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APPLICAZIONE DELLA PARABOLA ALLE DISEQUAZIONI

Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte anche in modografico tramite la parabola.

Per spiegare questo concetto dobbiamo fare però un passo indietro facendoriferimento alle equazionidi secondo grado. Abbiamo tre diversi tipi di equazione:

Le soluzioni sono date dalla formula: x = nellaquale D =b2 - 4 ac oppure dallaformula ridotta x=utilizzatase b è pari.

Le soluzioni si ottengono scomponendo il primo membro in x(ax + b)=0quindi:

1) x=0 2) x= - b/ a

Le soluzioni reali si hanno solo se a e c sono discordi e sono date da: x=

Associamo all'equazione generale ax2 + bx + c = 0 la parabolay= ax2 + bx + c che utilizzeremo per la risoluzione delledisequazioni.

Esempi:

a) 1 + 3x - x2 ³0 in questo caso il coefficiente della xè negativo quindi è necessario cambiare sia il segno di tutti i termini abe csia il verso della disequazione . Si ottiene così la disequazione

x2 - 3x - 1 £0 . Ora dobbiamo fare riferimento alla parabola associata y = x2 -3x - 1

Per costruire la parabola abbiamo bisogno di trovare le coordinate delvertice:

Xv = - b / 2a =3/2 ; Yv = (4ac - b2 ) / 4a = (-4 + 3) / 4 = - 1/4

Ora dobbiamo trovare le intersezioni con i due assi cartesiani.

Sapendo che l’ equazione dell’asse y è x=0 e che l'equazione dell'asse yè x=0 otteniamo:

asse y Þ x= 0y= - 1:

asse x Þ y=0 x 2- 3x -1=0 . Ora ricaviamo D: D =b2- 4ac= 9 + 4 = 13. Le soluzioni sono:

x=.Le soluzioni della disequazione sono rappresentate dai punti della parabolacon ascissa negativale cui ascisse sono comprese fra x1 e x2.Quindi S=[x1x2] .