioneIII .

Èmanifesto che qualunque volta ci bisognasse cavare da un dissegno unaltro maggiore o minore secondo qual si voglia proporzionefa dimestiero che ci serviamo di due scale esattamente divisel'una dellequali ci serva per misurare il disegno già fattoe l'altraper notare le linee del disegno da farsitutte proporzionate alleloro corrispondenti del disegno proposto; e tali due scale avremosempre dalle linee delle quali ora parliamo: ed una d'esse saràla linea già sopra lo Strumento dirittamente divisa e ch'ha ilsuo principio nel centro dello Strumento; e questach'è unascala stabileci servirà per misurare i lati della propostapianta: l'altrache sarà per disegnare la nuova piantadeveesser mobilecioè deve potersi crescere e diminuire adarbitrio nostrosecondo che la nuova pianta dovrà esser omaggiore o minore; e tale scala mutabile sarà quella che dallemedesime linee avremo traversalmentestringendo o allargando ilnostro Strumento. Ma per più chiara intelligenza del modod'applicare all'uso tali lineene metteremo un essempio.

Siacidunque proposta la pianta ABCDEalla quale se ne devedisegnare un'altra similema sopra la linea FGla quale siaomologacioè risponda alla linea AB. Qui èmanifesto che bisogna servirsi di due scale l'una per misurar lelinee della pianta ABCDEe l'altra con la quale si misurinole linee della pianta da farsie questa deve esser dell'altramaggiore o minore secondo la proporzione della linea FG allaAB. Piglia dunque con un compasso la linea ABla qualeapplica rettamente sopra la scala dello Strumentoponendo un'astadel compasso nel centro dello Strumentoe l'altra sopra il puntodove cascheràche siaper essempioal 60; dipoi prendi purcol compasso la linea FGe posta una delle sue aste nel punto60apri lo Strumento sin tanto che l'altr'asta caschi giustotraversalmente sopra l'altro corrispondente punto 60: né piùsi muterà tale costituzione dello Strumentoma tutti glialtri lati della pianta proposta si misureranno sopra la scala rettaed immediatamente si prenderanno le distanze corrispondenti ad essitraversalmenteper li lati della nuova pianta. Comeverbigratiavogliamo ritrovare la lunghezza della linea GHrispondente alla BC: prendi col compasso la distanza BCe questa applica dal centro dello Stromento rettamente sopra lascala; e fermata l'altr'asta nel punto dove cascaquale siaperessempio66volta l'altr'asta all'altro punto 66traversalmenterispondentesecondo la cui misura taglierai la linea GHcherisponderà alla BC in quell'istessa proporzione che lalinea FG alla AB. Ed avvertiscasiche quando sivolesse trasportare una pianta piccola in un'altra assai maggiorebisognerà servirsi delle due scale con ordine oppostocioèusare la scala retta per la pianta da farsie la traversale permisurar le linee della pianta proposta. Comeper essempioaviamo lapianta ABCDEFla quale vogliamo trasportare in un'altra assai maggiorecioèsopra la linea GH che sia rispondente alla linea AB.Per aggiustar le scale prendasi la linea GHe veggasi quantipunti contiene nella scala rettae veduto contenernev. g.60prendasi la sua rispondente ABed adattisi traversalmentealli punti 60.60né più si muova lo Strumento: pertrovar poi la linea HIrispondente alla BCpiglia colcompasso essa BCe va investigando a quali punti si accomodisopra la scala traversale; e trovato accomodarsiper essempioallipunti 46piglia immediatamente l'intervallo de i punti 46 sopra lascala retta; e troverai la lunghezza della linea HIrispondente alla BC. E notisitanto per questa quanto per laprecedente operazioneche non basta aver trovato la lunghezza HIse non si trova ancora a qual punto si deve drizzareacciòche costituisca l'angolo H eguale all'angolo B. Peròtrovata che si averà essa linea HIfermata un'asta delcompasso nel punto Hsi noterà con l'altraoccultamente una porzione di arcosecondo che mostra la lineapuntata OIN; di poi si piglierà l'intervallo tra 'lpunto A e 'l punto Ce si cercherà quanti puntisia sopra la scala traversale; e trovato esserev. g.89siprenderà rettamente la distanza 89 col compasso; del qualefermata un'asta in Gsi noterà con l'altral'intersecazione dell'arco RIQ con l'arco primo OINfatta nel punto Ial quale si deve drizzar la linea HI:e sarà senza dubio l'angolo H eguale all'angolo Be la linea HI proporzionale alla BC. E con tale ordinesi troveranno li altri punti KLMrispondenti all'angoli DEF.

 

 

REGOLADEL TRE RISOLUTA COL MEZO DEL COMPASSO E DELLE MEDESIME LINEEARITMETICHE.

 OperazioneIV.

Servoncile presenti linee non tanto per la resoluzione di diversi problemilineariquanto per alcune regole di aritmetica: tra le quali porremoquestache risponde a quella nella quale Euclide c'insegna. Propostitre numeritrovare il quarto proporzionale; perché altro nonè la regola aureache del tre domandano i pratticiche trovare il quarto numero proporzionale alli tre proposti.Dimostrando adunque il tutto con l'essempioper più chiaraintelligenzadiciamo:

Se80 ci dà 120che ci darà 100? Hai dunque tre numeriposti con quest'ordine 80 120 100: e per trovare il quarto numero checerchiamoprendi sopra lo Strumento rettamente il secondo numero dei proposticioè 120ed applicalo trasversalmente al primocioè all'80; dipoi prendi trasversalmente il terzo numerocioè 100e misuralo rettamente sopra la scala; e quello chetroveraicioè 150sarà il quarto numero cercato. Enota che l'istesso avverria sein vece di prendere il secondonumeropigliassi il terzoe poiin vece del terzopigliassi ilsecondo; cioè che l'istesso ci darà il secondo numeropreso rettamente ed applicato al primo trasversalmentepigliandodipoi il terzo trasversalmente e misurandolo rettamenteche ci dariail terzo rettamente preso e trasversalmente al primo applicatopigliando poi il secondo trasversalmente e rettamente misurandolo:ché nell'uno e nell'altro modo troveremo 150. E ciò èbene aver avvertitoperchésecondo le diverse occasioniquesto di quello o quello di questo modo di operare ci torneràpiù accomodato.

Possonocirca l'operazione di questa regola del treoccorrere alcuni casili quali potriano partorir qualche difficoltà se non siavvertisserodimostrando appresso come in essi si deva procedere. Eprimapotria alcuna volta occorrere chedelli 3 numeri propostinéil secondo né il terzopreso rettamentesi potesse applicaretrasversalmente al primo: come se si dicesse: 25 mi dà 60; chedarà 75? dove tanto il 60 quanto il 75 passa il doppio delprimocioè di 25sì che né l'uno nél'altro di essi si puòrettamente presoapplicaretrasversalmente ad esso 25. Ondeper conseguire l'intento nostropiglieremo o il secondo o il terzo rettamentee l'applicheremo aldoppio del primo trasversalmentecioè a 50 (e quando nonbastasse al doppiol'applicheremo al triploal quadruploetc.);dipoipigliando l'altro trasversalmenteaffermeremo che quello checi mostrerà misurato rettamente sarà la metà (overo la terza o quarta parte) di quello che cerchiamo. E cosìnel proposto essempio60 preso rettamenteapplicato al doppio di25cioè a 50trasversalmentee subito preso il 75purtrasversalmentee questo misurato rettamentetroveremo che ci darà90; il cui doppiociò è 180è il quarto numeroche si cercava.

Potriain oltre occorrere che il secondo o il terzo de i numeri proposti nonsi potesse applicare al primoper esser esso primo troppo grandesìche eccedesse il numero segnato sopra le lineecioè 250: comese dicessimo: 280 mi dà 130; che mi darà 195? In talcasopreso rettamente il 130si butterà trasversalmente allametà di 280che è 140; dipoi si prenderàtrasversalmente la metà del terzo numerocioè di 195che è 97 e mezoe questo spaziomisurato rettamenteci darà90 e mezo: che è quello che si cercava.

Un'altracautela sarà bene che ponghiamoper servircene quando ilsecondo o terzo delli numeri proposti fusse molto grandeessendo lialtri due mediocri: come quando si dicesse: Se 60 mi dà 390che mi darà 45? Preso dunque 45 rettamentesi applicheràtrasversalmente al 60; e non si potendo pigliare il 390 interolopiglieremo in pezzisecondo che più ci piacerà: comev. g.piglierò 90 trasversalmenteil qualemisuratorettamentemi darà 67 e mezoil che noterò da parte;piglierò poi trasversalmente 100chemisurato rettamentemidarà 75; e perché nel 390 vi è una volta 90 etre volte 100prenderò tre volte il 75 trovatoe di più67 e mezoche fu trovato in virtù del 90; e tutta questasomma fa 292 e mezoper il quarto numero che si cerca.

Ultimamentenon resteremo di dire come si possa operare la medesima regola innumeri picciolissimiben che nello Strumento non si siano potutinotare i punti dal 15 in giùmediante la nocella che unisce ecollega le aste dello Strumento. Ma in questa occasione ci serviremodelle decine de i punti come se fussero unità: sì chedicendoper essempio: Se 10 dà 7che darà 13? nonpotendo pigliar 7 per buttarlo a 10piglieremo 70cioè 7decinee lo butteremo a 10 decinecioè a 100; e subitopigliando 13 decinetorneremo a misurar questa distanza rettamentee la troveremo contenere punti 91che sono 9 ed un decimofacendocome si è dettoche ogni decina vaglia uno. E da tutti questiavvertimentiquando si averanno bene in pratticasi potràfacilmente investigare la soluzione di tutte le difficoltàche ci potessero in ogni caso occorrere.

 

 

REGOLADEL TRE INVERSARISOLUTA COL MEZO DELLE MEDESIME LINEE

OperazioneV.

Connon dissimile operazione si risolveranno i quesiti della regola deltre inversa: eccone un essempio. Quella vittovaglia che basteria permantenere 60 giorni 100 soldatia quanti basteria giorni 75? Questinumeridisposti alla regolastariano in quest'ordine 60 100 75. El'operazione dello Strumento richiede che pigli rettamente il primonumerocioè 60e l'applichi trasversalmente al numero terzocioè 75; e non movendo lo Strumentopiglia trasversalmente il100che è il secondoe misuralo rettamentee troverai 80:qual'è il numero cercato. Dove si deve parimente avvertireche 'l medesimo ritroveremo applicando il secondo rettamente al terzotrasversalmentee poi misurando rettamente il primo trasversalmentepreso. Devesi oltre a ciò notareche tutti gli avvertimentiposti sopra circa la regola del tre si devono ancora in questa perl'appunto osservare.

 

 

REGOLAPER TRASMUTAR LE MONETE

OperazioneVI.

Colmezo di queste medesime Linee Aritmetiche possiamo trasmutar ognispezie di moneta l'una nell'altra con maniera molto facile e spedita:il che si conseguirà con l'aggiustar prima lo Strumentopigliando rettamente il prezzo della moneta che vogliamo trasmutareed accomodandolo trasversalmente al prezzo di quella in cui si ha dafare la trasmutazione; comeacciò più distintamente iltutto s'intendadichiareremo con un essempio. Vogliamov. g.trasmutare scudi d'oro in ducati veneziani: e perché il prezzoo valuta dello scudo d'oro è lire 8e la valuta del ducatolire 6soldi 4è necessario (poi che il ducato non èmisurato precisamente dalle lireentrandovi soldi 4) risolvere l'unae l'altra monetae valutarla con li soldiconsiderando come ilprezzo dello scudo è soldi 160e quello del ducato 124. Peraggiustar dunque lo Strumento alla trasmutazione di scudi d'oro inducatipiglia rettamente la valuta dello scudocioè 160edapplicalaaprendo lo Strumentotrasversalmente al valore delducatocioè a 124né più moverai lo Strumento:dipoi qualunque somma di scudi proposta trasmuterai in ducatipigliando la detta somma trasversalmente e misurandola rettamente.Comeper essempiovogliamo sapere quanti ducati faccino 186 scudi:piglia 186 per traverso e misuralo rettamentee troverai 240; etanti ducati faranno li detti scudi.

 



REGOLADE GL'INTERESSI SOPRA INTERESSI CHEALTRIMENTI SI DICE DE I MERITI A CAPO D'ANNO

 OperazioneVII.

Assaispeditamente potremo risolvere le questioni di questa regola conl'aiuto delle medesime Linee Aritmetichee ciò con duediverse maniere di operarecome con due seguenti essempi faremochiaro e manifesto. Cercasi quanto siano per guadagnare 140 scudi in5 anni a ragione di 6 per 100 l'annolasciando gl'interessi sopra ilcapitale e sopra li altri interessiacciò che continuamenteguadagnino. Per trovar dunque quanto cerchiamopiglia rettamente ilprimo capitalecioè 140e questo butta trasversalmente al100; e senza mover lo Strumentopiglia subitopur trasversalmentela distanza tra li punti 106che è il 100 con l'interesseetorna di nuovo ad aprir lo Strumentoe questo intervalloch'ultimamente pigliasti col compassoributtalo al 100; ed aprendoun poco più il compassopiglia trasversalmente la distanzatra li punti 106e di nuovo aperto un poco più lo Strumentobutta questa distanza pur ora trovata al 100; ed aprendo il compassopiglia il 106; ed in somma va replicando questa medesima operazionetante voltequanto è il numero de gli anni del merito; edessendonel presente essempioil merito per anni cinquedevireiterar l'operazione cinque volte. Ed in ultimomisurandorettamente l'intervallo ch'averai presotroverai comprender punti187 e un terzo: e tanti scudi saranno doventati li 140 posti daprincipiocol guadagno de i sei per centonello spazio di annicinque. E notache se ti tornasse più comodo di servirtiincambio del 100 e 106del 200 e 212come spesse volte occorreràil medesimo sarà ritrovato.

L'altromodo di operare non richiede altra mutazione nello Strumento che unsolo primo accomodamento; e procedesi così. Servendoci delmedesimo quesito posto sopraper aggiustar lo Strumento piglia 100col suo primo interessecioè 106rettamente; ed aperto loStrumentoapplicalo trasversalmente al 100né mai piùmoverai lo Strumento. Piglia poi trasversalmente la somma de i denaripropostache fu 140e misurala rettamente; e vederai già ilguadagno del primo anno esser 148 e due quinticomprendendo peròanche il capitale. Per trovar il secondo annopiglia trasversalmentequesto 148 e due quintie senz'altro misuralo rettamente; e troverai157 e un terzo per il secondo anno. Piglia poi questo medesimo numero157 e un terzo trasversalmentee torna a misurarlo rettamente; etroverai 166 e tre quarti per il capitale e guadagno del terzo anno.Torna a pigliar questo 166 e tre quarti trasversalmentee misuralorettamente; ed averai per il quarto anno 176 e tre quarti. Finalmentepiglia questo trasversalmentee torna a misurarlo rettamente; edaverai per il quinto annotra capitale e guadagno186 e un terzo. Ecosìvolendo per più anniandrai replicandol'operazione. E notache quando il primo capitale proposto fussesomma tale che eccedesse il numero de i punti 250segnati sopra leLinee Aritmetichedevi operare a pezzipigliando la metàilterzoil quartoil quintoo altra parte della somma proposta; chéin finepigliando duetrequattroo cinqueo più voltequello che troviverrai in cognizione di quello che desideri.





DELLELINEE GEOMETRICHECHE SEGUONO APPRESSOE LORO USI ; E PRIMACOMECOL MEZO DI ESSE POSSIAMO CRESCERE O DIMINUIRE IN QUALUNQUE DATAPROPORZIONE TUTTE LE FIGURE SUPERFICIALI

OperazioneVIII.

Lelinee che seguono appresso le Aritmetichedi sopra dichiaratesonodette Linee Geometricheper esser divise secondo la geometricaproporzione procedente sino al 50; dalle quali trarremo diverseutilità: e prima ci serviranno per trovar il lato di unafigura superficiale che ad un'altra proposta abbia una dataproporzione; come sariaper essempiosendoci proposto il triangolo ABCvogliamo trovar il lato diun altroche ad esso abbia proporzione sesquialtera. Piglinsi duenumeri nella data proporzionee sianoper essempio12 ed 8; epresa con un compasso la linea BCadattisiaprendo loStrumentoalli punti delle Linee Geometriche 8.8e senza puntomuover l'aperturaprendasi l'intervallo tra li punti 12.12; perchése faremo una linea di tal grandezza lato di un triangolorispondente alla linea BCsarà la sua superficieindubitatamente sesquialtera del triangolo ABC. E questomedesimo intendasi di ogn'altra sorte di figura; e delli cerchiancora faremo questo medesimoservendoci delli loro diametri osemidiametri come de i lati delle figure rettilinee. E notisiper lepersone più vulgariche la presente operazione èquella che c'insegna crescere o diminuire tutte le piantesuperficiali; comev. g.avendo una piantala quale contieneperessempio10 campi di terrenone vorremmo disegnare una che necontenesse 34. Piglia qualunque linea della pianta di 10 campiedapplicala trasversalmente alli punti 10 delle presenti LineeGeometrichee senza più muover lo Strumentoprendil'intervallo trasversale tra li punti 34 delle medesime lineeesopra una tal lunghezza descrivi la tua pianta simile alla primasecondo la regola che di sopra nella terza operazione fu insegnato;ed averai la pianta cercatacapace precisamente di 34 campi.

 

 

COMECON L'ISTESSE LINEE POSSIAMO TROVARE LA PROPORZIONE TRA DUE FIGURESUPERFICIALI TRA DI LORO SIMILI

OperazioneIX.

Sianciper essempioproposti li due quadrati ABo vero qualunque due altre figuredelle quali le due medesime lineeAB siano lati omologhi. Volendo trovar qualproporzione abbino tra di loro le dette superficieprendasi con uncompasso la linea Bla qualeaprendo lo Strumentosiapplichi a qual si voglia punto di esse Linee Geometrichee siaperessempioal 20; dipoinon movendo lo Strumentoprendasi colcompasso la linea Ae questa applicata alle LineeGeometricheveggasi a che numero si adatti; e trovatov. g.che siaggiusti al numero 10dirai la proporzione delle due figure esserquella che ha 20 a 10cioè doppia. E quando la grandezza diquesta linea non si accomodasse precisamente ad alcuna delledivisionidobbiamo rinovare l'operazioneedapplicando ad altripunti che alli 20tentare sin tanto che l'altra linea ancoraesattamente si accomodi a qualche punto; il che trovatosapremoconsequentemente la proporzione delle due figure assegnateciperesser lei sempre la medesima che quella de i numeri delli due puntialli quali le dette lineenella medesima apertura dello Strumentosi accomodano. E quando dell'una delle due piante proposteci fussedata la capacitàsi troverà il contenuto dell'altranel medesimo modo. Comeper essempio: Essendo la pianta della lineaB 30 campisi cerca quanto saria la pianta A: accomodala linea B trasversalmente ai punti 30e vedi poi a qualnumero si adattipur trasversalmentela linea A; e tanticampi dirai contenere la pianta di essa linea A.

 

 

COMESI POSSA COSTITUIRE UNA FIGURA SUPERFICIALE SIMILE ED EGUALE A MOLTEALTRE SIMILI PROPOSTECI 

OperazioneX.

Sianciper essempioproposte tre figure similidelle quali li lati omologhi siano le linee ABCalle quali se ne debbe trovar una sola egualee pure ad esse simile.Prendi col compasso la lunghezza della linea Ce questaaperto lo Strumentoapplicherai a qual numero più ti piacedelle Linee Geometrichee siav. g.applicata alli punti 12.12;dipoilasciato lo Strumento in tal sitoprendi la linea Bevedi a che numero delle medesime linee si accomodiche siaperessempioal 9; e perché l'altra si era aggiustata al 12congiugnerai questi due numeri 9 e 12 insiemee terrai a memoria 21;piglia dipoi la terza linea Aesecondo il medesimo ordineconsidera a qual numero delle medesime linee trasversalmente siadattie trovatov. g.adattarsi al 6aggiugnerai 6 al 21chesalvastie averai in tutto 27. Piglia dunque la distanza trasversaletra li punti 27ed averai la linea D; sopra la quale facendouna figura simile a le altre 3 propostesarà ancora digrandezza alle medesime tre insieme eguale. E col medesimo ordine nepotrai ridurre in una sola quante ne venissero propostepur che leproposte siano tutte simili tra di loro.

 

 

PROPOSTEDUE FIGURE SIMILI E DISEGUALITROVAR LA TERZA SIMILE ED EGUALE ALLADIFFERENZA DELLE DUE PROPOSTE

OperazioneXI.

Lapresente operazione è il converso della già dichiaratanel precedente capitolo; e la sua operazione sarà in talguisa. Sianciper essempioproposti 2 cerchi disegualie del maggiore sia diametro la linea AAe del minore la BB:volendo trovar il semidiametro del cerchio eguale alla differenzadelli due ABprendi con un compasso la lunghezzadella linea maggiore Aed applicalaaprendo lo Strumentoaqual punto più ti piacerà delle Linee Geometricheesiaper essempioapplicata al numero 20; e non movendo loStrumentoconsidera a qual punto delle medesime linee si aggiusta lalinea Be trovatoper essempioaccomodarsi al numero 8sottratto questo di 20resterà 12; e presa la distanza tra lipunti 12.12averai la linea Cil cui cerchio saràeguale alla differenza delli due AB. E quello che siè assemplificato ne i cerchi per via de i loro semidiametriintendasi esser l'istesso nelle altre figure similioperando con unode i loro dati omologhi.

 

 

ESTRAZIONEDELLA RADICE QUADRATA CON L'AIUTO DELLE MEDESIME LINEE 

OperazioneXII.

Tredifferenti modi di operare nell'estrazion della radice quadratasaranno nel presente capitolo dichiaratiuno per li numeri mediocriuno per li grandied il terzo per li piccioli: intendendo per inumeri mediocri quelli che sonotanto nel meno quanto nel piùintorno al 5000; maggioriquelli che sono intorno al 50000; minimiquelli che sono intorno al 100. E prima faremo principio da i numerimediocri.

Perestrar dunque e trovar la radice quadrata di un numero mezanopropostoprima devesi aggiustar lo Strumentola qual cosa saràcon l'accomodare trasversalmente al 16 delle Linee Geometriche lospazio di 40 punti preso rettamente dalle Linee Aritmetiche: dipoidel numero proposto leva via le due ultime figureche dinotano leunità e le decine; e quel numero che restaprenditrasversalmente dalle Linee Geometrichee misuralo rettamente soprale Aritmetiche; e quello che trovi sarà la radice quadrata delnumero proposto. Comeper essempiovolendo la radice di questonumero 4630levate le due ultime figurecioè il 30resta46; però piglierai trasversalmente 46 dalle Linee Geometrichee lo misurerai rettamente sopra le Aritmetichee lo troveraicontenere punti 68che è la prossima radice cercata.

Masono in questa regola da notarsi due cose. La prima èchequando le due ultime figureche si levanopassassero 50devi alnumero che resta aggiungere uno: come sev.g.volessi pigliare laradice di 4192perché il 92 da levarsi passa 50in luogo del41che restavadevi prendere 42e nel resto seguire la regola disopra.

L'altracautelache si deve osservareè che quando quello che restadetratte le due ultime figurepassasse 50in tal casopoi che ladivisione delle Linee Geometriche non si estende oltre al 50si devedel numero che resta prendere la metà o vero altra parteequesta distanza presasi deve geometricamente raddoppiare o secondoil numero della detta parte multiplicare; e quell'ultimo intervallocosì multiplicatomisurato rettamente sopra le LineeAritmeticheti darà la radice che cerchi. Comeper essempiovogliamo la radice di 8412: aggiustatocome è dettoloStrumentoe detratte le due ultime figureresta 84il qual numeronon è sopra le Linee Geometriche; però piglierai la suametàcioè 42: preso dunque lo spazio trasversale trali punti 42bisognerà che geometricamente sia raddoppiatoilche farai con aprir più lo Strumentosin tanto che il dettospazio si adatti a qualche numero del quale sopra le medesime lineeve ne sia uno doppio; comev. g.saria adattandolo al 20pigliandopoi l'intervallo tra li punti 40il qualemisurato finalmente soprale Linee Aritmeticheti mostrerà 91 e due terzi in circaprossima radice del numero 8412 proposto. E se ti fusse bisognato delnumero dato pigliare la terza partenel triplicarla poigeometricamentel'applicherai trasversalmente ad un numero delleLinee Geometriche del quale ve ne sia un altro triplocome saria al10 per pigliare il 30o al 12 per pigliar il 36.

Quantoal modo di procedere per i numeri maggiorinon si averà altradifferenza dal modo precedentese non nell'aggiustar lo Strumento enel levar dal dato numero le tre ultime note. E l'aggiustar loStrumento si farà pigliando 100 rettamente dalle LineeAritmeticheaggiustandolo poi trasversalmente alli punti 10.10 delleGeometriche: il che fattovolendov. g.la radice quadrata di32140tolte le tre ultime figureresta 32e questo piglieraitrasversalmente dalle Linee Geometriche; chemisurato rettamentesopra le Aritmeticheti mostrerà 179prossima radice di32140. Avvertendo che l'istesse cautele notate nell'operazioneprecedente si devono per l'appunto osservare in questa: cioèche quando le tre figureche si detraggonopassano 500si ha daaggiunger uno a quello che resta; e se quel che resta passa 50se nepiglierà una partecioè la metà o il terzoetc.dupplicando o triplicandoal modo dichiaratoquello cheaverai per la detta parte preso.

Perli numeri minoriaggiusterai lo Strumento secondo il primo modocioè con buttare 40 a 16pigliando poi trasversalmente dalleLinee Geometriche il numero propostosenza levarne figura alcuna;perchémisurando rettamente il detto spazio sopra le LineeAritmetichetroverai la radice cercata in numero intero ed infrazione. Ma nota che le decine delle Linee Aritmetiche ti debbonoservire per unitàe le unità per decimi di unità:comeper essempiovogliamo la radice di 30; aggiusta lo Strumentocome è dettobuttando 40preso dalle Linee Aritmeticherettamenteal 16 delle Geometriche trasversalmentedalle qualipreso transversalmente la distanza delli punti 30misurandolarettamente sopra le Aritmetichetroverai punti 55che importano 5intieri e 5 decimicioè 5 e mezo; quanta è la prossimaradice di 30. Avvertendo che in questa regola ancora si devonoosservare li avvertimenti e cauzioni nelle altre due regoleinsegnate.

 

 

REGOLAPER LE ORDINANZE DE GLI ESSERCITI DI FRONTE E FIANCO DISEGUALI

 OperazioneXIII.

Perle ordinanze di fronte eguale al fianco ci serviràcome èmanifestol'estrarre la radice quadrata del numero de i soldatipropostoci. Ma quando volessimo formare un'ordinanza con unamoltitudine assegnata di soldatidella quale la fronte ed il fianconon fussero egualima si rispondessero in una data proporzionealloraper risolvere il quesitoci bisogna in altra manieraprocedereoperando nel modo che nel seguente essempio si dichiara.

Sendocidunque ordinato che ritroviamo la fronte ed il fianco di 4335soldatimessi in ordinanza in maniera che per ogni cinquechesaranno nella frontene siano tre nel fiancoalloraper conseguirl'intento con l'aiuto del nostro Strumentoprimaconsiderando inumeri della proporzione assegnataci esser 5 e 3aggiungendo aciascuno di loro un 0fingeremo che importino 50 e 30. E per trovarla fronteprenderemo rettamente con un compasso 50 dalle LineeAritmetichee quest'intervallo accomoderemo trasversalmente alleLinee Geometricheed a quel numero che si produce dallamoltiplicazione tra di loro de i numeri della proporzione assegnatacioè (nel presente essempio) al 15; e lasciato lo Strumento intale statosi prenderà trasversalmentepur nelle medesimeLinee Geometrichela distanza tra li punti segnati dal numero cherestadetratte le decine ed unità dal numero de i soldatipropostociche nel presente essempio è 43; e misurato taleintervallo rettamente sopra le Linee Aritmeticheci darà lafronte di tale ordinanzache sarà soldati 85. E col medesimoordine troveremo il fiancopigliando rettamente 30 dalle LineeAritmetichee buttandolo trasversalmente al 15 delle Geometricheeda esse immediatamente pigliandopur trasversalmentel'intervallotra li punti 43.43; il qualemisurato rettamente sopra le LineeAritmeticheci darà 51 per il fianco. Ed il medesimo ordinesi terrà in ogni altra moltitudine di soldatied in qualunquealtra proporzione assegnataci: avvertendo chesì come sidisse nella radice quadrataquando le unità e decine che silevano dal numero proposto passassero 50si deve alle centinaiacherestanoaggiugnere uno di piùetc. Né voglio tacerecometrovata che si sarà la fronte secondo la regola giàdichiaratasi potria con altra regola più speditae con lesole Linee Aritmetichetrovar il fiancoin questa forma operando.Già nell'essempio addotto fu trovato 85 per la frontee furnoi numeri della proporzione 5 e 3che è quanto se si dicesse50 e 30o vero 100 e 60etc.: però quello 85presorettamente dalle Linee Aritmeticheaccomodisi trasversalmente al 100delle medesimee piglisi immediatamente l'intervallopurtrasversaletra li punti 60.60 delle medesime linee; il qualemisurato rettamenteci mostrerà il medesimo numero 51chenell'altra maniera di operare fu ritrovato.

Equesta operazioneche sotto l'essempio delle ordinanze aviamodichiarataintendasi esser la regola di uno de i capitoli dialgebracioè de i censi eguali al numero; onde tutti iquesiti che per esso si risolvonosi scioglieranno anco operando colnostro Strumento nella maniera già dichiarata.

 

 

INVENZIONEDELLA MEDIA PROPORZIONALE PER VIA DELLE MEDESIME LINEE

 OperazioneXIV.

Conl'aiuto di queste linee e loro divisioni potremo tra due lineeovero due numeri datitrovare con gran facilità la linea o ilnumero medio proporzionale in questa maniera.Siano li due numerio vero le due linee misurate propostecil'uno36 e l'altro 16: e presa col compasso la lunghezza dell'unav. g.della 36applicalaaprendo lo Strumentoalli punti 36 delle LineeGeometrichee non movendo lo Strumentoprendi l'intervallo tra lipunti 16.16 delle medesime lineeil qualemisurato sopra lamedesima scalatroverai esser punti 24; quanto appunto è ilnumero proporzionale tra 36 e 16. E nota cheper misurar le lineepropostepotremo servirci non solo della scala notata sopra loStrumentoma di qualunque altra ancoraquando quella delloStrumento fusse troppo piccola per il nostro bisogno.

Notandoin oltreche quando le lineeed i numeri che le misuranotra liquali vogliamo trovare il medio proporzionalefussero assai grandisì che passassero il 50che è il maggiore numeronotato sopra le nostre Linee Geometrichesi potrà nondimenoconseguir l'intentooperando con parti de i proposti numerio conaltri minori di essima che abbino la medesima proporzione che hannoli primi; e la regola sarà in questo modo. Vogliamoverbigratiapigliare il numero medio proporzionale fra 144 ed 81liquali eccedono ambidue il cinquanta. Piglisi dalle Linee Aritmetiche144 rettamente per applicarlo trasversalmente alle Linee Geometriche;ma perché in esse non vi è numero così grandepiglierò imaginariamente una parte di esso numero 144comesariav. g.il terzocioè 48e l'intervallo giàpreso applicherò trasversalmente alli punti 48 delle LineeGeometriche. Dipoiimaginata la terza parte di 81che fu l'altronumero datola quale è 27piglierò tal numero purtrasversalmente dalle medesime Linee Geometrichee questomisuratorettamente sopra le Aritmetichemi darà il medioproporzionale ricercatocioè 108.





DELLELINEE STEREOMETRICHE; E PRIMA COME COL MEZO DI ESSE SI POSSINCRESCERE O DIMINUIRE TUTTI LI CORPI SOLIDI SIMILI SECONDO LA DATAPROPORZIONE

 OperazioneXV.

Sonole presenti Linee Stereometriche così dette per esser la lordivisione secondo la proporzione de i corpi solidisino a 148; e daesse trarremo molti usi: il primo de i quali sarà il giàpropostocioè comedato un lato di qual si voglia corposolidosi possa trovare il lato d'un altroche ad esso abbia unadata proporzione. Comeper essempiosia la linea A diametrov. g.d'una sferao pallaperdirlo più vulgarmenteo vero lato d'un cubo o altro solidoesiaci proposto di dover trovar il diametroo lato d'un altroche aquello abbia la proporzione che ha 20 a 36: piglia col compasso lalinea Aed aprendo lo Strumentoapplicala al punto 36 delleLinee Stereometriche; il che fattoprendi immediatamentel'intervallo tra li punti 20.20che sarà la linea Bdiametro o lato del solidoall'altroil cui lato Anellaproporzione data di 20 a 36.

 

 

PROPOSTIDUE SOLIDI SIMILITROVARE QUAL PROPORZIONE ABBINO FRA DI LORO

OperazioneXVI.

Nonè la presente operazione molto differente dalle dichiarate disoprae puossi con gran facilità risolvere. Quando dunque civenissero proposte le due linee ABe dimandato qual proporzione abbino fra di loro i lor solidi similiprenderemo una di esse col compasso; e siav. g.presa l'Ala quale applicheremoaprendo lo Strumentoa qualche numero dellepresenti lineee sia applicatav. g.al 50.50; e subito presa lalunghezza dell'altra linea Bveggasi a qual numero siaccomodi; e trovato adattarsiper essempioal 21diremo il solidoA al solido B avere la proporzione di 50 a 21.

 

 

PROPOSTISOLIDI SIMILI QUANTI NE PIACERÀTROVARNE UN SOLO EGUALE ATUTTI QUELLI

 OperazioneXVII.

Sianoproposte le tre linee ABClati di tresolidi simili;vogliamo trovarne uno eguale a tutti quelli. Per il che fareprendasi con un compasso la linea Aquale s'applichi aqualche punto delle Linee Stereometrichee siaper essempioalpunto 30: e non movendo lo Strumentoconsidera a qual numeros'adatti la linea Be trovatoper essempioadattarsi al 12aggiugni questo numero al numero 30 già dettofa 42; il qualnumero terrai a memoria: presa dipoi con un compasso la linea Cconsidera a qual numero delle medesime linee s'accomodie siaperessempioal 6e congiunto questo numero con l'altro 42averemo 48:sì che pigliando l'intervallo tra li punti 48.48saràtrovata la linea Dil cui solido sarà eguale alli treproposti ABC.

 

 

ESTRAZIONEDELLA RADICE CUBA

OperazioneXVIII.



Duemodi differenti dichiareremo per l'investigazione della radice cubadi qualunque proposto numero.

Ilprimo ci servirà per i numeri mediocrie l'altro per imassimi; intendendo per numeri mediocri quellida i quali tratte leunitàdecine e centinaiali numeri che restano non eccedonoil 148. Per l'estrazione della radice cuba de i qualiprimas'aggiusterà lo Strumentocon l'applicare trasversalmentealli punti 64 delle Linee Stereometriche il 40 preso rettamente dalleLinee Aritmetiche: e fatto questoleva le 3 ultime note dal numeropropostoe piglia quel che resta dalle Linee Stereometrichetrasversalmentee misuralo rettamente sopra le Aritmetichee quelloche trovi sarà la radice cuba del numero proposto. Comev.g.cerchiamo la radice cuba di 80216: aggiustatocome s'èdettolo Strumentoe tolte via le tre ultime noteresta 80; pigliadunque trasversalmente 80 dalle Linee Stereometrichee misuralorettamente sopra le Aritmetichee troverai 43; quanta è laradice prossima del dato numero. E notache quandodetratte le treultime noterestasse più di 148che è il maggiornumero delle Stereometricheallora potrai operare per parti. Comeper essempiosi cerca la radice cuba di 185840: e perchédetratte le ultime 3 note 840resta 186 (dico 186ben che resti185perché le centinaia delle tre note detratte sono piùdi 5cioè più di mezo migliaioondepigliandolo perun migliaio interofo che quel che resta sia 186cioè uno dipiù)che eccede il 148piglieremo la sua metàcioè93trasversalmente dalle Stereometriche già aggiustate; equesto spazio preso si doverà stereometricamente duplicarecioè applicarlo a qualche numero delle medesime Stereometrichetrasversalmentedel qual ne sia uno doppio; e questopreso purtrasversalmentee misuratolo sopra la scala Aritmeticasaràla radice che si cercava. Stando dunque nell'essempio propostoapplicheremo lo spaziotra li punti 93 già presov. g.al40 delle Linee Stereometrichepigliando poi l'80chemisuratosopra le Linee Aritmeticheci mostrerà 57; ch'è laprossima radice del numero proposto.

L'altromodo di operare per li numeri massimi sarà con aggiustare loStrumento applicando la distanza di 100 puntipresa rettamente dalleLinee Aritmeticheal 100 delle Stereometriche trasversalmente; esarà aggiustato. Dipoi dal proposto numero devi levare lequattro ultime noteed il numero che resta prendere trasversalmenteda esse Linee Stereometrichee misurarlo rettamente sopra leAritmetiche: comeper essempiosendoci proposto il numero 1404988avendo già aggiustato lo Strumento al modo dettoe detrattele quattro ultime noteresta 140; il qual numeropresotrasversalmente dalle Linee Stereometrichee misurato rettamentesopra l'Aritmeticheci darà 112radice prossima del numeroproposto. Non ci scordandoche quando le tre note rimanentiimportassero più di 148numero maggiore delle nostre lineesi deve operare per particome nell'altra regola superiore fuavvertito.

 

 

INVENZIONEDELLE DUE MEDIE PROPORZIONALI

 OperazioneXIX.

Quandoci fussero proposti due numerio due linee misuratetra le qualidovessimo trovare due altre medie proporzionalipotremo ciòesseguire facilmente col mezo delle presenti linee; e ciò conquesto essempio si farà chiaro.

Doveci vengono proposte le due linee ADdelle qualil'una siaper essempio108 e l'altra 32: e presa la maggiore con uncompassoadattisiaperto lo Strumentoalli numeri 108.108; e poiprendasi l'intervallo tra li punti 32.32il quale sarà lalunghezza della seconda linea Bchemisurata con la medesimascala con la quale furono misurate le proposte lineesi troveràesser 72; e per trovarne la terza linea Cadattisi pure dinuovosopra le medesime Linee Stereometrichela linea B allipunti 108.108e tornisi di nuovo a pigliare la distanza tra li punti32.32che tale sarà la grandezza della terza linea C;e misurata sopra la medesima scalasi troverà essere punti48. E notisi che non è necessario il prender prima la maggiorlinea più che la minore; ma nell'uno e nell'altro modooperandosempre si troverà l'istesso.

 

 

COMEOGNI SOLIDO PARALLELEPIPEDO SI POSSA COL MEZO DELLE LINEESTEREOMETRICHE RIDURRE IN CUBO

 OperazioneXX.

Siaciproposto il solido parallelepipedole cui dimensioni sianodisegualicioè 7232 e 84: cercasi il lato del cubo ad essoeguale. Piglia il medio proporzionale fra 72 e 32nel mododichiarato di sopra nell'operazione XIVcioè piglia 72rettamente dalla scala Aritmeticae buttalo trasversalmente al 72delle Linee Geometriche; ma perché non vanno tant'oltrebuttalo alla metàcioè al 36: e subito prendi purtrasversalmente l'altro numero dalle medesime lineecioè 32;anzi purper dir megliopiglia la sua metàcioè il16 (avendo buttato il primo 72 alla sua metà parimente); equesto che troveraisaràcome è manifestoil numeromedio proporzionale tra 72 e 32: misuralo dunque sopra le LineeAritmetichee lo troverai esser 48; onde lo butterai trasversalmentea questo medesimo numero 48 delle Linee Stereometriche; e senzamuovere poi lo Strumentoprendi pur trasversalmente il terzo numerodel solido propostocioè l'84e sarà finital'operazioneperché facendo questa tal linea lato di un Cuboquello sarà veramente eguale al solido proposto; e misurandolasopra la scala Aritmeticala troverai esser 57 e mezo in circa.





ESPLICAZIONEDELLE LINEE METALLICHE NOTATE APPRESSO LE STEREOMETRICHE

 OperazioneXXI.

Sonole presenti linee segnate con alcune divisionialle quali sonoaggiunti questi caratteri: Or. Pi. Ar. Ra. Fe. St. Ma. Pie.che significano OroPiomboArgentoRameFerroStagnoMarmoPietra. Dalle qualisi hanno le proporzioni e differenze di pesoche si trovano fra lematerie in esse notate: in guisa checostituito lo Strumento in qualsi voglia aperturagl'intervalli che cascano fra i punti l'unoall'altro corrispondentivengono ad esser diametri di palleo latid'altri corpi tra loro simili ed eguali di peso; cioèchetanto sarà il peso di una palla d'oro il cui diametro siaeguale alla distanza Or. Or.quanto d'una di piombo il cuidiametro sia l'intervallo tra li punti Pi. Pi.o una di marmoil cui diametro sia la distanza tra li punti Ma. Ma.

Dalche possiamo in un istante venir in cognizionequanto grande sidoveria far un corpo d'una delle sopranotate materieacciòfosse in peso eguale ad un altro similema di altra delle materiedette; la qual operazione addimanderemo trasmutazione della materia.Come seper essempiola linea A fosse diametro d'una palla di stagnoe noivolessimo trovare il diametro d'un'altra d'oroa quella in pesoegualeprenderemo con un compasso la linea Ae questaapplicataaprendo lo Strumentoalli punti St. St.piglieremo immediate l'intervallo tra li punti Or. Or.; e talesarà il diametro della palla di orocioè la linea Beguale all'altra di stagno. Ed il medesimo intendasi di tutti glialtri corpi solidie delle altre materie notate. Ma se congiugneremol'uso di queste linee con quello delle precedentine caveremo moltecomodità maggiori; come di sotto si dichiarerà. E prima

 

 

CONLE LINEE PREDETTE POTREMO RITROVAR LA PROPORZIONE CHE HANNO IN PESOTRA DI LORO TUTTI LI METALLI ED ALTRE MATERIE NELLE LINEE METALLICHENOTATE 

OperazioneXXII.

Vogliamoper essempiotrovare qual proporzione abbino fra di loro in pesoquesti due metalliargento ed oro. Prendi con un compasso ladistanza tra 'l centro dello Strumento ed il punto notato Ar.e questaaperto lo Strumentoapplica a qual più ti piace dei numeri delle Linee Stereometrichee siaper essempioapplicataalli punti 100.100; dipoisenza punto muover lo Strumentopiglia ladistanza tra 'l centro del medesimo Strumento ed il punto Or.e questa vedi a che numero s'accomodi sopra le Linee Stereometriche;e trovatoper essempioadattarsi alli punti 60.60dirai laproporzione del peso dell'oro a quello dell'argento esser in speziecome 100 a 60. E nota chenell'operareli diametri presi edapplicati alle Linee Stereometriche ti mostreranno la proporzione inpeso de i loro metalli permutatamentecioècome nell'addottoessempio s'è vedutodal diametro dell'argento ti vienedenotato il peso dell'oroe da quello dell'oro il peso dell'argento:e così venghiamo ad intendere come l'oro è piùgrave dell'argento a ragione di 40 per 100essendo che 40 èla differenza tra li due pesi ritrovati per l'oro e per l'argento.

Dalche possiamo venir in cognizione della resoluzione d'un quesito moltobello: che èpropostaci qual si voglia figura di una dellematerie notate nelle Linee Metallichetrovare quanta di un'altradelle dette materie ve ne bisognerà per formarne un'altra aquella eguale; comev. g.abbiamo una statua di marmo; vorremmosapere quanto argento v'anderia per farne una della medesimagrandezza. Per il che trovarefarai pesare quella di marmoe sia ilsuo pesov. g.25 libre; poi piglia la distanza tra 'l centro delloStrumento ed il punto Ar.che è la materia dellastatua futurae questo applicheraiaprendo lo Strumentoalle LineeStereometricheed al punto segnato col numero del peso dellastatuettacioè alli punti 25.25; enon movendo lo Strumentopiglierai la distanza tra 'l centro ed il punto Ma.e questavedrai a che numeropur trasversalmentedelle Linee Stereometrichesi accomodi; e trovato come s'adatta alli punti 96.96dirai 96 libred'argento esser necessarie per fare la statua eguale in grandezzaall'altra di marmo.

 



CONGIUGNENDOGLI USI DELLE LINEE METALLICHE E STEREOMETRICHEDATI DUE LATI DI DUESOLIDI SIMILI E DI DIVERSE MATERIETROVARE QUAL PROPORZIONE ABBINOFRA DI LORO DETTI SOLIDI IN PESO

OperazioneXXIII.

Èla linea A diametro d'una palla di ramee la Bdiametro di una di ferro; vorremmo sapere qual proporzione hanno fradi loro in peso.Prendi col compasso la linea Aed aperto lo Strumentoapplicala alli punti delle Linee Metalliche segnati Ra. Ra.; esenza alterare tal apertura prendi immediatamente la distanza tra lipunti Fe. Fe.che sarà quanto la linea X: laquale se sarà eguale alla Bdiremo li due solidi AB essere di peso eguali; ma trovata la X diseguale allaBed essendo diametro d'una palla di ferro eguale in pesoall'Aè manifesta cosache la medesima differenzasarà tra le due palle AB che è tra l'XB. E perché X e B sono della medesimamateriatroverassi la loro differenza facilmente con le LineeStereometrichecome di sopra nell'operazione XVI s'èdichiarato: cioè prenderemo la linea Xel'applicheremoaprendo lo Strumentoa qualche numerocomev. g.al 30; il che fattosi considererà a quale s'aggiusti lalinea B; e trovatoper essempioaccomodarsi al 10diremo lapalla di rame A esser tripla della di ferro B.

Ilconverso della precedente operazione si potrà con parifacilità con le medesime linee ritrovare; cioècomedato il peso ed il diametroo latod'una pallao altro solidodiuna delle materie notate sopra lo Strumentosi possa trovare lagrandezza d'un altro solido similee di qualunque altra delle dettemateriee che pesi qual si voglia peso propostoci. Comeperessempioessendo la linea X diametro d'una palla di marmo chepesa 7 libretrovisi il diametro d'una di piombo che ne pesi 20. Quisi vede come doviamo fare due operazioni: l'unatrasmutare il marmoin piombo; e l'altracrescere il peso di 7 sino al 20. La primaoperazione si farà con le Linee Metallicheaccomodando ildiametro X alli punti del marmo trasversalmentepigliandopoisenza muover lo Strumentol'intervallo tra li punti del piomboche sarà la grandezza del solido di piombo che peserebbequanto il proposto di marmocioè libre 7. Ma perchévolevamo libre 20ricorreremo all'aiuto delle Linee Stereometriche:ed applicato questo intervallo trasversalmente alli punti 7.7prenderemo subito la distanzapur trasversaletra li punti 20chesarà eguale alla linea D; la quale senza dubio verràad esser il lato della figura solida di piomboche peseràlibre 20.

 

 

COMEQUESTE LINEE CI SERVONO PER CALIBRO DA BOMBARDIERI ACCOMODATOUNIVERSALMENTE A TUTTE LE PALLE DI QUAL SI VOGLIA MATERIA ED A TUTTILI PESI

 OperazioneXXIV.

Manifestissimacosa èdiverso esser il peso di diverse materieed assai piùgrave esser il ferro della pietraed il piombo del ferro; dal che neséguitachedovendosi tirare con l'artigliaria tal ora palledi pietraaltre volte di ferroo ancora di piomboil medesimopezzo che porti tanto di palla di piomboporterà meno diferroe molto meno di pietrae cheper conseguenzadiversecariche per le diverse palle se li dovranno dare; laonde quellesagomeo calibrisopra i quali fussero notati i diametri dellepalle di ferro con li pesi loronon potranno servirci per le palledi pietrama bisognerà che le misure di detti diametris'accreschino o diminuischinosecondo le diverse materie. In oltre èmanifesto che appresso diversi paesi s'usano diversi pesianzi chenon solamente in ogni provinciama quasi in ogni cittàsonodifferenti: dal che ne séguitache quel calibroche fusseaccomodato al peso d'un luogonon potrà servirne al peso d'unaltro; ma secondo che le libre saranno maggiori o minori in uno ch'inun altro luogobisognerà che le divisioni del calibroottenghino maggiori o minori intervalli. Dal che possiamo concludereche un calibro che si adatti ad ogni sorte di materia e ad ognidifferenza di peso bisogna che per necessità sia mutabilecioè che si possa crescere e diminuire: e tale a punto èquello che nel nostro Strumento vien segnatoperchéaprendopiù o menosi crescono o diminuiscono gl'intervalliche trale divisioni d'esso si ritrovanosenza punto alterar le loroproporzioni.

Edavendo tali cose in universale dichiaratepasseremo all'applicazioneparticolare di questo calibro a tutte le differenze di pesied atutte le materie diverse. E perché non si può venir incognizione d'alcuna cosa ignota senza il mezo di qualch'altraconosciutafa di mestiero che ci sia noto un solo diametro d'unapalla di qual si voglia materiae di qual si voglia peso rispondentealle libreche nel paese dove vogliamo usare lo Strumento sicostumano: dal qual solo diametro verremocol mezo del nostrocalibroin cognizione del peso di qual si voglia altra palla e diqualunque altra materia; intendendo però delle materie sopralo Strumento notate.

Edil modo di conseguir tal cognizione faremo facilmente con un esempiomanifesto. Supponghiamov. g.esser in Veneziae di voler quiviservirci del nostro calibro per riconoscer la portata d'alcuni pezzid'artigliaria; prima procureremo d'aver il diametro ed il peso di unapalla di alcuna delle materie sopra detto Strumento segnate; eperessempiosupporremo d'avere il diametro d'una palla di piombo dilibre 10al peso di Venezia: il qual diametro noteremo con due puntinella costa d'un'asta dello Strumento. Quando dunque vorremoaccomodare ed aggiustare il calibro in maniera chepresa la boccad'un pezzo d'artigliariae trasportata sopra esso calibroconosciamo quante libre di palla di piombo essa portinon dovremofar altro salvo che prender col compasso quel diametro di 10 libre dipiombogià sopra la costa dello Strumento segnatoed aprirpoi lo Strumento tanto che detto diametro s'aggiusti alli punti delleLinee Stereometriche segnati 10.10: le qualicosì aggiustateci serviranno per calibro esattissimo; tal chepreso il diametrodella bocca di qualsivoglia artigliariae trasferitolo sopra dettocalibrodal numero de i puntia i quali s'adatteràconosceremo quante libre di palla di piombo porti la dettaartigliaria. Ma se volessimo aggiustare lo Strumento sì che ilcalibro rispondesse alle palle di ferroallora prenderemo purl'istesso diametro delle 10 libre di piombo sopra la costa notatoedipoi l'applicheremo a i punti delle Linee Metalliche segnate Pi.Pi.; esenza alterare lo Strumentopiglieremo con un compassol'intervallo tra i punti segnati Fe. Fe.il quale saràil diametro d'una palla di ferro di 10 libre; e questo diametroaprendo lo Strumentos'applicherà a i punti delle LineeStereometrichesegnati 10.10; ed allora saranno dette lineeesquisitamente accomodate per calibro delle palle di ferro. E consimile operazione si aggiusterà per le palle di pietra.

Enotisi cheoccorrendoci notare sopra la costa dello Strumentodiversi diametri di palle rispondenti alle libre di varii paesiperfuggire la confusionenoteremo sempre diametri di palle di piombo di10 libre di pesoli quali troveremo esser maggiori o minori secondola diversità delle libre. Ed il segnare tali diametrisenzaobligarci a ritrovare attualmente palle di piombo di 10 libre dipesonon ci sarà difficileper quello che di sopra nellaoperazione XXIII si è insegnato: dovedato un diametro d'unapalla di qual si voglia peso e di qualunque materias'èveduto come si trovi il diametro d'un'altra d'ogni altro peso e diqual si voglia altra materiaintendendo però sempre dellematerie sopra le Linee Metalliche notate; tal cheritrovandoci noiin qual si voglia paesepur che troviamo una palla di marmodipietrao d'altra materia sopra lo Strumento segnatapotremo in unsubito investigare il diametro di una palla di piombo di 10 libre dipeso.

 

 

COMEPROPOSTO UN CORPO DI QUAL SI VOGLIA MATERIAPOSSIAMO RITROVARE TUTTELE MISURE PARTICOLARI DI UNO DI ALTRA MATERIAE CHE PESI UN DATOPESO

OperazioneXXV.

Tragli usi che da queste medesime linee si possono cavareuno èquestocol quale possiamo crescere o diminuire le figure solidesecondo qual si voglia proporzionenon mutandoo vero mutandolamateria: il che dal seguente essempio s'intenderà. Ci vienepresentato un piccolo modello d'artigliaria fattov. g.di stagnoe noi aviamo bisogno di cavare da tal modello tutte le misureparticolari per un pezzo grande fatto di ramee che pesiperessempio5000 libre. Prima faremo pesare il piccolo modello distagnoe sia il suo peso libre 17. Dipoi prenderemo una delle suemisurequal più ci piaceràe siav. g.la suagrossezza alla gioiala quale applicheremoaprendo lo Strumentoalli punti St. St. delle Linee Metalliche (essendo questa lamateria del modello propostoci); e perché il pezzo grande devefarsi di rameprenderemo immediatamente la distanza tra li punti Ra.Ra.la quale saria la grossezza della gioia d'una artigliaria diramequando quella dovesse pesare quanto l'altra di stagno. Maperché deve pesare libre 5000e non 17 come l'altraperòricorreremo alle Linee Stereometrichesopra le quali applicheremoquell'intervallo pur ora preso tra li punti Ra. Ra. alli puntisegnati 17.17; enon movendo lo Strumentopiglieremo l'intervallode i punti 100.100che saria la grossezza alla gioia d'un pezzo di100 libre di peso. Ma noi vogliamo che sia di libre 5000; peròquesta distanza si deve augumentare secondo la proporzionequinquagecupla: ondeaprendo più lo Strumentola metteremo aqualche numerodel quale ve ne sia un altro 50 volte maggiore; comesaria se l'applicassimo alli punti 2.2pigliando poi l'intervallotra li punti 100.100il quale senz'alcun dubbio sarà lamisura della grossezzache deve darsi alla gioia. E con tal ordinesi ritroveranno tutte le misure particolari di tutti li altri membricome della golade gli orecchionidella culattaetc.

Némeno resteremo di ritrovare la lunghezza dell'artigliariaancorchénon possiamo aprire il nostro Strumento sino a tanto spazio. E pertrovarladel piccolo modello non piglieremo l'intera lunghezzamasolo una sua partecome saria l'ottava o la decimaetc.; la qualeaccresciuta con l'ordine pur ora dichiaratoci rappresenteràin fine l'ottava o decima parte di tutta la lunghezzadell'artigliaria grande.

Maqui potria per avventura a qualch'uno nascer difficoltàsedalle nostre Linee Metallichenel modo che si sono trovate le dettemisure trasmutando l'uno nell'altro metallo semplicecosì sipotesse far l'istesso in una allegazione di due metallicome a puntoquando nell'essempio sopraposto volessimo formare il pezzo non dirame schiettoma di metallo misto di rame e di stagnocome ancocomunemente si costuma di fare: onde noiper intera sodisfazionemostreremo potersicon l'aiuto delle medesime Linee Metallicheritrovare le medesime misure in qual si voglia allegazionenonaltrimente che in un semplice metallo. E ciò si faràcon l'aggiugner due piccolissimi punti sopra le Linee Metalliche;dico piccolissimiacciò che ad arbitrio nostrodi poi che cene saremo servitipossiamo cancellarli: e datoper essempioche ilpezzo dell'artigliaria che vogliamo farenon di rame purocome disopra si supposema di bronzodovesse esser gettatola cui legafusse per ogni 3 di rame uno di stagnoallora verremo con diligenzadividendotanto dall'una quanto dall'altra partequella breve lineache è tra li punti segnati Ra. e Sta. in quattroparticelledelle quali tre se ne lascieranno verso lo stagno ed unasola verso il ramee quivi si farà il punto apparente: delqual punto (segnatocome si dissetanto nell'una quanto nell'altraLinea Metallica) ci serviremo per la trasmutazione del metallononaltrimenti che ci servimmo di sopra de i punti Ra. Ra. E consimil regola si potrannosecondo l'occorrenzesegnare nuovi puntidi allegazioni di qual si voglino due metallie secondo qual sivoglia lega.

Manon saria fuori di proposito e senza comodo notabileed inparticolare quando s'abbia da fare la trasmutazione in metallo mistoed allegato di due altri secondo qualunque proporzionel'avertireche quando si sia trovata una sola delle misure che si ricercanoconl'operare con somma esquisitezza nel modo dichiarato di soprasipotrannoin virtù di questa unica misura ritrovatainvestigare poi tutte l'altre con l'aiuto delle Linee Aritmetichecon modo non molto differente da quello che nell'operazione terza fudichiarato. Comeper essempioera la linea A il diametroovogliamo direla grossezzaalla gioiadel modello d'artigliaria propostoci; e si trovòla linea B per grossezza della gioia dell'artigliaria di libre5000da farsi di metallo che tenga tre di rame e due di stagno. Dicoadessoche per trovar tutte l'altre dimensioni che restanocipotremo prevalere delle Linee Aritmetichepigliando la linea Bed applicandola per traverso a che punto ci piace di esse LineeAritmetichee quanto maggior numero piglieremomeglio sarà;laonde l'applicheremov. g.all'ultimo puntocioè al 250: enon movendo lo Strumentovederemo a qual punto s'accomodipurtrasversalmentela linea Ache siav. g.al 44; dal chevegniamo in cognizionecomeessendo la misura A del modellopunti 44quella che gli ha da rispondere del pezzo reale deve essere250 de i medesimi punti. E questa medesima proporzione ha da esserosservata in ciascheduna altra misura: onde per trovareperessempiola grossezza del pezzo reale nella golaprenderai talgrossezza dal piccolo modelloed applicala trasversalmente allipunti 44 delle Linee Aritmeticheprendendo poipur trasversalmentela distanza fra li punti che sarà la grossezza della goladell'artigliaria grande. E col medesimo ordine si troveranno tuttel'altre misure.

Inoltre per trovare facilissimamente e con somma esquisitezza la lineaB primache risponda al punto della lega delli due metalliassegnatisi potrà proceder così:ritrovando prima separatamente le due misure sempliciche respondinol'una allo stagno e l'altra al ramecome le due linee CDCEdelle quali CD sia la misura rispondente al rame puroe la CEal puro stagnosì che la differenza loro sia la linea DEla quale si dividerà secondo la proporzione assegnata per lalega: comevolendo 3 di rame e 2 di stagnosi taglierà lalinea DE nel punto Fin maniera che la FE versolo stagno sia 3 partie la FD verso il rame parti 2; che sifarà col dividere tutta la DE in cinque partilasciandone 3 verso E e 2 verso D: e la linea CFsarà la nostra principalequal fu poco di sopra la linea B;secondo la ragion della qualecol semplice mezo delle LineeAritmetichesi troveranno tutte l'altre misuresenza piùricorrere ad altre Linee Metalliche o Stereometrichenel modo che siè insegnato nella terza operazione.





DELLELINEE POLIGRAFICHEE COME CON ESSE POSSIAMO DESCRIVERE I POLIGONIREGOLARICIOÈ LE FIGURE DI MOLTI LATI ED ANGOLI EGUALI

 OperazioneXXVI.

Volgendolo Strumento dall'altra parteci si rappresentano le linee piùinteriorinominate Poligrafiche dal loro uso principaleche èdi descrivere sopra una linea proposta figure di quanti lati edangoli eguali ci verrà ordinato. E questo facilmenteconseguiremo pigliando con un compasso la lunghezza della linea datala quale si adatterà alli punti segnati 6.6; dipoisenzamuover lo Strumentopiglieremo l'intervallo tra i punti notati colnumero che numera i lati della figura che descrivere vogliamo: comev. g.per descrivere una figura di 7 latiprenderemo l'intervallotra li punti 7.7il quale sarà il semidiametro del cerchioche comprenderà l'eptagono da descriversi; sì cheposta un'asta del compasso ora sopra l'uno ed ora sopra l'altrotermine della linea datafaremo sopra di essa un pocod'intersecazione con l'altrae quivi fatto centrodescriveremo conl'istessa apertura un cerchio occultoil qualepassando per itermini della data lineala riceverà 7 volte a punto nellasua circonferenza; onde l'eptagono ne venga descritto.

 

 

DIVISIONEDELLA CIRCONFERENZA DEL CERCHIO IN QUANTE PARTI CI PIACERÀ

OperazioneXXVII.

Conqueste linee si dividerà la circonferenza in molte partioperando per il converso della precedente operazionepigliando ilsemidiametro del cerchio datoed applicandolo al numero delle partinelle quali si ha da dividere il cerchiopigliando poi semprel'intervallo de i punti 6.6il quale dividerà lacirconferenza nelle parti che si volevano.





ESPLICAZIONEDELLE LINEE TETRAGONICHEE COME COL MEZO D'ESSE SI QUADRI IL CERCHIOED OGNI ALTRA FIGURA REGOLAREE PIÙ COME SI TRASMUTINO TUTTEL'UNA NELL'ALTRA

OperazioneXXVIII.

Sonoqueste Linee Tetragoniche così dette dal loro uso principaleche è di quadrare tutte le superficie regolaried il cerchioappresso; e ciò si fa con facilissima operazione. Imperòchevolendo costituire un quadrato eguale a un dato cerchioaltronon doviamo fare salvo che prendere con un compasso il suosemidiametroed a questoaprendo lo Strumentoaggiustare li duepunti delle Linee Tetragoniche segnati con li due piccoli cerchietti;e non movendo lo Stromentose si prenderà col compassol'intervallo tra i punti delle medesime linee segnate 4.4si averàil lato del quadrato eguale al dato cerchio. E non altrimentiquandovolessimo il lato del pentagonoo dello esagonoeguali al medesimocerchiosi prenderà la distanza tra i punti 5.5o quella trai punti 6.6; che tali sono i lati del pentagonoo dell'esagonoeguali al medesimo cerchio.

Inoltrequando volessimo per il conversodato un quadrato o altropoligono regolaretrovar un cerchio ad esso egualepreso un latodal detto poligonoed accomodatolo al punto delle Linee Tetragonicherispondente al numero de i lati della figura propostasi prenderàsenza movere lo Strumentola distanza tra le note del cerchio; laqualefatta semidiametrodescriverà il cerchio eguale aldato poligono. Ed in conclusionecon quest'ordine potrassi ritrovareil lato di qual si voglia figura regolareeguale a qualunque altrapropostaci. Comev. g.dovendo noi costituire un ottangolo eguale aun dato pentagonos'aggiusterà lo Strumento sì che illato del pentagono proposto s'accomodi alli punti 5.5; e non mutandolo Strumentol'intervallo fra li punti 8.8 sarà il latodell'ottangoloche si cercava.

 

 

COMEPROPOSTE DIVERSE FIGURE REGOLARIBEN CHE TRA DI LORO DISSIMILISENE POSSA COSTITUIRE UNA SOLA EGUALE A TUTTE QUELLE

OperazioneXXIX.

Laresoluzione del presente problema depende dalla precedente operazionee dalla X di sopra dichiarata. Per ciò che essendociv. g.proposte queste figureun cerchioun triangoloun pentagonoed unexagonoed imposto che troviamo un quadrato eguale a tutte le dettefigureprimaper l'operazione precedentetroveremo separatamente 4quadrati eguali alle 4 dette figure; dipoicol mezo dell'operazioneXtroveremo un solo quadrato eguale a quelli 4il quale senz'alcundubio sarà eguale alle 4 figure proposte.

 

 

COMESI POSSA COSTITUIRE QUAL SI VOGLIA FIGURA REGOLARE EGUALE ADOGN'ALTRA IRREGOLAREMA RETTILINEAFIGURA PROPOSTA

OperazioneXXX.

Lapresente operazione è non meno utile che curiosainsegnandociil modonon pure di riquadrare tutte le superficie irregolarima diridurle o in cerchio o in qual si voglia altra figura regolare. Eperché ogni rettilineo si risolve in triangoliquando noisapremo costituire un quadrato eguale a qual si voglia triangolocostituendo noi separatamente quadrati particolari eguali aciaschedun triangolo ne i quali il rettilineo dato si risolvee poicon l'operazione X riducendo tutti questi quadrati in un solosaràcome è manifestoritrovato il quadrato eguale al propostorettilineo; il qual quadrato col mezo delle Linee Tetragonichepotremo ad arbitrio nostro convertire in un cerchioin un pentagonoo in altra figura rettilinea regolare. Si è dunque laresoluzione del presente quesito ridotta a dover noi trovare unquadrato eguale a qual si voglia triangolo proposto; il che con modofacilissimo si averà dal lemma seguente.

 



LEMMAPER LE COSE DETTE DI SOPRA

 OperazioneXXXI.

Siacidunque proposto di dover costituire un quadrato eguale al datotriangolo ABC.Pongansi da parte due linee ad angoli retti DEFG:dipoi con un compasso da quattro punteche da una parte apra ildoppio dell'altrafermata nell'angolo A una delle maggioriasteslarghisi l'altra sin chegirata intornorada la lineaopposta BC; dipoi voltando il compassonotisi con le aste piùbrevi la distanza FHche sarà la metà dellaperpendicolare cadente dall'angolo A sopra il lato opposto BC.Il che fattoprendasi pure con le maggiori aste la linea BCla quale si trasporti in FI; e fermata una delle maggiori astenel punto Islarghisi l'altra sino al punto H; evolgendo il compassosenza stringerlo o allargarlosegnisi con lepunte della metà la distanza IK; e fermata una diqueste punte in Ktaglisi con l'altra la perpendicolare FGnel punto L: ed averemo la linea LFlato del quadratoeguale al triangolo ABC.

Manotisi chese bene aviamo messa questa operazione fatta linealmentesenza lo Strumentonon è però che sopra lo Strumentoancora non si possa facilissimamente ritrovare. Imperò chequando vorremo ridurre qualunque triangolo in quadratocomeperessempioil triangolo ABCallorapresa dall'angolo A laperpendicolare cadente sopra il lato opposto BCconsidereremosopra la scala Aritmetica quanti punti contengae trovatocontenernev. g.45applicheremo questa distanza trasversalmenteal 45 dalle Linee Geometriche; pigliando poi la metà dellalinea BCconsidereremo parimente quanti punti della medesimascala Aritmetica essa comprendae trovato contenerneper essempio37piglieremo trasversalmente dalle Linee Geometriche la distanzatra essi punti 37; la quale ci darà la linea LFil cuiquadrato sarà eguale al triangolo ABC.





DELLELINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA DELLE PARTI DEL CERCHIO E DELLEFIGURE CONTENUTE DA PARTI DI CIRCUNFERENZE O DA LINEE RETTE E CURVEINSIEME

OperazioneXXXII.

Restanofinalmente le due Linee Aggiuntecosì dette perchéaggiungono alle Linee Tetragoniche quello che in esse potriadesiderarsicioè il modo di riquadrare le porzioni delcerchio e le altre figure che nel titolo si sono dette e piùdistintamente di sotto si esplicheranno. Sono queste linee segnatecon due ordini di numeride i quali lo esteriore comincia dal puntosegnato con questa notaseguitando poi li numeri 1234sino in 18; l'altro ordineinteriore comincia da questo segnoseguitando poi 1234etc.pur sino a 18: col mezo dellequali linee potremo primamente riquadrare qual si voglia porzione dicerchio propostacila quale però non sia maggior di mezocerchio. E l'usoacciò meglio s'intendacon l'essempios'esplicherà.

Vogliamov. g.trovare il quadrato eguale alla porzione del cerchio ABC.Dividasi la sua corda AC nel mezonel punto De presacon un compasso la distanza ADs'accomodiaprendo lostrumentoalli punti segnati;e lasciato lo strumento in tale statoprendasi l'altezza dellaporzionecioè la linea DBe veggasi a quale de ipunti dell'ordine esteriore tale altezza s'accomodiche siaperessempioalli punti segnati 2.2: il che fattodoviamo con uncompasso prender subito l'intervallo tra li punti 2.2 dell'ordineinterioree sopra una linea di questa grandezza si deve formare ilquadrato; che sarà eguale alla porzione ABC. E quandoavessimo una superficie contenuta da due porzioni di cerchio similealla presente figura ABCDpotremo facilmente ridurla inquadrato tirando la corda ACdalla quale essa figura in dueporzioni di cerchio vien divisa; dipoiper la regola posta di soprasi troveranno due quadrati eguali alle due porzioni separateequesticon l'intervento dell'operazione Xsi ridurranno in un solo:e sarà tutto il fatto.

Econ non dissimile operazione potrassi riquadrare ancora il settoredel cerchio: perché tirata la corda sotto la sua circonferenzasarà tagliato in una porzione di cerchio ed in un triangolo;le quali due partiper le cose di sopra insegnatepotrannofacilmente ridursi in due quadratie quelli poi in un solo.

Restafinalmente che mostriamo come le medesime linee ci possin servire perquadrare la porzione maggiore di mezo cerchioil trapezio contenutoda due rette e due curvesimile a quello della figura appresso ABCDe la lunula simile alla X;le quali tutte operazioni hanno la medesima resoluzione. Per ciòchequanto alla porzione maggiore del cerchiose noi quadreremo larimanente porzione minoreal modo di sopra insegnatoe talequadrato caveremo dal quadrato eguale a tutto 'l cerchioil quadratoeguale al rimanente sarà ancoracom'è manifestoegualalla maggior porzione del cerchio. Parimentedi tutta la porzioneBAFDC trovatone il quadrato egualee da esso trattone ilquadrato eguale alla porzione AFDil quadrato rimanentepareggerà il trapezio. E similmente procedendo nella lunula Xtirata la comune corda delle due porzioni di cerchiosi prenderannoseparatamente i quadrati ad esse porzioni eguali; la differenza de iquali sarà il quadrato eguale alla lunula. Come poi delli duequadrati proposti si possa trovare la differenza ridotta in un altroquadratosi è di sopranell'operazione XIcon l'interventodelle Linee Geometrichedichiarato.





DELLEOPERAZIONI DEL QUADRANTE

 Aggiugnendoallo Strumento il Quadrantenella sua minore circonferenza abbiamola Squadra da bombardieridivisesecondo il solitoin punti 12.L'uso ordinario della quale è che si metta una sua costa nelvacuo del pezzoavendo prima sospeso il filo col perpendicolo dalcentro dello Strumento; il qual filo ci mostreràsegandodetta circonferenzaquanta elevazione abbia il pezzocioè se1 puntoo 2o 3.

Eperché l'usar la Squadra in questa maniera non è senzapericolodovendocon l'uscir fuori de i gabbioni o ripariscoprirci alla vista dell'inimicoper ciò s'è pensatoun altro modo di far l'istesso con sicurtàcioè conl'applicare la Squadra presso al focone del pezzo. Ma perchél'anima di dentro non è parallela con la superficie di fuoriessendo il metallo più grosso verso la culattabisognasupplire a tal difetto con l'allungare quell'asta della Squadra cheriguarda verso la gioiaaggiugnendovi la sua zanca mobile: il che sifarà aggiustando prima una sol volta il pezzo a livelloepoiposando verso il focone la Squadracon la zanca allungheremo ilpiede anterioresin che il perpendicolo seghi il punto 6e fermatala zanca con la sua vitesegneremo una lineetta sopra la costa delloStrumentodove viene a terminar la cassella della detta zancaacciòin ogni occasione la possiamo mettere a segno. E poi se vorremo darun punto d'elevazionebisognerà alzar il pezzo tanto che ilfilo seghi il numero 7; se vorremo 2 puntidoverà segar l'8etc.

Ladivisione che segue appresso è il Quadrante astronomico: l'usodel qualeessendo stato trattato da altrinon sarà quidichiarato altrimente.

L'altracirconferenza che segue appressoe che si vede divisa da alcunelinee trasversaliè per prender l'inclinazione della scarpadi tutte le muragliecominciando da quelle che avranno per ogni 10d'altezza uno di pendenzasino quelle che abbino uno di pendenza perogn'un e mezo d'altezza.

Volendoservirci di tale Strumentodoviamo sospender il filo da quel piccoloforo che si vede al principio della Squadra da bombardieri; dipoiaccostandoci alla muraglia pendentegli applicheremo sopra la costaopposta dello Strumentoavvertendo dove taglierà il filo:perchésegandoper essempioil numero 5diremo quella talmuraglia aver per ogni 5 braccia d'altezza 1 di pendenza; similmentetagliando il numero 4diremo aver 1 di pendenza per ogni 4d'altezza.





DIVERSIMODI PER MISURAR CON LA VISTA; E PRIMADELLE ALTEZZE PERPENDICOLARIALLA RADICE DELLE QUALI SI POSSA ACCOSTARE E DISCOSTARE

 

L'ultimacirconferenzadivisa in 200 partiè una scala per misuraraltezzedistanze e profondità col mezo della vista. E primacominciando dall'altezzemostreremo diverse maniere di misurarlefacendo principio dall'altezze perpendicolarialla radice dellequali ci possiamo accostare. Come saria se volessimo misurarl'altezza della torre AB:venendo nel punto Bci discosteremo verso Ccaminando100 passi o 100 altre misuree fermatici nel luogo Ctraguarderemo con una costa dello Strumento l'altezza Acomesi vede secondo la costa CDAnotando i punti tagliati dalfilo DI; i quali se saranno nel centinaio opposto all'occhiocome si vede nell'essempio proposto per l'arco Iquantisaranno detti puntitanti passi (o altre delle misure che aremomisurate in terra) diremo contenere l'altezza AB. Ma se ilfilo taglierà l'altro centinaiocome si vede nella seguentefiguravolendo misurar l'altezza GHsendo l'occhio in Idoveil filo taglia i punti MOallorapreso il numero di dettipuntidivideremo per esso il numero 10000e l'avvenimento saràil numero delle misure che nell'altezza GH si conterranno:comev. g.se il filo avesse tagliato il punto 50dividendo 10000per 50aremo 200; e tante saranno le misure dell'altezza GH.

Eperché aviamo veduto che alle volte il filo segherà ilcentinaio opposto alla costa per la quale si traguardae tal voltaancora taglierà il centinaio contiguo a detta costae questopotrà avvenire in molte delle operazioni seguentiperòper regola universale s'avvertirà sempreche quando il filotaglierà il primo centinaio contiguo a detta costasi devedividere 10000 per il numero tagliato dal filoseguendo poi nelresto dell'operazione la regola che sarà scritta: per che noine gli essempi seguenti supporremo sempre che il filo tagli l'altrocentinaio.

Maacciò che tanto più si scorga la moltitudine de gli usidi questo nostro Strumentovoglio che i computi piùlaboriosiche nelle regole per misurar con la vista ci occorrerannosiano senza fatica alcuna e con somma brevità ritrovati colmezo del compasso sopra le Linee Aritmetiche. E facendo principiodalla presente operazioneper quelli che non sapessero partire 10000per quel numero tagliato dal perpendicolodico che si piglirettamente sempre 100 dalle Linee Aritmetichee che trasversalmentes'accomodi al numero de i punti tagliati da esso perpendicolopigliando poipur trasversalmentesenza muover lo Strumentoladistanza tra i punti 100; la qualemisurata rettamenteci daràl'altezza cercata. Comev. g.se il filo avesse tagliato a 77pigliando dalle Linee Aritmetiche 100 rettamenteapplicalotrasversalmente al 77e subito prendipur trasversalmentel'intervallo tra i punti 100e torna a misurarlo rettamenteetroverai contenere punti 130; e tante misure dirai contenersinell'altezza che misurar volevamo.

Inaltra maniera potremo misurar una simil altezzasenza obligarci amisurar in terra le 100 misurenel modo che si faràmanifesto. Come seper essempiovolessimo dal punto C misurar l'altezza della torre ABdrizzando la costa dello Strumento CDE alla sommità Anoteremo li punti tagliati dal filo EIquali sianoperessempio80; dipoisenza muoverci di luogoabbassando solamente loStrumentotraguarderemo qualche segno più basso che sia postonella medesima torrecome saria il punto Fnotando il numerode i punti tagliati dal filoil quale siav. g.5; veggasi poiquante volte questo minor numero 5 sia contenuto nell'altro 80 (che è16 volte): e 16 volte diremo la distanza FB esser contenuta intutta l'altezza BA. E perché il punto F èbassopotremo tale altezza FB con un'asta o altro facilmentemisuraree così venir in cognizione dell'altezza BA.Avvertendo chenel misurar l'altezzenoi ritroviamo e misuriamosolamente l'altezze sopra l'orizonte del nostr'occhio; tal che quandodetto occhio sarà più alto della radice o base dellacosa misuratabisognerà aggiugner all'altezza trovata per viadello Strumentoquel tanto di più che l'occhio sopravanzadetta radice.

Ilterzo modo di misurar una simile altezza sarà con l'alzarci edabbassarci. Comevolendo misurar l'altezza ABcostituendo lo Strumento inqualche luogo elevato da terracome saria nel punto Ftraguarderemo secondo la costa EF il punto Anotando ipunti GI tagliati dal filoquali sianoperessempio65; dipoiscendendo al bassoe venendo perpendicolarmentesotto 'l punto Fcome saria nel punto Ctraguarderemola medesim'altezza secondo la costa DCnotando i punti LOquali saranno più de gli altricomev. g.70;dipoi prendasi la differenza tra questi due numeri 65 e 70che è5; e quante volte essa è contenuta nel maggior de i dettinumericioè in 70 (che vi sarà contenuta 14 volte)tante volte diremo l'altezza BA contenere la distanza CF:la quale misureremopotendolo noi fare comodamentee cosìverremo in cognizione di tutta l'altezza AB.

Evolendo noi misurar un'altezza la cui radice non si vedessecomesaria l'altezza del monte ABsendo nel punto Ctraguarderemo la sommità Anotando i punti I tagliati dal perpendicolo DIi qualisianoper essempio20; di poiaccostandoci verso il monte 100passi innanzivenendo nel punto Etraguarderemo l'istessasommitànotando i punti Fi quali siano 22: il chefatto devonsi multiplicare tra loro questi due numeri 20 e 22; fanno440: e questo si divida per la differenza delli medesimi numericioèper 2; ne viene 220: e tanti passi diremo esser alto il monte.

Ilcomputo si troverà sopra lo Strumentopigliando il minornumero de i punti tagliati rettamente sopra le Linee Aritmeticheedapplicandolo poi trasversalmente alla differenza delli due numeri dei puntipigliando in oltre trasversalmente l'altro numero de ipuntiil qualemisurato rettamenteci darà l'altezzacercata. Come seper essempioi punti tagliati fussero stati 42 e58preso 42 rettamentebuttisi trasversalmente alla differenza de idetti numericioè al 16onon potendoal suo doppiotriploquadruploetc.; sia al quadruploche è 64: e presopoi il 58o il suo quadruplocioè 232e misuratorettamenteci darà 152 e un quartoche è ilproposito.

Possiamoin oltre col medesimo Strumento misurare un'altezza posta sopraun'altra; come se volessimo misurare l'altezza della torre ABposta sopra 'l monte BC.Primasendo nel punto Dtraguarderemo la sommitàdella torre Anotando i punti tagliati dal filo EIliquali sianov. grat.18; poilasciando un'asta piantata nelpunto Dvenghiamo avanti sin tanto chetraguardando la basedella torrecioè il punto Bil perpendicolo GOtagli il medesimo numero 18il che sia quando saremo venuti al puntoF; dipoi misurinsi i passi tra le due stazioni DFquali sianoper essempio130: e questo numero si multiplichi per i18 punti; ne verrà 2340: il qual numero si divida per 100; neviene 23 e due quinti: e tanti passi sarà alta la torre AB.

Ilcomputo sopra lo Strumento si farà col pigliar rettamente ilnumero de i passio quello de i puntiapplicandolo poitrasversalmente al 100prendendo poi l'altro pur trasversalmenteemisurandolo rettamente. Come sev. g.i punti fossero stati 64 ed ipassi 146preso 64 rettamenteed applicatolo trasversalmente al100e preso poi trasversalmente 146e misuratolo rettamentecidarà 93 e mezo in circa; quanta è l'altezza che sicercava.

Quantoalle profonditàdue modi averemo per misurarle. Ed il primosarà per misurar la profondità contenuta tra le lineeparallelecome saria la profondità d'un pozzoo verol'altezza d'una torrequando noi fussimo sopra di essa. Comeperessempio

sia un pozzo ABDCcontenuto tra le linee parallele ACDB: e voltando l'angolo dello Strumento verso l'occhio Esi traguardi secondo la costa EFin maniera che il raggiodella vista passi per li punti BCnotando il numerotagliato dal filoil quale siaverbi gratia5; e poi siconsideri quante volte questo numero 5 entra in 100: e tante voltediremo la larghezza BA esser contenuta nella profonditàBD.

L'altromodo sarà per misurar una profondità della quale non sivedesse la radice; come se fussimo sopra 'l monte BAevolessimo misurar la su' altezza sopra 'l piano della campagna. Intal caso alziamoci sopra 'l montesalendo sopra qualche casatorreo alberocome si vede nella presente figurae constituendo l'occhio nel punto Ftraguarderemo qualchesegno posto nella campagnacome si vede per il punto Cnotando i punti tagliati dal filo FGche sianov. g.32;dipoiscendendo nel punto Dtraguardisi il medesimo segno Ccon la costa DEnotando parimenti i punti AIche siano 30; e presa la differenza di questi due numericioè2veggasi quante volte entra nel minor delli due numeri; e vedutoche vi entra 15 voltediremo l'altezza del monte essere 15 volte piùdell'altezza FD: la qualepotendola noi misurareci faràvenire in notizia di quanto cercavamo.

Passandoal misurar le distanzecome saria una larghezza di un fiumevenendosopra la ripa o altro luogo eminentesì come nell'essempio sivede;nel qualvolendo noi misurar la larghezza CBvenendo nelpunto Atraguarderemo con la costa AF l'estremitàBnotando i punti DE tagliati dalperpendicoloquali sianoverbi gratia5; e quante voltequesto numero entra in 100tante volte diremo l'altezza ACentrare nella larghezza CB: misurando dunque quanta sia talealtezza ACe pigliandola 20 volteaveremo la larghezzacercata.

Possiamoin altro modo misurare una simile distanza. Comeper essempiosendo noi nel punto Avogliamo trovare la distanza sino alpunto B: costituiscasi lo Strumento in pianoed una delle suecoste sia drizzata verso il punto Be secondo la diritturadell'altra costa traguardisi verso il punto Cmisurando versola dirittura AC 100 passi o altre misuree lascisi piantatanel punto A un'astaed un'altra si ponga nel punto C;dipoivenendo nel punto Csi dirizzi una costa delloStrumento verso Ae per l'angolo C si traguardi ilmedesimo segno Bnotando sopra il Quadrante qual punto vengasegato dal raggio della vistache sia il punto E; e preso talnumerodividasi per esso 10000: e quello che ne verràsaràil numero de i passi o altre misureche saranno tra il punto Aed il segno B.

Maquando non ci fusse permesso di poter moverci le 100 misure sopra unalinea che facesse angolo retto col primo traguardoin tal casoprocederemo altrimenti. Comev. g.essendo noi nel punto Ae volendo pigliare la distanza ABné potendo caminare per altra strada che per la AElaquale con la dirittura AB fa angolo acutoper conseguire adogni modo il nostro intentoaggiusteremo una costa dello Strumentoprima alla stradacome si vede per la linea AFe senza moverlo Strumentotraguarderemo per l'angolo A il punto Bnotando i punti tagliati dal raggio ADquali sianoperessempio60; dipoilasciando nel punto A un'astane faremomettere sopra la linea AE un'altra lontana 100 passiqualesia nel punto Fdove costituiremo l'angolo dello Strumentoaggiustando la costa EF all'asta Ae per l'angolo Ftraguarderemo il medesimo segno Bnotando i punti GIquali sianov. gra.48. Volendo dunque da questi numeri60 e 48 trovare la lontananza ABmultiplica il primo in sestesso; fa 3600; aggiugnili poi 10000; fa 13600: e di questo numeropiglia la radice quadrata; sarà 117 in circa: e questamultiplica per 100; fa 11700; e finalmente dividi questo numero perla differenza delli due primi numeri 60 e 48cioè per 12; neverrà 975: e tanti passi senz'alcun dubio sarà ladistanza AB.

Troverassila calculazione di questa operazione sopra lo Strumento come nelsottoposto essempio s'espone. Sianov. g.i punti tagliati da i dueraggil'uno 74 e l'altro 36: e per trovare detto computoaggiustaprima lo Strumento sì che le Linee Aritmetiche siano tra diloro ad angoli retti; il che farai col prendere 100 punti rettamenteda essee questi applicare col compasso alle medesimetrasversalmentein maniera cheposta una delle aste nel punto 80l'altra caschi nel 60 (e questa regola d'aggiustare le dette linee asquadra si tenga a memoria per altri bisogni): fatto questoprendila distanza trasversale tra 'l punto 100 ed il maggiore de i duenumeri tagliati da i raggiche qui è 74; la qual distanzapresa devi aggiustare trasversalmente alla differenza de i due numeride i punti tagliati da i raggiche qui è 38; e se non potessiper la piccolezza di questo numeroserviti del suo doppiotriplo oquadruplo; e quiper essempioapplicala al suo triploche è114: ed immediatamente piglia la distanza pur trasversale tra lipunti 100; la quale misurata rettamentee presa unaduetre oquattro volteti darà la distanza cercata. Misurala dunquenel presente essempioe troveraila 109: sì che triplicata tidarà 327quanta prossimamente è la distanza chemisurar volevamo.

Séguitache veggiamo il modo di misurar l'intervallo tra due luoghi da noilontani: e prima diremo del modo quando da qualche sito potessimovederli ambidue per la medesima linea retta. Come mostra il presenteessempio:nel quale volendo noi misurar l'intervallo tra i punti BAstando nel punto Cdi dove appariscono per la medesima lineaCBAprimaaggiustata un'asta dello Strumento a talediritturasi traguarderà per l'altro verso Ddovepianteremo un'asta lontana dal punto C 100 misureavendoneuna simile piantata nel punto C; e venendo al luogo Daggiusteremo una costa dello Strumento alla dirittura DCtraguardando per l'angolo D li due luoghi BAe notando i numeri tagliati da' raggiche sianoper essempio25 e20; per i quali due numeri si deve dividere 10000: e la differenzadelli due avvenimenti sarà la distanza BA.

Mase volendo noi misurar la distanza tra i due luoghi CDnon potessimo venir in sito tale che l'uno e l'altro ci apparisse perla medesima diritturain questo caso procederemo come appresso sidirà. Sia dunque chestando noi nel luogo Avogliamo investigare la lontananza tra i due luoghi CD.Primaaggiustata una costa dello Strumento al punto Ccomesi vede per la linea AECtraguardisi per l'angolo l'altropunto Dnotando i punti EF tagliati dalraggio AFDche sianov. g.20; e senza muover lo Strumentosi traguardi per l'altra costa verso 'l punto Blasciando inA un'astaed un'altra facendone porre sopra la dirittura AB:di poicaminando per tale diritturaverremo in Bdiscostandoci dall'altr'asta tanto chericostituita una costa delloStrumento sopra la linea BAl'altra costa ferisca il punto Dcome apparisce per la linea BD; e dall'angolo Btraguarderemo il punto Cnotando il numero tagliato dalraggio BGche siav. g.15: finalmente si misureranno ipassi tra le due stazioni ABquali sianoperessempio160. E venendo all'operazione aritmeticaprima simultiplicherà il numero de i passi tra le due stazionicioè160 per 100; fa 16000: e questo si deve divider per i 2 numeri de ipunti separatamentecioè per 20 e per 15; e ne verranno i duenumeri 800 e 1067: de i quali se ne deve pigliar la differenzache è267: e questa si deve multiplicar in se stessa; fa 71289: e questonumero si deve aggiugnere al quadrato del numero de i passicioèdi 160che è 25600; ed in tutto farà 96889: del qualnumero si deve prendere la radice quadratache è 311: e tantipassi diremo essere tra li due luoghi CD.

Comepoi si possa ritrovare il computo sopra lo Strumentofaremo colsottoposto essempio manifesto. Sianov. g.li due numeri tagliatida i raggi 60 e 34ed il numero de' passi 116. E venendoall'operazioneprendi sempre 100 dalle Linee Aritmetiche rettamenteed applicalo trasversalmente al maggior numero de i due tagliati da iraggiche qui è 60; e subito prendi pur trasversalmente ilnumero de i passiche qui è 116e questo intervalloaccomoderai trasversalmente all'altro numero de i raggiche qui è34; e se non puoiapplicalo al suo doppiotriploquadruplooquello che più ti tornerà comodo: sia per ora al suoquadruplocioè al 136. Il che fattoprendi trasversalmenteil numero che è la differenza tra li due numeri de i raggiche qui è 26; o pure piglia il suo doppiotriplo o quadruplosecondo che poco fa si fece l'applicazione; onde in questo caso devipigliare il suo quadruplocioè 104: e questa distanzamisurerai rettamentesalvando in memoria il numero che essaconterràche nel presente essempio sarà 148. Aggiustafinalmente le Linee Aritmetiche a squadra al modo di sopradichiarato: il che fattopiglia trasversalmente l'intervallo tra 'lnumero che salvasti in memoria ed il numero de i passicioètra 'l 148 da una parte ed il 116 dall'altra; e questo misurarettamentee troverai 188: quanta a punto è la distanzacercata DC.

Efinalmentequando noi non potessimo moverci nella maniera chericerca la passata operazionepotremo pure nondimeno trovare lalontananza tra due luoghi da noi distanti in altra maniera: ed ilmodo sarà tale. Sendo noiper essempionel punto Ce volendo ritrovar la distanza tra i due luoghi ABprimasecondo alcuno de i modi dichiarati di sopramisuriamoseparatamente le distanze tra 'l punto C e l'Ael'altra tra l'istesso C ed il punto Be siaperessempiola prima passi 850e l'altra 530; e venendo nel segno Caggiustando una costa dello Strumento al punto Acome si vedeper la linea CDAtraguardisi per l'angolo C l'altrotermine Bnotando il numero de i punti DEtagliati dal raggioche sianov. g.15. Multiplica poi questonumero in se stesso; fa 225: ed a questo aggiugni 10000; fa 10225:del quale prendi la radice quadratache è 101: multiplica poila minor distanzacioè 530per 100; fa 53000: il quale sidivida per la radice pur ora trovata; ne viene 525: e questomultiplica per la maggior distanzacioè per 850; fa 446250:il qual numero deve esser finalmente duplicato; fa 892500: dipoidevonsi multiplicar separatamente le due distanze ciascuna in sestessa; fanno 722500e 280900: e questi numeri si devono congiugnereinsieme; fanno 1003400: del qual numero si caverà quelduplicato di sopracioè 892500; resterà 110900: la cuiradiceche è 347sarà la distanza desiderata tra glidue luoghi AB.

Connotabil diminuzione di fatica potremo fare il computo presente soprale Linee Aritmetiche; ed il modo si farà con un essempiomanifesto. Pongasi che la maggior distanza sia stata passi 230e laminore 104ed il numero de i punti tagliati dal raggio 58. Metti leLinee Aritmetiche a squadrae posta un'asta del compasso nel punto100slarga l'altra in traverso sino al numero de i punti tagliatidal raggioche qui è 58e considera quanto è questospazio misurato rettamentee lo troverai esser prossimamente 116ilche salva in mente: piglia poi rettamente il detto numero 58che fude i punti tagliati dal raggioed apri lo Strumento sin che questadistanza s'aggiusti in traverso tra il punto del 100 e quello del116che salvasti in mente; e non movendo più lo Strumentoprendi col compasso la distanza trasversale tra li due numeri de ipassicioè 230 e 104; e questa misurata rettamenteti daràinfine punti 150quanta è veramente la distanza AB.

Questesole regole per misurar con la vista ho giudicatodiscreto lettorebastar per ora aver descritte; non che secondo queste sole si possacol presente Strumento operareessendocene moltissime altrema pernon mi diffondere in lunghi discorsi senza necessitàessendosicuro che qualunque di mediocre ingegno averà comprese le giàdichiaratepotrà per se stesso ritrovarne altreaccomodatead ogni caso particolare che occorrer gli potesse.

Manon solamente avrei potuto diffondermi più assai nelle regoledel misurar con la vistama molto e molto più ampliarmi nelmostrare la resoluzioneposso dired'infiniti altri problemi digeometria e di aritmeticai quali con le altre linee del nostroStrumento risolver si possono; poichée quanti ne sono tragli Elementi di Euclideed in molti altri autorivengono dame con brevissime e facilissime maniere risoluti. Macome daprincipio si è dettola mia presente intenzione èstata di parlar con persone militari solamentee di pochissime altrecose fuori di quelle che a simili professori appartengonoriservandomi in altra occasione a publicareinsieme con la fabricadello Strumentouna più ampla descrizione de' suoi usi.