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TEOREMA DIROLLE

 

Enunciato:Data una funzione f(x) continua nell'intervallo (a; b) aperto e derivabilenei punti interni di detto intervallo. Diremo che se la funzione nel punto ač uguale alla funzione nel punto b ovverof(a)=f(b) allora esisterą un punto x0 interno all'intervallo [a; b]tale che f '(x0)=0

Dimostrazionealgebrica : Per dimostrare il teorema di Rolledobbiamo applicare ilteorema di Weirstrass (Una funzione continua e derivabile in [a; b] ammettepunti di minimo e massimo assoluto). Prendiamo in esame x1 come puntodi minimo e x2 come punto di massimo in modo che f(x1)£f(x)£f(x2)perogni x appartenente a [a; b].Sipossono verificare 2 casi

1)Uno dei due punti x1 o x2  č interno all'intervallo(a; b) => applicando il teorema di Fermat la derivata prima in tal punto čuguale a zero f '(x0)=0

2)x1 e x2 entrambi non interni  ad esempio x1=a e x2=b => Se f(a)=f(b) allora f(a)£f(x)£f(b)  => f(x)=f(a)ovvero che la funzione č costante e quindi la derivata primadi una funzione costante č in qualsiasi punto uguale a zero  f '(x0)=0