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CONSEGUENZE DELTEOREMA DI LAGRANGE

 

1°Corollario: Se in tutto l'intervallo (a; b) si suppone f '(x0)=0allora la funzione f(x0) č costante in (a; b)

Dimostrazione: Prendiamo un qualsiasi punto x0 dell'intervallo (a; b)con x0šaed applichiamo il teorema di Lagrange alla funzione in questionenell'intervallo (a; x0). Siha:

[f(x0)-f(a)]/(x0-a)=f'(z)  [2]    con            a<z<x0

Per ipotesi la f '(x0)č nulla in tutto l'intervallo (a; b) e quindi f '(z)=0; dalla [2] si ricava chef(x0)-f(a)=0  ovvero f(x0)=f(a). La funzione ciočassume in tutti i punti di (a; b) sempre lo stesso valore f(z) per cui talefunzione č costante.

 

Di questo secondocorollario diamo solo la definizionedal momento che č di grande importanzanella pratica

 

2°Corollario: Se in un intervallo (a; b) la derivata f '(x) č semprepositivaallora la funzione č crescente in tale intervallo; se invece čnegativala funzione č decrescente