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TEOREMA DILAGRANGE

 

Enunciato:Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] chiuso e derivabilein (a; b) apertoesisterà un punto x0appartenente ad (a;b) tale che f ' (x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Dimostrazionealgebrica: Posto g(x)=f(x)-{f(a)+[(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)}calcolando il valore g(x) quando x=a ed x=btroveremo che g(a)=g(b)=0. Da talerelazione sapendo che la funzione g(x) è continua e derivabile in un punto eimposto che g(a)=g(b)=0per il teorema di Rolle la funzione è costante conderivata prima uguale a zero.

Quindiavremo g '(x)=f '(x0)-[f(b)-f(a)]/(b-a); ciò comporta che f '(x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a).La tesi proposta nell'enunciato risulta quindi dimostrata

Significatogeometrico: Il significato geometrico che viene dato al teorema diLagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto ditangente in un punto. Se un arco di curva è dotato di tangenteesistera' unpunto x0 dove la tangente è una retta parallela alla secante checongiunge i due estremi della funzione (o anche arco di curva) dato.