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Insiemi numerabili

Uno dei primi risultati ottenuti da Cantor nella suainvestigazione del concetto di infinito è la dimostrazione della numerabilitàdell'insieme dei numeri razionali. Vediamo cosa vuol dire questa strana cosapartendo proprio dall'inizio. (In questa sezione considererò elementarii concetti di insieme e di appartenenza ad un insieme. Altriconcetti verranno di volta in volta chiariti con delle note.)

Concetto di numerabilità

Consideriamo un insieme finitoF ed un suo sottoinsiemeproprio A. È ovvio che A 'contiene meno elementi' di Fcosa che si indicacon:

card(F) > card(A)

Questa ovvietà non è più taleanzi in un ben precisosenso è falsaquando si parla di insiemi che contengono un numero infinito dielementi (e qui si nega la 'nozione comune' di Euclide per cui 'il tutto èmaggiore della parte'). Consideriamo ad esempio l'insieme Ndei numeri naturali (0123...). Non esiste alcun numero finito cherappresenti la cardinalità di Ne si adotta allora per questo concetto il simbolo aleph0(aleph zerodove 'aleph' è la prima lettera dell'alfabeto ebraico. Ilmotivo per cui non si utilizza il 'normale' simbolo di infinito infinitoapparirà chiaro in seguitoquando si parlerà degli insiemi non numerabili). Si pone quindiperdefinizione:

card(N) = aleph0.

Consideriamo ora un sottoinsieme proprio di Nad esempio l'insieme A dei quadrati. È ovvio che anche A contiene infinitielementianche se non TUTTI i numeri interi sono in A. Basandosi sul fatto chead ogni nappartieneNsi può associare uno ed un solo aappartieneAe precisamente tramite la relazione a=n2Cantorconclude che l'insieme dei quadrati è equivalentea quello dei numeri naturalicioè pone:

card(A)=aleph0.

In generaleCantor considera un insieme infinito Aequivalente ad un altro insieme infinito Bquando ad ogni elemento di A èpossibile far corrispondere uno ed un solo elemento di B (cioè quando esisteuna relazione biunivoca tra A e B). In particolareCantor considera uninsieme infinito A equivalente all'insieme infinito dei numeri naturali Nquando ad ogni elemento di A è possibile far corrispondere uno ed un soloelemento di N. Quando esiste unatale relazione biunivoca tra gli elementi di A e gli elementi di Nsi dice che l'insieme A è numerabile. (Si considera numerabileanche un insieme finito).

È un gioco da ragazzi dimostrare chead esempiol'insieme dei numeri pariè numerabilecome pure quello dei numeri primi o l'insieme dei numeri relativi(positivi e negativi) o - in generale - ogni sottoinsieme di N.

Numerabilità dell'insieme dei numeri razionali

Viene da chiedersi se esistono insiemi NON numerabili. Unprimo candidato naturale sembra essere l'insieme Qdei numeri razionalicioè dei numeri della forma m/ncon m ed n interi(ed n diverso da zero). In effetti tra due numeri razionali qualsiasi esistono infinitialtri numeri razionaliproprietà questa non condivisa né dall'insieme deinumeri naturali né da alcun suo sottoinsieme.

Oraanche se Q sembracontenere 'molti' più elementi di NCantor riesce a dimostrare che in effetti:

card(Q) = aleph0.

Per la dimostrazione originale di Cantorvedi quidove c'è quella strana tabella piena di frecce. Io propongo un mio modo (credosemplice) di dimostrare questo fatto. Se associo al numero razionale m/nil numero intero che si ottiene facendo seguire alla rappresentazione decimaledi 'm' un 'A' e poi la rappresentazione decimale di 'n' (ad esempioa 17/8associo 17A8)rappresento ogni numero razionale con un numero intero scritto innotazione esadecimalee sono anche certo che a razionali diversi associo interidiversi. Ora hoposto in relazione biunivoca Qcon un sottoinsieme proprio S di N.Per la precisioneS è composto da quegli interi che nella lororappresentazione esadecimale hanno solo cifre più un unico 'A' (che non devestare né al primo né all'ultimo posto). È evidente che Sessendo unsottoinsieme di Nè numerabile.Quindi anche l'insieme dei numeri razionaliequivalente ad Sè numerabile