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La retta per due punti


Problema

Dati due punti distintiesiste una e una sola retta che li contieneentrambi. Questo il primo postulato della geometria euclidea. Ingeometria analitica possibile determinare l'equazione di tale rettadate lecoordinate di due suoi punti. Vale la seguente formula della retta per duepunti:

 (y - y1)     (x - x1)---------- = -----------(y2 - y1)    (x2 - x1)

che utile nel metododelle corde e in quello delle tangenti.

Dimostrazione

Sono dati due punti P1(x1; y1) e P2(x2;y2); il fascio di rette per P1 ha equazione:

y - y1 = m(x  - x1)
che al variare di m d tutte le rette che passano per P1; traqueste sar certo la retta cercata; d'altra parte il coefficiente angolare traP1 e P2 si calcola
     (y2 - y1)m = ----------------(x2 - x1)
sostituendo m nell'equazione del fascio di rette si ha
         (y2 - y1)y - y1 = --------- (x - x1)(x2 - x1)
che dividendo ambo i membri per (y2 - y1) diventa:
 (y - y1)     (x - x1)---------- = -----------(y2 - y1)    (x2 - x1)
che la classica equazione della retta per due punti. Il problema pu ancherisolversi usando un sistema lineare come nel seguente esempio.

 

Esempio

Sono dati i due punti A (-1;+3) e B(+2; +1); l'equazione in forma esplicitadella retta y = mx + n ; imponiamo il passaggio per Ainpratica che sia x = -1 e y=+3 e otteniamo l'equazione 3 = -m +n;analogamente imponendo il passaggio per B si ottiene l'equazione 1 =2m + n; in definitiva si ha il sistema lineare:

-m + n = 32m + n = 1
che si pu risolvere sottraendo la seconda equazione dalla prima
-3m = 2   e quindi  m = -2/3
Sostituendo ora il valore trovato di m nella prima equazione si ha
2/3 + n = 3 e quindi n = 7/3
L'equazione della retta quindi:
	1	7y = - ---- x + ----3	3