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Lacicloide.

 

 

Seun cerchio rotola senza strisciare sopra una retta fissadetta base-così che in ogni istante l’arco di circonferenza che si è sviluppato sullabase sarà uguale al segmentorettilineo percorso dal centro- un qualunque punto P del pianoche siarigidamente connesso col cerchiodescrive una curva che chiamasi cicloidee precisamente cicloide ordinaria seil punto appartiene alla circonferenza ( fig. 1)allungata (cycloidesprolatainflexa ) (fig. 2) o accorciata( fig. 3) ( cycloides curvatanodata)se esso giace invece all’interno o rispettivamente all’esterno del cerchio.

Questacurva  è stata oggetto di moltistudi per parte di GalileoTorricelliDescartesFermatRobervalPascalHuygensLeibniz e altri geometri del secolo XVII.


 


Inuna posizione che si assume come inizialesiano C il centro del cerchioO ilpunto di contatto del cerchio con la basee P il punto considerato appartenentealla retta OC ( il quale coincide con O quando la cicloide è ordinaria); e siriferisca la curva ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliprendendo perorigine Oper asse x la base col verso positivo nel senso del rotolamentoel’asse y volto positivamente da O a C. In una posizione qualunquediciamo  ilcentro del  cerchio  ilpunto generatore della cicloideQ il punto di contatto del cerchio con la baseed  ilpunto della circonferenza in cui è venuto a porsi quel punto della medesima cheinizialmente era in O ( talché per la cicloide ordinaria  coincidecon  ).Sulla retta che è la posizione in cui si porterebbe l’asse y serigidamente connesso colcerchiovenisse trascinato con questo nel suo movimentoprendasi come versopositivo quello che da conduce a esi pongain valore assoluto e segno ;infinedicasi r il raggio del cerchiocosì che la cicloide sarà ordinariaallungatao accorciatasecondo che il valore assoluto si a sarà egualeminore o maggiore di r.

Sitrovano facilmente le espressioni delle coordinate x e y di  infunzione dell’angolo b formato dal verso positivo della retta con quello dell’asse y: angolo che è uguale e contrario a quello di cui haruotato il cerchio attorno al centro per portarsi dalla posizione iniziale aquella considerata.

 

 

 


 


 


Inverochiamando H il piede della perpendicolare condotta da  sullaretta  siha

 

(1)    x= OQ- H     y = Q -H .

 

Mail segmento OQ essendo uguale all’arco  Qdi circonferenza è uguale in valore assoluto e segno ad rb; e il triangolo rettangolo H dàpure in valore assoluto e segno

 

H= -a senb      H =-a cosb

 

Quindile (1) diventano

 

(2)  x = rb + a senb     y = r + a cosb

 

chesono le formole cercate.

Sein esse si aumenta b di 2kpdove k è un numero intero qualunque non cangia il valore di ymentre quello dix cresce di  2kpr. Ciò significa che la cicloide consta di infiniti archi tutti fra lorocongruentii quali si deducono da uno qualunque di essi mediante unatraslazione di grandezza 2prnel senso della base. Per assegnar la forma della curva basta quindi far variarebper esempiodallo zero a 2p.

L’equazionecartesiana della cicloide si ha eliminando tra le (2) il parametro b. La secondadi esse porge

 

 

dacui

 

edanche

 

 

Sostituendonella prima delle (2)risulta come equazione della cicloide

 

 

 

doveper la formola citataspetta al radicale il segno + o il segno – secondo chenel punto considerato il prodotto a senb è positivo o negativoepperòse a >0deve prendersi il segno + nella prima metà di ogni arco di curva e il segno– nella seconda metàe il contrario se a <0.

Ponendob = 0 nella seconda delle (2)si ricava: cos b= -quindi cioè soltanto la cicloide ordinaria e lacicloide accorciata incontrano la base.

Ancoradalla seconda delle (2) si deduce che il massimo e il minimo valore di y sonraggiunti quando sia  cosb=-1 e cosb=+1epperò tali valori di y sono  r+aed r-a; la  curva è quindi tuttasituata entro la striscia compresa fra le due retteparallele all’asse xaventi le equazioni y = r+a  y =r-a.

Sipotrebbe anche dimostrare chementre la cicloide allungata è priva di puntidoppi ( punti in ognuno dei quali il punto generatore della curva viene a caderedue volte)ne hanno invece infiniti le altre due specie di cicloide.