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Cap. 1 - IL PIANO CARTESIANO

1.1    Ascisse sulla retta

Data una retta orientata r scegliamo su di essa un qualsiasi punto O che chiameremo origine. Talepunto dividerà la retta in due semirettedi cui unadetta positivache conterrà i punti che seguono O e l'altradetta negativacheconterrà i punti che precedono O. Preso su r un altro punto Pe fissataun'unità di misura udiremo a la misura del segmento orientato ossiaporremo = a. 
Il numero reale a verrà detto ascissa di P. Nesegue che l'origine ha ascissa 0.

 
Intal modo ad ogni punto della retta rimane associato uno ed un sol numero realeeviceversaad ogni numero reale viene a corrispondere uno ed un sol puntosulla retta. Possiamo pertanto affermare che:
Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta orientata r el'insieme dei numeri reali.

Se A e B sono due punti di una retta orientatadi ascissa a e brispettivamentequalunque sia la posizione di tali puntirisulterà sempre: =b - a

 

1.2    Coordinatecartesiane dei punti del piano

Vediamo ora se è possibile - come lo è sopra la retta- fissare la posizione di un punto nel piano mediante numeri. Ciò può farsi invari modiil più semplice dei quali è il seguente.

Prendiamo nel piano due rette orientate x e y nonparallele e indichiamo con O il loro punto di intersezione.
Sullerette x e y fissiamo due sistemi di ascisseaventi entrambe l'origine in Ociascuna un'unità di misura che indicheremo rispettivamente con uxed uye come versi positivi quelli fissati. Intal modo si è stabilito sul piano un sistema di riferimento cartesiano.

Le rette orientate x ed y e le rispettive unità di misura vengono dette assicartesiani ed il punto O origine degli assi.

A seconda che l'unità di misura sugli assi x ed y sia la stessa o menoavremo un sistema monometrico o dimetrico. Gli assi potranno poiessere ortogonali (sistema ortogonale) oppure obliqui (sistema obliquo).

D'ora in poise non diversamente specificatoprenderemo sempre inconsiderazione sistemi di riferimento cartesiani ortogonali monometrici.


Prendiamo ora un punto qualsiasi P del piano e da esso conduciamo leperpendicolari agli assiindicando con A e B le intersezioni di questerispettivamentecon l'asse x e con l'asse y.

Fissata l'unità di misurasiano a e b le misure dei segmenti orientati ed ossia poniamo:

=  a;     =  b
I numeri reali a e b verranno detti coordinate cartesianedel punto P (a si chiamerà ascissa del punto P e b si chiamerà ordinatadel punto P).

In tal modo ad ogni punto del piano rimangono associati due numeri reali oper meglio diredato che l'ordine dei due numeri reali è essenzialeuna coppiaordinata di numeri reali.

Viceversaassegnati due numeri reali a e bè sempre possibile determinareuno ed un solo punto P del piano che abbia a per ascissa e b per ordinata.Infattipreso sull'asse x un segmento orientato di misura a e sull'asse y un segmento orientato di misura bpossiamo condurre da A la parallela all'asse y e da B la parallelaall'asse x. Tali rette si incontreranno in uno ed un solo punto Pche avrà acome ascissa e b come ordinata. Pertanto possiamo affermare che:

Esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppieordinate di numeri reali.

Per indicare che a e b sono le coordinate del punto P scriveremo:  P(ab).

Gliassi cartesiani dividono il piano in quattro quadrantiper la cuinumerazione si partirà da quello a destra in altoproseguendo in sensoantiorario.

1.3    Distanza tra duepunti

Fissato nel piano un sistema di assi cartesianiortogonalisiano A(x1y1) e B(x2y2)due punti di detto piano.

Perdeterminare la distanza (in valore assoluto) tra questi puntiriferendoci allafiguraosserviamo che:

= x1    = x2
 = y1     = y2
Pertanto:
= x2 - x1
= y2 - y1
Per il teorema di Pitagora:
equindi:
= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
dacui concludiamo:
ossia:La distanza tra due punti di coordinate assegnate è data dalla radicequadrata della somma dei quadrati delle differenze delle loro ascisse e delleloro ordinate.

In particolarela distanza di un punto P(xy) dall'origine sarà:

ossia:La distanza di un punto dall'origine è uguale alla radice quadrata dellasomma dei quadrati delle coordinate del punto.

1.4    Punto medio di unsegmento

Dati due punti A(x1y1) e B(x2y2)vogliamo trovare le coordinate xM e yM diMpunto medio del segmento AB.
Con riferimento alla figuraconsideriamo le rette parallele AxAMxMe BxB tagliate dalle trasversali AxBx e AB.

Essendo M punto medio di ABdovrà essere AM = MB e quindiin virtù delteorema di TaleteAxMx = MxBxossia Mx dovrà essere il punto medio del segmento AxBx.

Pertanto:     xM - x1 =  x2- xM    ==>    2 xM = x1+ x2    ==>    xM = (x1+ x2) / 2

Analogamente si avrà:    yM = (y1 + y2)/ 2     e quindi:

M( (x1 + x2)/ 2(y1 + y2) / 2)
ovvero: Le coordinatedel punto medio di un segmento sono la semisomma delle coordinate omonime degliestremi.